具非齐次线性部分的高阶非线性抛物型方程组初值问题的整体解

1、具非齐次线性局部的高阶非线性抛物型方程组初值问题的整体解3 3崔 尚 斌3提要本文研究具有非齐次线性局部并且非线性局部不含低阶导数项的高阶非线性抛物型偏微分方程组小初值问题整体经典解的存在性.关键词 非线性, 抛物型方程组, 初值问题, 整体经典解M R ( 1991) 主题分类 35K 45中图法分类 O 175. 261. 主要结果在 1中, 我们研究了具齐次线性局部的一般高阶非线性抛物型偏微分方程组小初值问题整体解的存在性. 在 2中, 我们研究了具非齐次线性局部的高阶非线性抛物型偏微分方程组小初值问题整体解的存在性. 本文是以上两文的继续, 将研究具非齐次线性局部并且非线性局部不含低阶

2、导数项的高阶非线性抛物型偏微分方程组小初值问题整体经典解的存在性. 我们将要证明, 在线性局部满足与 2相同的条件下, 如果非线性局部不含低阶导数项, 那么小初值问题整体解的存在性条件可以减弱. 下面陈述主要结果.考虑以下初值问题:at u (x , t) = P (ax ) u (x , t) + F (ax s u ,u (x , 0) = 0(x ) ,x R n , ax r u ) ,x R n ,(1. 1)(1. 2)t 0,其中 u (x , t) 表示定义在 R n R + 上的 m维复向量值未知函数,P (ax ) 表示由 r 阶复常系数线性偏微分算子组成的 m m 矩阵,

3、 F (ax s u , ax r u ) 表示以 ax u (x , t) : s r 为变元的 m维复向量值函数,为定义在 R n 上的 m维复向量值函数. 我们知道,算子 P0 (x )1(P ( i)P ( i) 3 )(ax )的符征为 P ( i). 现在令 + () 表示 H e rm ite 矩阵的最大特征+2值. 假设以下条件成立:(A )P (ax ) 所含最低阶导数为 k 阶的 (1 k r) , 且存在常数 c 0 使成立+ () - c ( r + k ) ,函数 F 充分光滑且存在整数 1 使成立 R n;(1. 3)(B ) F (w ) = O ( w 1+ )

4、 ,当 w 0 时.(1. 4)本文的主要结果为本文1994年12月6日收到.3 兰州大学数学系, 兰州730000.3 3 甘肃省科学基金资助的工程.数 学 年 刊17 卷 A 辑746定理1. 1在上述条件 (A ) ,(B )下, 如果还成立 (n + s) + s k , 那么存在常数 0使当初值函数 0 对某整数 N n + 2 r+ 1满足 I 0I H N + r/2 (R n ) + I 0IW N , 1 (R n ) 时,(1. 2) 存在唯一的整体经典解 u , 而且该解还满足以下形式的衰减估计:问题 (1. 1) -t) - n/k ,0,I u ( , t) IW N

5、 - r- n- 1, (R n ) C (1 + t t 0,(1. 5)(1. 6)(1. 7)I u ( , t) IW N , 1 (R n ) C ,6I au ( ,(n + s) /kt)(R ) C (1 + t) - t IW N - r- s- n- 1, n,0,x = s6I au ( ,t) - s/k ,t)IW N - s, 1 (R n ) C (1 + t 0,(1. 8)x = s其中 C 表示与 n , r, s, k ,0, F 及 P 有关的常数.特别, 如果 P (ax ) 是齐次的, 那么 k = r, 应用以上定理可得推论1. 1设 P (ax

6、) 是 r 阶齐次的,且存在常数 c 0 使成立+ () c r , R n.-又设条件 (B )满足. 那么, 如果还成立 (n + s) + s r, 那么存在常数 0 使当初值函数0 对某整数 N n + 2 r+ 1 满足 I 0 I H N + r/2 (R n ) + I 0 IW N , 1 (R n ) 时, 问题 (1. 1) - (1. 2) 存在唯一的整体经典解 u , 而且该解满足当 k = r 的所有衰减估计 (1. 5) - (1. 8).把定理1. 1和推论1. 2分别与 2和 1的两个定理1. 1相比拟, 我们看到在非线性部分不含低阶导数项的情形下, 抛物型方程

7、组小初值问题整体经典解的存在条件可以减弱.把定理1. 1应用于形式更一般的高阶非线性抛物型方程组6A (ax s u , ax ru ) au +x F (ax s u , ax r u ) ,(1. 9)矩阵值函数.at u =其中 F 同前, A (ax s u ,k rx表示以 au s r 为变元的复 m m, ar u )x6A (0,令 P (ax )0) ax ,那么有=,k r定理1. 2设 A 和 F都充分光滑, P (ax ) 满足条件 (A ) , 当 w 0 时, F (w ) = O ( w 2 ).F 满足又设还成立 n + 2s k. 那么存在 0 使当初值函数

8、0 对某 N n + 2 r+ 1 满足定理1. 1的条 件时, 初值问题 ( 1. 9) , ( 1.(1. 6) 和2)存在唯一的整体经典解, 且该解满足衰减估计( 1. 5) ,6I au ( ,(n + ) /kt)(R ) C (1 + t) - t (1. 10)IW N - r- - n- 1, n,0,x = 6I au ( ,t) - /k ,t)IW N - , 1 (R n ) C (1 + t 0,(1. 11)x = 其中 = m in (k , s).2. 主要结果的证明以下用符号 + s r u 表示 au:这时问题 (1. 1) - (1. 2) 可改写成x s

9、 r.at u (x , t) = P (ax ) u (x , t) + F (+ s r u (x , t) ) ,x R n , t 0,(2. 1)(2. 2)x R n.u (x , 0) = 0(x ) ,6期崔尚斌具非齐次线性局部的高阶非线性抛物型方程组初值问题的整体解747对给定的 0 和整数 N n + 2 r+ 1, 用 X N , 表示由 R n R + 上满足以下条件的 m量值可测函数 v 组成的集合:维复向对任意满足 = s 的 Z + n 有( i)t) (n + s) /k a (N - r- s- n- 1, (1 +x v x , t L 0,()+ ; Wn

10、 ) )R ;( ii) 对任意满足 = s 的 Z + n 有(1 + t) s/k ax v (x , t) L 0, (+ ; WN - s, 1 (n ) )R ;( iii) 对任意满足 k N + r 的 Z + n 有ax v (x , t) L 2 (0, + ; L 2 (R n ) ) ;(1+ t) n/k v (x , t) L (0, + ; W N - r- n- 1, (R n ) ) ;v (x , t) L (0, + ; W N , 1 (R n ) ) ;( iv)(v)(v i) D N (v ) , 这里 D N (v ) 定义如下(n+ s) /k

11、6D N (v ) = su p (1 + t)t 0I 5 v ( , t)IW N - r- s- n- 1, (R n ) = st) s/k 6I 5v ( , t)+ su p (1 +t 0IW N - s, 1 (R n ) = s+ su p (1 + t) n/k I v ( ,t) IW N - r- n- 1, (R n )t 0+ su p I v ( , t) IW N , 1 (R n )t 01+ 0262 2I 5 v ( , t)IL (R ) d t+,nk N + r其中 5v 表示函数 (x , t) ax v (x , t) (下同). 在 X N ,

12、 上定义度量 d如下v 1 , v 2 X N , ,d (v 1 , v 2 )=D N (v 1 - v 2 ) ,那么 (X N , ,是一个完备的度量空间.d )设 v X N , . 又设 0 是 R n 上满足以下条件的 m维复向量值函数: r(v ii) 0W N , 1 (R n ) H N + 2 (R n ) , 且 r1+ I 0IW N , 1 (R n ) + I 0I H N + 2 (R n ) ,其中 为出现于条件(B ) 中的正整数. 考虑以下线性初值问题:atu (x , t) = P (ax ) u (x , t) + F (+ s r v (x , t)

13、 ) ,x R n , t 0,(2. 3)(2. 4)u (x , 0) = 0(x ) ,x R n.应用2, 定理3. 1 知该问题有唯一的强解 u , 且 u 可表示成tu ( , t) = S ( t) 0 + 0rS ( t - ) F (+ s v ( , ) d ,(2. 5)其中 S ( t) 为算子 at - P (ax ) 初值问题的解算子1. 2 .引理 2. 1设在条件 (A ) , (B ) 下还成立 ( n + s ) + s k. 那么存在常数 0 0 使当0 0 和M 0 使 F (w ) C 0 w 1+ ,当 w M 时.在以后的推导中我们总设 M .这样

14、 3的第一章的定理4. 4和定理4. 5便可直接应用.把 2,推论2. 1应用于 (2. 5) 可得以下诸估计式6I 5u ( ,t) IW N - r- s- n- 1, (R n ) = st) - (n + s) /k I 0I C (1 +N - r, 1 ( n )W Rt+ C0 (1 + t - )- (n + s) /krI F (+ sv ( ,) ) IW(R ) d ,(2. 6)N - r, 1 n6I 5u ( ,t) IW N - s, 1 (R n ) = s C (1 + t) - s/k I 0IW N , 1 (R n )t+ C0 (1 + t - ) I

15、 F (+ s v ( , ) )- s/kr(2. 7)IW(R ) d ,N , 1 nI u ( , t) IW N - r- n- 1, (R n ) C (1 + t) - n /k I 0IW N - r, 1 (R n )t+ C0 (1 +- n /krt - ) I F (+ s v ( , ) )(R ) d ,(2. 8)IWN - r, 1 nI u ( , t) IW N , 1 (R n )tC I 0IW N , 1 (R n ) + CI F (+ s r v ( , ) ) IW N , 1 (R n ) d .(2. 9)0另外,应用 2,定理3. 1 结论

16、 (2) 可得1+ 026I 5 u ( , t) IL (R )n 2d t2k N + r+ (162 NI 5 u ( , t) I H (R ) d t) (此等号表示范数等价)=n20k r+ C ( I F (+12.rr2d t ) C I 0I H N + 2 (R n ) +v ( , t) )I H N (R n )()2. 10s0应用 3, 定理4. 4 ,在此定理中取 r= q= 1, p = , 并注意到 D N (v ) , 就得到I F (+ s r v ( , ) ) IW N - r, 1 (R n ) C 6 I 5v ( , ) IW N - s, 1

17、(R n ) I 5v ( , )IW r- s, (R n ) = ss + (n + s) C 1+ (1 +) -(2. 11),k代入 (2. 6)并应用条件 (v ii) 便得6I 5u ( , t)IW N - r- s- n- 1, (R n ) = stt) - (n+ s) /k + C 1+ + ss + (n + s) n(1 + t + ) - (1 + C 1+ (1 +) -d .kk06期崔尚斌具非齐次线性局部的高阶非线性抛物型方程组初值问题的整体解749我们知道, 当 a 0, b 0且m ax (a , b) 1 时成立不等式t0 (1 +- a- b- m

18、in (a, b)t - ) (1 +) d C (1 + t) t 0,(2. 12),(见3,第一章 (5. 54) ). 因此, 由 s + (n + s) k 即得6I 5u ( , t)(n+ s /k ,)IW N - r- s- n- 1, (R n ) C (1 +t) -(2. 13) = s其次,再次应用 3, 定理4. 4 ,但取其 r= 1, p = q= 2, 并应用条件D N (v ) ,就得到I F (+ s r v ( ,) )IW N , 1 (R n )I H N + r- s (R n ) I 5v ( , C 6 I 5v ( ,I H r- s (R

19、n ) I 5v ( ,I - 1)W r- s, n(R ) = s C 6 I 5v ( ,I H N - r- s- n- 1 (R n ) 2 I 5v ( ,W r- s, nI - 1)(R ) = s6I 5v ( , ) IL 2 (R n ) ) ( 6 I 5v I H r- s (R n ) I 5v I - 1 (R ) )(+ CW r- s, nk N + r = s C 6 I 5v ( , )IW N - s, 1 (R n ) I 5v ( ,I )W N - r- s- n- 1, n(R ) = s 1- 16I 5v ( , ) IL 2 (R n )

20、) ( 6 I 5v IW r- s, 1 (R n ) I 5v IW r- s, (R n ) )22+ C (k N + r = ss + (n + s) r C 1+ (1 + C (1 +) -ks + (n + s) ( 2 r- 1)6I 5v ( , ) IL 2 (R n ) ,)(2. 14)2kk N + r代入 (2. 7) 并应用条件 (v ii)就得6I 5u ( , t)IW N - s, 1 (R n ) = s C 1+ (1 +t) - s/kt ( ) C 1+ st - ) - (1 +s+) -n + s+(1 +d kk0t+ C (1 + t -

21、) - s (1 + s+) - ( ) ( 2 r- 1)n+ s6I 5v ( , ) IL 2 (R n ) d .k2k0k N + r这一不等式右端第二项按 ( 2. 12 ) 知可被 C 1+ ( 1 + t ) - s/k 控制, 第三项可通过首先运用C au ch y 不等式, 再运用 ( 2. 12 ) 来估计, 易知它亦可被 C 1+ ( 1 +即得t ) - s/k 控 制.综 合 起 来6I 5u ( , t) IW N - s, 1 (R n ) C 1+ (1 +t) - s/k.(2. 15) = s再次, 分别把 (2. 11) 和(2. 14) 代入 (2.

22、8) 和(2. 9) , 不难得到I u ( , t) IW N - r- n- 1, (R n ) C 1+ (1 +I u ( , t) IW N , 1 (R n ) C 1+ .t) - n/k ,(2. 16)(2. 17)数 学 年 刊17 卷 A 辑750最后, 再次应用3, 定理4. 4 , 但取其 r= q= 2, p = , 就得到I F (+ s rv ( , t) ) I 2 N (R n )H6 I 5v ( , t) I 2 N + r- s (R n ) I 5v ( , t) I 2r- s, (R n )HW = s2 (n + s) ( 66 C 2 (1

23、+t) -I 5v ( , t) I 2I 5v ( , t) I 2 (R ) )(R ) +kH N - r- s- n- 1 nL 2 nk N + r = s2 (n + s) C 2 (1 +( 6I 5v IW N - s, 1 (R n ) I 5v IW N - r- s- n- 1, (R n )t) -k = s6I 5v ( , t) I 2 (R ) ) ,+L 2 nk N + rs+ (n + s) ( 2 r+ 1)6 C 2 (+ 1) (1 + t) -C 2I 5v ( , t) I 2 ( ) ,(2. 18)+kL 2 R nk N + r代入 (2.

24、10) 并应用条件 (v ii) 即得+ (162I 5 u ( , t) I d t)20k N + r+ C 1+ (s(1 + t) - + ( + s) ( 2 r+ 1)n 1 C 1+ +d t)k20+ + C (16I 5v ( , t) I 2 (R ) d t) C 1+ .(2. 19)L 2 n20k N + r把 (2. 13) , (2. 15) , (2. 16) , (2. 17) 和 (2. 19) 结合起来, 最终得D N (u ) C 1+ , 其中 C 是与 1及 v 无关的正常数. 现在取 0 = m in (M , C -X N , . 引理2. 1

25、证毕. ) , 那么当0 0 时就有 D N ( u ) , 进而 u 从以上引理可知, 如果0 0 , 那么对 R n 上任意固定的、满足条件 (v ii) 的函数 0, 由B 0: v u = (2. 3) 和(2. 4) 的解,定义了一个映 X N , 到其自身的映射B 0. v X N , 引理2. 2在引理2. 1的条件下, 存在正数 0 0 使当0 0,x R n ,tu 3 ( , t) = S ( t - ) F (+ s r v 1 ( , ) ) - F (+ s rv 2 ( , ) ) d .06期崔尚斌具非齐次线性局部的高阶非线性抛物型方程组初值问题的整体解751这样

26、应用2,推论2. 1 便得以下诸估计式6I 5u 3 ( , t) IW N - r- s- n- 1, (R n ) = st C0 (1 +n + s-rrt - )I F (+ s v 1 ) -F (+ s v 2 ) IW(R ) d ,kN - r, 1 n6I 5u 3 ( , t) IW N - s, 1 (R n ) = st C0 (1 +s-rrt - )I F (+ s v 1 ) -F (+ s v 2 ) IW(R ) d ,kN , 1 nI u 3 ( , t) IW N - r- n- 1, (R n )t C0 (1 +nt - )-I F (+ s v 1

27、 ) -rF (+ s v 2 ) IWr(R ) d ,kN - r, 1 ntI u 3 ( , t) IW N , 1 (R n ) CI F (+ s rv 1 ) - F (+ s rv 2 ) IW N , 1 (R n ) d .0另外, 应用2, 定理3. 1 结论 (2) 可得+ (16 32 2I 5 u ( , t) IL (R ) d t)n20k N + r+ C (1rr 2 NI F (+ s v 1 ) -F (+ s v 2 ) I H (R ) d t).n20类似于 (2. 11) , (2. 14) 和(2. 18) 的推导, 运用3, 定理4. 5 可

28、得以下各估计I F (+ s rv 1 ) - F (+ s rv 2 ) IW N - r, 1 (R n )s+ (n + s) D N (v 3 ) , C (1 + ) -kI F (+ s rv 1 ) - F (+ s rv 2 ) IW N , 1 (R n )s+ (n + s) C (1 + ) -D N (v 3 )ks+ (n + s) ( 2 r- 1)6+ C - 1 (1 + ) -D N (v 3 )I 5v 1 IL 2 (R n )2kk N + rs+ (n + s) ( 2 r- 1)+ C - 1 (1 + ) -D N (v 3 )6I 5v 2 IL

29、 2 (R n )2kk N + rs+ (n + s) ( 2 r- 1)6+ C (1 + ) -I 5v 3 IL 2 (R n ) ,2kk N + rI F (+ s rv 1 ) - F (+ s rv 2 ) I 2 (R )H N ns+ (n + s) ( 2 r+ 1) C 2 (1 + t) -D N (v 3 ) 2k6C 2 (- 1)Dv 3 22N ()I 5 v 1 IL 2 (R n )+k N + rC 2 (- 1)Dv 3 262+N ()I 5 v 2 IL 2 (R n )k N + rC 26I 5v 3 I 2 (R ).+L 2 nk N +

30、r数 学 年 刊17 卷 A 辑752把这三个不等式代入前面得到的五个不等式, 即得n + s6I 5u 3 ( , t) IW N - r- s- n- 1, (R n ) C (1 + t) - k D N (v 3 ) , = s s6I 5u 3 ( , t) IW N - s, 1 (R n ) C (1 +k D N (v 3 ) ,t) - = s nI u 3 ( , t) IW N - r- n- 1, (R n ) C (1 + t) - k D N (v 3 ) ,I u 3 ( , t) IW N , 1 (R n ) C D N (v 3 ) ,+ (16 32 23 )I 5 u ( , t) IL (R ) d t) C D N (v.n20k N + r结合起来即得 D N ( u 3 ) C D N ( v 3 ) , 其中 C 是与 及 v 1 , v 2 无关的常数.现在取 0 =1D1d1m in (0 , (2C ) - ) , 那么当0 0充分小时B 0 在