数学选修2-3期末复习

1、排列与组合二、排列 1.排列的定义从n个不同的元素中任取mm< n个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 2.排列数1排列数的定义：从n个不同的元素中取出mmW n个元素的所有排列的个数，叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的排列数，用表示2排列数公式1 n N 且A A；：2. c4 c5n 55,那么乘积(55n)(56 n)(69 n)等于B - A65n C - AfnD - A64nc6c7o =3 某八层大楼一楼电梯上来3名乘客，他们到各自的一层下电梯，下电梯的不同方法有4 4人排成一排，其中甲和乙都站在边上的不同站法有 种本章知识网络一、

2、根本计数原理 1.分类计数原理加法原理分类计数原理的定义：做一件事，完成它有n类方法。在第一类方法中有 m种不同的方法；在第二类方法中，有 m>种不同的方法； ；在第n类方法中，有 m中不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法。. 2.分步计数原理乘法原理分步计数原理的定义：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m种不同的方法，做第二个步骤有 “种不同的方法，做第 n个步骤有 m中不同的方法，那么完成这件事共有 N=种不同的方法.特另U的， A = n!规定0 ! =三、组合 1.组合的定义从n个不同的元素中，任意取出m mW n个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取

3、m个元素的一个组合 2.组合数1组合数的定义：从n个不同的元素中，任取mmW n个元素的所有组合的个数，叫做从 n个不同元素中任意取出 m个元素的组合数，用 表示2组合数公式cm特别的，C°=:3组合数的性质解决排列组合问题的根本规律：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合，正难那么反，先选后排前测5用0,2,3,4,5 五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 种6从3台甲型和4台乙型电脑中任意取出3台，其中至少要甲型和乙型电脑各一台，那么不同的取法有种.方案共有种.4 9个篮球队中有3个强队，平均分三组.(1) 假设3个强队分别作为三个小组的种子队，不同的分组方法有 种.

4、(2) 假设恰有2个强队分在一组，不同的分组方法有 种.7 某停车场有8个连在一起的车位，有 4辆不同的车要停进去，且恰有3辆车连在一起，那么不同的停放方法有种.5 .用5种不同的颜色涂色，要求每小格涂一种颜色，有公共边的两格不同颜色，颜色可重复使用(1)涂在“目字形的方格有 种不同的涂法 涂在“田字形的方格有 种不同的涂法典型例题1有4封不同的信和3个信筒.(1) 把4封信都寄出，有 种寄信方法;(2)把4封信都寄出，且每个信筒不空，有 种寄信方法.2 对某种产品的 6件不同正品和4件不同次品，(1) 一件一件的不放回抽取，连续取 3次，至少取到1件次品的不同取法有 种.(2) 一一进行测试

5、，到区分出所有次品为止，假设所有次品恰好在第五次测试被全部发现，那么这样的测试方法有种6 (1)编号为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，那么不同的开灯方案有 种(2)某仪表显示屏上一排有 7个小孔，每个小孔可显示出0或1,假设每次显示其中三个孔，但相邻的两孔不能同时显示，那么这个显示屏可以显示 种不同的信号3. 某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：(1) 节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有种(2) 原有的节目单保持顺序不变，但删去第一个节目和最后一个节目，添

6、加两个新节目，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 种.7.学校文艺队有10名会表演唱歌或跳舞的队员，其中会唱歌的有5人，会跳舞的有7人。现选出3人，1人去唱歌，2人去跳舞( 1)共有种不同的选法；(2)那么这样的3人共可开出 .稳固练习1 8名男女学生，从男生中选 2人，从女生中选1人，共有30种不同的选法，其中女生有 人2. 有甲、乙、丙在的 6个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不排在两头，那么这样的排法 共有种.(3) 节目甲、乙、丙必须连排(顺序不固定)，且和节目丁不相邻，该台晚会节目演出顺序的编排二项式定理3.用0,1,2,3,4 这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶

7、数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数有 种4在高三进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为5只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数字必须同时使用，且同一个数字不能相邻出现，这样的四位数共有 个6从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同的工作，每人承担一项.假设甲、乙二人均不能从事 A工作，那么不同的工作分配方案共有 种7.如果在一周周一到周日安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有种

8、&三个人坐到一排的八个座位上，假设每个人的两边都要有空座位，那么不同的坐法有种一、概念1二项式定理2 二项展开式的通项，记作 Tk+1=.3. 二项式系数和4. 二项展开式的各项系数和典型例题1.3a5的第三项是；展开式中的常数项是；有理项是第项.2.设(5x数项为1- xn的展开式的各项系数之和为M二项式系数之和为 N,假设M(x +3) =a°+ a*1X+ a2x+ a3X+a4X，贝V(a°+82+su) (a1 +33)的值3455023设(1 + x) + (1 + x) + (1 + x) + (1 + x) = ao + ax + a2x + a3X

9、 + )A. Cb 2氏 C. ChD.袪N=56,那么展开式中常a5ox，贝Ua3的值是9. 某栋楼从2楼到3楼共有10级台阶，上楼可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶，假设规定从2楼到3楼用八步走完，那么不同的走法有 种10. 如图，用四种不同的颜色给图中的A, B,C, D, E, F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色.那么不同的涂色方法共有种稳固练习1.假设1 2x n的展开式中第6项与第7项的系数相等，那么门=；1 2x n展开式中含x3的项是.82.1 2x x 1 x 展开式的各项系数和为 3. 1 2C： 22C：2nC；2187，那么 C

10、： C2C；概率本章知识体系与考查要求考试容要求层次ABC概率取有限值的离散型随机变量与其分布列V超几何分布V条件概率V事件的独立性Vn次独立重复试验与二项分布V取有限值的离散型随机变量的期望均值、方差V正态分布V一、超几何分布：一般地，设有总数为 N的两类物品，其中一类有MM N件，从所有物品中任取n件n N ，这n件中所含这类物品件数 X是一个离散型随机变量， 它取值为m m n 时的概率为PX=m=我们称离散型随机变量 X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N, M n的超几何分布。其期望可以用公式 计算.二、条件概率：对于任何两个事件 A, B,在事件 A发生的条件下，事

11、件 B发生的概率，用符号“ P(B| A) 来表示。且 P(B | A) =三、事件的独立性： 事件A是否发生对事件E的发生的概率没有影响，即PB | A = PB，这是我们称两个事件A,B是 相互独立 的，并且把这两个事件叫做相互独立事件。假设事件A与E是相互独立的，那么当事件A与B同时发生时，其概率为PA B =假设事件A i,A2,An是相互独立的，贝U PA, A2An =四、n次独立重复试验与二项分布n次独立重复试验：在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立。二项分布：在n次独立重复试验中， 事件A恰好发生k次的概率是PX k 用p表示一次试验事件发生的概率X的分布列

12、为：X01knP记作：X ;其期望可以用公式 计算；其方差可以用公式 计算.五、离散型随机变量的期望均值、方差 如果离散型随机变量 X的概率分布如下：XX1X2X；PP1P2Pn把E X = & P! + X2 P2+Xn Pn为离散型随机变量的数学期望简称期望；期望反映了离散型随机变量取值的。把DX 冶EX 2 ? P X2 EX 2 ? P2x； EX 2 ? Pn叫做随机变量 的方差。D 叫做随机变量 的标准差；方差与标准差反映了 前测：1. 一个口袋有大小相等的 1个白球和已编有不同的 3个黑球，从中摸出2个球，1共有种不同的结果；2摸出2个黑球种不同的结果；3摸出2个黑球的概

13、率是.2将骰子先后抛掷 2次，计算：1 一共有种不同的结果；2其中向上的数之和是 5的结果 有种；(3)向上的数之和是 5的概率是 .3袋中有4个白球和5个黑球，连续从中取出 3个球，计算：(1) “取后放回，且顺序为黑白黑的概率为；(2)“取后不放回，且取出 2黑1白的概率.4. 在10件产品中，有7件合格品，3件次品，从中任取 2件，计算：(1) 2件都是合格品的概率为；(2) 2件是次品的概率为；(3) 1件是合格品，1件是次品的概率为；(4) 至少有1件次品的概率为 ；(5) 至多有1件次品的概率为 .5. 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有10个不同的题目，其中选择题 6个，判断题4

14、个，甲、 乙二人依次各抽一题，计算：(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是(2 )甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是.典型例题1.2004年世界卫生组织、联合国儿童基金会等权威机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广 2021年12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的奉献获得诺贝尔医 学奖目前，国青蒿人工种植开展迅速某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100株青蒿进行比照试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量(单位：克)如下表所示：位置编号山上5.03.83.63.6山下3.6

15、4.44.43.6(I)根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；(n)记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为s12, S22，根据样本数据，试估计s12与2S2的大小(只需写出结论)(川)从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1株，记这2株的产量总和为，求随机变量 的分布列和数学期望.6. 在4次独立试验中，事件A出现的概率相同，假设事件A至少发生1次的概率是，那么事件A在81一次试验中出现的概率是.7. 随机变量 服从二项分布, B 4,1 ，贝U P 1的值为.22. 某中学有初中学生 1800人，高中学生1200人.为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽

16、取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生和“高中3. 为了解高一新生数学根底，甲、乙两校对高一新生进行了数学测试现从两校各随机抽取 10名新生的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：生的数学根底等级高于乙校新 生的数学生分为两组，再将每组学生的阅读时间单位：小时分为5组：0,10，10,20, 20,30，30,40，40,50，并分别加以统计，得到如下列图的频率分布直方图I写出a的值；H试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；川从阅读时间缺乏 10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求 X的分布列和数学期望甲校乙校5 191

17、1 243384 77 43277 88657 8I比拟甲、乙两校新生的数学测试样本成绩的平均值与方差的大小；只需要写出结论II如果将数学根底采用 A、B C等级制，各等级对应的测试成绩标准如下表：总分值100分，所有学生成绩均在 60分以上测试成绩85,10070,85)(60,70)根底等级ABC假设每个新生的测试成绩互相独立根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，求甲校新 学根底等级的概率.1)不同的组的概率是;4. 为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品每一台新产品在进 入市场前都必须进行两种不同的检测，只有

18、两种检测都合格才能进行销售，否那么不能销售11该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为-，第二种检测不合格的概率为 ，两种检测是否610合格相互独立.(I)求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；(n)如果产品可以销售， 那么每台产品可获利 40元；如果产品不能销售，那么每台产品亏损80元(即 获利£0元)现有该新型防雾霾产品 3台，随机变量 X表示这3台产品的获利，求 X的分布列稳固练习1 4个球投入5个盒子中，那么：(1) 每个盒子最多1个球的概率是；(2) 恰有一个盒子放 2个球，其余盒子最多放 1个球的概率是.2 把10支足球队均匀分成两组进行比赛，求两支最强队被分在(2)同一组

19、的概率+与数学期望.310只晶体管中有8只正品，2只次品，每次任抽一个测试，求以下事件的概率(1) 测试后放回，抽三次，第三只是正品的概率是；(2) 测试后不放回，直到第6只才把2只次品都找出来的概率是.4.甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得 1分，未命中目标得0分两人4局的得分情况如下：甲6699乙79xy(I)假设从甲的4局比赛中，随机选取 2局，求这2局的得分恰好相等的概率；(n)如果x y 7，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取 1局，记这2局的得分和为X , 求X的分布列和数学期望；(川)在4局比赛中，假设甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值(结论不要求