七.随机信号通过非线性系统的分析(1)

1、2022-3-81随机信号通过非线性系统的分析随机信号通过非线性系统的分析2022-3-82内容安排内容安排无惰性非线性系统输出概率密度的计算无惰性非线性系统输出概率密度的计算 12非线性系统输出统计特性的各种计算方法非线性系统输出统计特性的各种计算方法 2022-3-831.1 非线性系统与线性系统相比，非线性系统的特点：（1）叠加原理已不适用，故当信号之和共同通过非线性 系统时，不能像线性系统那样将它们分开研究；（2）会在输出端产生输入信号中不含有的新频率分量；（3）一般不能得到闭合形式解，分析方法一般不通用 2022-3-81.1 非线性系统常用的非线性系统(1) 理想双向限幅器(2)

2、平方律检波器(3) 全波线性检波器(4) 半波线性检波器1 0sgn( )1 0 xyxx2( )yf xbx 0 0 xxyxxx 0() 20 0 xxyxxx2022-3-85无惰性非线性系统输出概率密度的计算无惰性非线性系统输出概率密度的计算 非线性系统无惰性 (无记忆)有惰性 (有记忆) 在某一给定时刻，非线性系统的输出y(t)只取决于同一时刻的输入x(t),而与x(t)的过去或未来值无关。惰性非线性系统可以看成无惰性的和线性系统的级联。 ( )x t()g ( )y t1.1 非线性系统2022-3-861.2 非线性系统输出概率密度的计算非线性系统的传输特性一维概率密度的求解步骤

3、：输入信号的概率密度非线性系统输出的概率密度(1) 写出输入随机信号的一维概率密度函数 ； ( ; )Xfx t(2) 写出非线性系统的传输特性 ， 并求其反函数；( )yg x2022-3-871.2 非线性系统输出概率密度的计算(3) 根据反函数求雅可比因子； (4) 写出非线性系统输出的一维概率密度。Jdx dy 1,2,iiJdx dyin单值多值ix表示t时刻一个y值对应n个x值中的第i个值 1( ; ) ( ; )( ; ) XYniXiidxfx tdyfy tdxfx tdy单值多值2022-3-881.2 非线性系统输出概率密度的计算二维概率密度的求解步骤：(1) 写出输入随

4、机信号的二维概率密度函数 ； 1212(; ,)Xfx x t t(2) 写出非线性系统的传输特性 ， 并求其反函数；( )yg x2022-3-891.2 非线性系统输出概率密度的计算(3) 根据反函数求雅可比因子； (4) 写出非线性系统输出的二维概率密度单值1122,yg xyg x11221122(),(),(),()Y tyY tyXtxXtx111221220( ,)( ,)0 xyx xJxy yy12121212(,; , )( ,; , ) YXfy y t tJ fx x t t2022-3-8102 非线性系统输出统计特性的计算方法均值，方差相关函数平均功率功率谱密度统计

5、特性计算方法直接法特征函数法多项式变换的矩函数法包线法2022-3-8112.1 直接法(1) 写出非线性系统的传输特性和输入随机信号的 一维概率密度或二维概率密度;(2) 计算非线性系统输出的均值; ( )( )( ; )YXmE Y tg x fx t dx(3) 计算非线性系统输出的自相关函数;1212111212( , )( ) () ( ,; , )YR t tg x g xf x x t t dx dx 2022-3-8122.1 直接法(4) 计算非线性系统输出的平均功率;22( )( )( ; )XE Ytgx fx t dx(5) 计算非线性系统输出的功率谱密度;自相关函数作

6、傅里叶变换概率密度函数表达式和非线性系统的传输特性都比较简单概率密度函数表达式和非线性系统的传输特性都比较简单 2022-3-8132.1 直接法若输入X(t)是严平稳过程，非线性系统输出？至少是宽平稳过程!2ybx平方律检波器的传输特性为 ，其中b是常数。22xy ( );x( )nnnnEtbxfx t dxb Et 22222y121212x121212R,( )( )xxx ,x ; ,t tb E x tx tbbft tdx dx 平方律检波器平方律检波器x( ) txx1 3 512x0nnnnEn 的偶数为奇数2xy ( )1 3 521nnnEtbn 2xy( )Etb222

7、4xy( )33y( )EtbEt 设检波器输入端作用的是一个零均值的正态噪声，因此令n1 和 n2，得到 由于方差为的正态随机变量X的各阶矩为：2222y( )y( )y( )2y( )tEtEtEt正态噪声作用于平方律检波器正态噪声作用于平方律检波器 yR 2222222y121212Rx( ) x( ) x( ) x( ) 2x( )x( )b EttbEtEtEtt 2422xx2bb R输出相关函数输出相关函数 2422yxx( )2( )2jSbbRed 输出功率谱密度输出功率谱密度设平方律检波器输入端的随机信号是 xsnttt噪声的均值为零，信号和噪声彼此不相关，平方律检波器输出

8、的自相关函数是 222y121122222222222121212122112R, s( )+n( )s( )+n( )s ( )s ( )+4s( )s( )n( )n( )+s ( )n ( )+s ( )n ( )+n ( )()t tb Ettttb Ettttttttttt n t21=tt 22222ysnsnsnRR4RR2Rb 当输入是平稳随机过程时， 信号和噪声同时作用于平方律检波器信号和噪声同时作用于平方律检波器 NNNSSSYSSSS deRbSjSSS22 deRbSjNNN22 222244NSjNSNSbdeRRbS 222242NSSNbdSSb 平方律检波器输出

9、端的功率谱密度平方律检波器输出端的功率谱密度为在为在例例1. 假设输入是等幅正弦信号假设输入是等幅正弦信号是常数，是常数，0s(t)=acosta002，式中，式中,之间均匀分布的随机变量输入噪声之间均匀分布的随机变量输入噪声 为零均值的平稳正态随机过程，信号与噪声彼此不相关。试计算为零均值的平稳正态随机过程，信号与噪声彼此不相关。试计算平方律检波器输出信号的均值、方差、相关函数和功率谱平方律检波器输出信号的均值、方差、相关函数和功率谱密度。密度。解：解：S120 10 2R ( ,)=Ecoscost tatat2021=cos2att 2S0Rcos2a 输入信号的自相关函数输入信号的自相

10、关函数22422120 10 2( )( )coscosE st sta Ett44440120cos2cos24848aaaatt 21tt 242nnnR2R 输入信号平方的自相关函数输入信号平方的自相关函数 输入噪声平方的相关函数为：输入噪声平方的相关函数为： 22222222ynnn0R2R2Rcos2abbb a420cos28a b 输出信号的相关函数为输出信号的相关函数为 22ny( )2aEtb0422224nny( ) 38aEtba42222224ynny( ) y( )216aEtEtba时，求得的自相关函数便是输出的均方值，即 2022-3-8222.2 特征函数法利用

11、特征函数法求解输出自相关函数 (1)写出非线性系统的传输特性，并求出其傅立叶变换 或双边拉普拉斯变换（转移函数） ()( ) jwxF Wg xdxe( )( )sxF Sg xdxe在变换域上分析随机信号通过非线性系统2022-3-8232.2 特征函数法(2) 计算输入随机信号的二维特征函数 12( , ; ) juxjvxXCu vE e1 12 212( ,; )s xs xXCs sE e(3) 计算输出的自相关函数 21( )( ) ( )( , ; )4YXRF u F v Cu vdudv 12121221( )( ) ()( ,; ) 4YXDRF s F s Cs sds

12、ds 2022-3-8242.2 特征函数法(4) 计算非线性系统输出的功率谱密度;自相关函数作傅里叶变换 这种方法可以在一定程度上解决直接法遇到的计算积分的困难，类似于把“时域”中难处理的问题变换到“频域”里来处理。 但当特征函数较复杂时，仍然会产生求解积分的困难。2022-3-8252.2 特征函数法普赖斯(Price)定理 普赖斯利用特征函数法证明，当输入为高斯过程时，输出的自相关函数可以通过系统传输特性，和输入的二维概率密度函数联系起来 设输入为零均值、单位方差，平稳高斯过程，系统的输出为11121212( )()()(,)( )()()kkkYkXkkRgxgxfxxdx dxRE

13、gXgX ()Yg X2022-3-8262.3 多项式变换的矩函数法伏特拉(Voterra)级数 前面把一般非线性系统分成无记忆和线性的级联，这里直接研究无记忆非线性系统，连续函数X(t)作用于非线性系统的输出表示为：式中k0 , k1 称为Volterra核函数,具有以下性质(1)因果律，当任一 时， (2)自变量可以交换11100n0Y( )(,)()()nnnnxkX tX tdd 0i1(,)0nnk212221(,)(,)kk2022-3-827 将非线性系统的传输函数展开成级数（即多项式），使系统输出y(t)的矩函数能用输入随机信号的各阶导数的线性组合来表示，它是伏特拉级数的特殊

14、情况，只需令 求系统输出均值和自相关函数步骤(1) 若非线性系统的传输特性g(x)在0处各阶导数存在， 则将其按马克劳林级数展开为0( )kkkyg xb x01( )!kkkxd g xbkdx2.3 多项式变换的矩函数法11(,)()()nnnnka 2022-3-828(2) 计算输入k阶原点距 ，则输出均值为( )kE xt0 ( ) ( ) ( ) ykkkmE Y tE g X tb E x t2.3 多项式变换的矩函数法2022-3-829(3) 计算输入各阶联合原点距 ( )() jkE Xt Xt则输出自相关函数为00( )( )()jkYjkjkRb b E Xt Xt(4

15、) 求输出自相关函数的傅立叶变换得输出功率谱 密度)(YS 2.3 多项式变换的矩函数法2022-3-830 非线性系统输出端的统计特性可以用输入随机信号各阶矩函数的线性组合来表示。 缺点：当展开式中项数超过三项时，计算就显得十分复杂。 2.3 多项式变换的矩函数法2022-3-8312.4 包线法 若非线性系统的输入是平稳窄带随机过程，则采用包线法求解该系统输出的均值、方差和自相关函数，因为在检波器输出端，我们关心的只是低频分量(1) 写出输入窄带随机过程的表达式 )(cos)()(0tttAtX非线性系统输出表达式 0( )( )( )cos( )Y tg X tg A ttt(cos)t

16、tYg A某一时刻t 0tt 2022-3-8322.4 包线法(2) 展成傅立叶级数形式 0()cos tmtmYgAm001()(cos) ttgAg Ad02()(cos)cos mttgAg Am d (3) 计算输出低频分量的均值 000 ( )()()() ttAttE Y tE gAgA fA dA包络的一维概率密度 2022-3-8332.4 包线法(4) 计算输出低频分量的方差 22000()()() ttAttE gAgA fA dA22200()() LttE gAEgA2022-3-8342.4 包线法(5) 计算输出的自相关函数 0( )()()(,; ) mmtmt

17、AttttagA gAfA AdAdA包络A(t)的二维联合概率密度 00( )( )cos YmmRam (6) 求输出自相关函数的傅立叶变换得输出功率谱密度问题描述：问题描述：xcostttA线性检波器的特性为，作用在检波器，在线输入端窄带正态随机过程在t时刻的状态为 性检波器输出端得0( )00bxxyf xx cosy()220tttttbAf x 其它求输出信号的均值和方差窄带正态随机过程通过线性检波器窄带正态随机过程通过线性检波器H000ytttIIEfAEfA0I001costttIfAd20021coscos2tttttttAIbAdbAd tbA 000tttAttE IEf

18、AfA fA dA由于检波以后，我们关心的只是随机过程的低频起伏分量式中 为检波器输出端的低频分量，因此22220ttAtAttAfAeA 222020tAtttbAAE IedA2222202tAttAbbedA2b 窄带正态噪声包络的一维概率密度为于是可得 22200E IE I2222222002200ttAttAtttb AAE II fA dAedA 222222222202tAttbbA edA 2222222222224221222bbbb输出低频起伏成分的方差为 2ycostttb A2( )yf xbxxcostttA 平方律检波器为，作用在检波器输入端的，在平方律检波器随机过程在t时刻的状态为 输出端得问题描述：问题描述：求输出信号的均值和方差窄带正态随机过程通过平方律检波器窄带正态随机过程通过平方律检波器2222y cos costttttEE bAbE A E22222