毕业设计基于规划与多目标规划问题的DVD在线租赁问题论文

1、基于0-1规划与多目标规划问题的DVD在线租赁问题摘要本文是在DVD在线租赁背景下，根据会员的偏爱指数，对DVD的租赁与归还，对DVD的采购与分配问题进行分析。同时要考虑会员的最大满意度以与使商家达到最大的收益额，本文主要利用线性规划思想对问题做了模型研究。对问题一是在预知会员需求量的情况下，确定5种DVD购买量的问题。本文依据不同租赁周期进行建模分析，并建立了基于DVD实际可租用次数的通用模型，并利用LINGO进行求解。求出保证至少50%会员一个月看到5种DVD的所需购买量分别为：DVD1为6250，DVD2为3125，DVD3为1563，DVD4为782，DVD5为313。保证至少95%会

2、员一个月看到5种DVD的所需购买量分别为：DVD1为3959，DVD2为1980，DVD3为990，DVD4为495，DVD5为594。对问题二是在预知DVD总量的情况下，进行的一次分配问题。本文在建立模型之前，首先对会员偏爱指数进行了处理，排出了0对模型的干扰，然后通过建立0-1整数线性规划的模型，利用LINGO进行最大满意度求解以与对应的最优分配。求出最大满意度为，以与前三十名会员的DVD分配情况。对于问题三,运用多目标规划，求解每种DVD的购买量与对DVD的分配，使之达到满意度最大。由于有60%的会员每月租赁DVD两次，而另外40%的会员每月租赁一次，所以进行分段求解。第一次租赁时，建立

3、多目标规划模型，由赋权得，满意度最大为2895，购买量为2850；第二次租赁时，考虑到第一次归还的情况，得出100种DVD购买总数为3111。对于问题四，基于现实生活中会出现会员拖延归还时间，损坏DVD，以与每月租赁次数较少的情况，本文给出了两条营销建议：1、建议DVD租赁公司建立会员诚信制，以减少DVD损坏情况与规归还秩序。2、增加每月租赁次数，增加的次数由会员自行承担邮费，为增加部分收益。关键字：DVD在线租赁 0-1规划 多目标规划 期望值 最优分配一、 问题重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。如在线DVD租赁问题。顾

4、客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3DVD。会员看完3DVD之后，只需要将DVD放进提供的信封里寄回（邮费由承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：1. 正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了表1数据。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。现假设有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，为

5、保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月能够看到该DVD所需准备的数；以与为保证在三个月至少95%的会员能够看到该DVD所需准备的数。2. 表2中列出了上100种DVD的现有数和当前需要处理的1000位会员的在线订单对这些DVD进行一次分配，使会员获得最大的满意度。并具体列出前30位会员（即C0001C0030）分别获得了哪些DVD。3. 继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。从经营管理人员的角度出发，考虑如何购置DVD数量以与如何对这些DVD进行分配，从而使一个月95%的会员得到他想看的DVD并且满意度最大。4. 从经营管理人员的角度出发，对DVD的需求预测、购买和分配中

6、的重要问题进行研究，并提出问题与建立相应的数学模型。二、 问题分析2.1问题一的分析商家根据问卷调查1000个会员对这些DVD的偏爱指数对DVD进行采购，类似于采购最优化问题。基本思路就是根据已知条件，分别计算出DVD在一个月和三个月的流转次数，然后结合会员对各种DVD的满意度求出商家应采购的最小DVD总数。2.2问题二的分析根据DVD已知的存储量，进行一次分配，是分配最优化问题。基本思路就是通过建立0-1整数线性规划进行分析，在建立模型之前，首先对表2所给的偏爱指数进行处理，排除掉0对建模的干扰，然后利用偏爱指数（偏爱指数越小偏爱度越大）进行分配，使分配达到会员满意度最大。2.3问题三的分析

7、分析题目所给条件，商家不仅要使DVD购买量最少，又要满足会员的满意度最大，很明显是一个多目标规划问题。由于一个月有租赁一次和两次的会员，所以进行分阶段求解。第一阶段，利用表二随机抽取950人，得出购买方案；第二次租赁在月中进行，此时根据第一阶段的DVD被60%会员归还数量，考虑是否继续购买DVD。2.4问题四的分析以经营管理者的角度，分析DVD的需求预测、购买和分配中对有哪些地方值得研究，主要立足于哪些方面对有益，可以增加的利润，从这个角度出发考虑问题。可以从增加租赁次数以增加利润额，与减少DVD损坏，降低成本等方面考虑。三、 模型假设1. 问卷调查中反映的会员情况，与现实生活中的会员情况大致

8、相符；2. 每个会员每次租赁的3DVD种类都不一样；3. 会员一个月不会重复租赁同一种DVD；4. 设一个月30天，每月租赁DVD两次的会员在一号租借十五号归还，归还后再租借其他DVD直到月底归还；每月租赁DVD一次的会员在一号租借月底归还；5. 邮寄时间可以忽略不计；6. 租赁过程中DVD不会出现损坏情况；7. 由于题目中缺乏DVD的相关信息，所以本文假设不同的DVD采购价格一样。四、 符号说明调查的1000位会员中愿意观看5种DVD的人数；5种DVD愿意观看的人数与调查的总人数之间的比；的10万个会员中愿意观看5种DVD的人数；每DVD在一个月中实际被租赁的平均次数；每月租赁两次的会员所占

9、总人数的比例；第种DVD的数量；能看到5种DVD的会员占总人数的比例；需要准备的5种DVD总数；第位会员是否租赁第种DVD；第位会员对第种DVD碟片的偏好指数；总体满意度；表示第位会员是否租赁到自己想看的DVD；多目标规划模型中的权重，本文取值；第二次DVD租赁中第位会员对第种DVD的相应满意度；表示根据第二次租赁时第个人的需求采购DVD的数量。五、 模型的建立与求解5.1问题一 5.1.1模型的建立 根据题目中给出的调查1000位会员中愿意观看5种不同DVD的人数，计算出每种DVD愿意观看的人数与调查的总人数之间的比例关系：计算结果如表一：表一 对1000个会员调查的结果DVD名称DVD1D

10、VD2DVD3DVD4DVD5愿意观看的人数200100502510比例关系0.20.10.050.0250.01根据表一的比例关系，可计算出现有10万个会员中，对这5种DVD愿意观看的人数：得出数据为表二：表二 对10万会员的推断DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5比例关系0.20.10.050.0250.01愿意观看的人数2000010000500025001000又考虑到，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%会员每月租赁DVD一次,而每DVD被租赁的机率是均等的。所以对每DVD碟片来说，它在一个月中实际可被租赁的次数为：其中表示每月租赁两次的会员所占比例，本题为；

11、表示每月租赁一次的会员所占比例，本题为。设第种DVD至少准备的数为，则第种DVD在一个月实际可被租赁的次数为：又根据一位会员对应一DVD碟片，所以要保证至少50%的会员在一个月能够看到该DVD，只需满足在一个月第种DVD的实际可租赁次数比租赁第种DVD的人数多或者正好相等即可，即：其中表示能够看到该DVD的会员所占比例。所以为求5种DVD准备数最少，可以建立模型如下1：模型的求解一个月至少50%的会员看到DVD的情况下：又由题意可知数据为表二，以上数据代入模型中的约束条件，得：使用LINGO软件求解模型（程序代码见附录一（1）。所得结果为。考虑到DVD数应为整数，所以实际购买量如表三：表三 保

12、证至少50%会员一个月看到该DVD的所需购买量DVD名称购买量DVD16250DVD23125DVD31563DVD4782DVD53135.1.2模型的建立三个月至少95%的会员能够看到该DVD与一个月至少50%的会员能够看到该DVD分析情况类似。基于上文的假设，所有被租赁的DVD在月末都会被归还回来，相当于每月的租赁情况都是独立且等价的。所以三个月第种DVD实际可租赁次数为：故要使5种DVD准备数最少，在三个月至少95%的会员看到DVD的情况下，模型应为：模型的求解三个月至少95%的会员看到DVD的情况下：其他数据与5.1.1中数据一样。将数据带入模型，使用LINGO软件求解（程序见附录一

13、（2）。所得结果为。考虑到DVD数应为整数，所以实际购买量如表四：表四 保证至少95%会员三个月看到该DVD的所需购买量DVD名称购买量DVD13959DVD21980DVD3990DVD4495DVD55945.2问题二模型的建立已知，上100种DVD的现有数，合理地分配给1000位在线订单地会员，并使会员的满意度获得最大。对现有碟的分配是一个线性规划问题，本文通过分析与假设建立0-1整数线性规划模型。在0-1整数规划模型中：由题可知，第位会员对第种碟片的偏好指数为0-10；其中数字越小表示会员的偏爱程度越高，而数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。所以为了在计算中排除掉0的干扰，

14、本文首先对表2中的数据进行修正，修正后偏好指数为：偏好指数不为0时：偏好指数为0时：故第位会员对第种碟片的满意度为：本次规划的目的是获得总体满意度最大，所以目标函数为：会员租赁的第种DVD总数不可能超过第种DVD现有数：又根据租赁规则，会员每次租赁不得超过3：综上所述，可建立0-1整数规划模型如下2：模型的求解使用LINGO软件读取题目中表2给出的偏好指数数据，并进行0-1整数规划模型的求解（程序见附录二）。求得所有会员的最大满意度之和为 。前30位会员获得具体DVD如下表：表五 最大满意度下前30名会员获得的DVD情况表会员编号获得的DVD编号会员编号获得的DVD编号C0001D008 D0

15、82 D098C0016D006 D084 D097C0002D006 D042 D044C0017D047 D051 D067C0003D004 D050 D080C0018D041 D060 D078C0004D007 D018 D041C0019D067 D084 D086C0005D011 D066 D068C0020D045 D061 D089C0006D016 D019 D053C0021D045 D053 D065C0007D008 D026 D081C0022D038 D055 D057C0008D015 D071 D099C0023D029 D081 D095C0009D05

16、3 D078 D100C0024D041 D076 D079C0010D055 D060 D085C0025D009 D069 D094C0011D019 D059 D063C0026D022 D068 D095C0012D002 D007 D031C0027D022 D042 D058C0013D021 D078 D096C0028D008 D034 D082C0014D023 D043 D052C0029D030 D044 D055C0015D013 D085 D088C0030D001 D037 D0625.3问题三作为一名经营管理人员，除要考虑会员的最大满意度之外，还要追求收益最大化，

17、因此，这是一个多目标规划问题。由题目1可知，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次，所以进行分阶段求解，假设一个月有两次订单，分别在月初和月中，进行两次购买：5.3.1第一阶段购买模型的建立的管理人员根据1000个会员订单要求，使95%的会员看到他们想看的DVD，且光盘的购买量最少，随机抽取950个会员，并使之满意度最大，会员是否分配到DVD用0-1整数表示，假设表示第个会员是否租赁到DVD：将第种DVD的购买量记为，仍为修正后的满意度。通过赋权，将最少购买量转化，使之成为求最大值，然后加上最大满意度，即求最大值，结合问题立目标函数为：其中表示权重，在此取30%。约束条件：1.

18、 为了满足95%的会员的满意度，本文忽略5%的会员，每个会员只会分到0或3DVD；2. 为了使资源利用最大化，所以会员的订购量为种DVD的总数量；3. 要使总成本最小，该保证950个会员分配3DVD。综上建立模型：模型的求解把相关数据带入，利用LINGO求解（程序见附录三（1）。求得会员的最大满意度为2895（5745-2850），该最少购买量为2850，100种DVD的购买量见表六：表六 100种DVD的购买量DVD种类DVD购买数量1-2020 33 23 35 20 28 29 29 32 23 29 30 28 31 26 36 28 24 30 3821-4030 28 33 22

19、27 28 22 17 24 39 27 35 27 29 37 34 19 30 28 2541-6053 34 26 34 33 23 28 23 32 31 39 24 32 25 30 30 29 28 32 3461-8026 29 32 3432 27 27 34 32 26 35 33 24 2728 22 19 29 30 2880-10027 18 20 18 31 21 33 23 23 25 37 28 23 21 38 23 35 30 15 34对会员的满意度进行分配DVD，前30位会员分配结果见附录三（2）5.3.2第二阶段购买在月中将有60%的会员归还DVD并进行

20、第二次租赁，利用题目表2随机抽取600位会员作为第二次租赁的会员，为了便于求解，可取前600位会员作为第二次租赁的会员。因为自第一次租赁后，不会重复租赁，所以偏爱程度编号最低的三位数要化为0，这时，60%的会员最大满意度由两部分组成：部分会员在第一次租赁要求满足的基础上，再次分配到偏爱度较低的DVD和之前第一次未租赁DVD的会员在第二次获得满意度最低的DVD，设第二次DVD租赁中会员的相应满意度为：表示第一次个会员是否租赁第种DVD，为避免会员重复租赁，所以在第一次租赁后，满意度将化为0，表示根据第二次租赁时第个人的需求采购DVD的数量，建立目标函数：约束条件：1. 每个会员只能租赁到0或3D

21、VD；2. 为使满意度最大，要保证DVD的购买总量大于需求总量。综上可得模型如下：赋权为0.3，带人，利用LINGO编写程序。因为第一次租赁的DVD有60%在月中归还，然后再次出租，所以当第二次租赁的DVD总数大于第一次租赁出去的总数时，只需要在原来购买的基础上增加第二次分配的DVD总数与月中会员归还的数量差值；当第二阶段租赁DVD总数小于会员归还DVD的数量时第二阶段就不用购买，综上可得各类DVD总数为：利用LINGO求解，可得最少购买量和最大满意度。5.4问题四本文之前假设租赁周期一定且DVD不会出现损坏问题，但现实生活中会有部分会员拖延归还时间或者对DVD造成一定损害。基于这种现象本文提

22、出以下营销方法：1. 建议DVD租赁公司建立会员诚信制。即经营管理人员要对租赁DVD的会员进行租赁记录：对于对所租赁的DVD保护较好，没有使DVD出现损伤情况的会员，以与可以按时归还DVD的会员，给予较高的诚信度；对于对所租DVD造成损伤，以与不按时归还DVD的会员，给予其较低的诚信度。由于诚信度低的会员会对运营与利润造成不利影响，所以可以对诚信度高的会员给予一定优惠措施，如减少会费或增加租赁次数；对诚信度极度差的会员给予一定惩罚措施，如增加会费或减少租赁次数等。2. 增加每月租赁次数，增加的次数由会员自行承担邮费。由题意可知，该每月允许租赁次数不超过2次，其中邮费由承担。但现实生活中总会有会

23、员想要多次租赁，所以该可以增加租赁次数，并规定若租赁超过2次，就由会员自行承担邮费，2次以仍由承担。这样，在租赁次数较多的情况下，既无须出邮费，又能赚到租赁费用，能为DVD租赁公司增加不小的收益。六、 模型的检验从误差的角度来看，问题一中从所建两个模型的计算结果，我们可以发现问题一中所建两个模型的计算结果是存在差别的，此差别便是精简模型的误差之所在，即交集问题；从两者的数据比较我们发现此误差相对来说是比较微小的，因此我们认为简单模型可靠性还是比较高的。因为题目中说到有60的人一个月会租赁2次DVD，其他40的会员只租赁一次，然而这60是一个统计量，因此是随机变量，具有相当的不确定性。然而，作为

24、管理者必须要提前购买好DVD数目，这就会因为随机不确定性而产生误差，不能达到最大的满意度。然而，在当今这个信息时代，效率往往更加重要，因此在快速算法的高效率的条件下，这种因为随机现象而产生的误差是可以不予考虑的。七、 模型的评价与推广7.1模型的优点1. 问题一模型建立简单而且精确，用数据说明了模型建立的准确性。2. 问题立的规划模型有成熟的理论基础，运用0-1规划，有相应的专业软件 lingo支持，可信度较高，获得的全局最优解具有说服力。 3. 问题三用图论方法，直观易理解。4. 问题四较为全面地考虑了实际问题中包含的其他因素，建立的模型适合一般情况。5. 所建模型都可用相应软件工具来实现并

25、解决问题，用LINGO进行优化处理，模型简单易懂，易于操作，具有可适应性，可推广性。7.2模型的缺点1. 因为生活中租赁DVD具有随机性，所以会出现分配和数量上的偏差。2.会员人数过多，满意度仅由满意度系数决定，分配存在偶然性。7.3模型的推广本模型解决了DVD的购买与分配问题，采用了01整数规划以与图论的方法。因此，本模型还可应用于其他类似的由两个因素，甚至多个因素决定变量的确定最优化与多目标规划问题。如：公交车发车班数与安排、保险公司收费标准制定、食品采购等。八、 参考文献1 启源，金，叶俊.数学建模M.第3版.：高等教育。2 静，但琦.数学建模与数学实验M.第3版.：高等教育。九、 附录

26、附录一：（1）问题一第1小问程序代码：model:min=D1+D2+D3+D4+D5;1.6*D1>20000*0.5;1.6*D2>10000*0.5;1.6*D3>5000*0.5;1.6*D4>2500*0.5;1.6*D5>1000*0.5;End运行结果：Global optimal solution found. Objective value: 12031.25 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost D1 6250.000 0

27、.000000 D2 3125.000 0.000000 D3 1562.500 0.000000 D4 781.2500 0.000000 D5 312.5000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 12031.25 -1.000000 2 0.000000 -0.6250000 3 0.000000 -0.6250000 4 0.000000 -0.6250000 5 0.000000 -0.6250000 6 0.000000 -0.6250000（2）问题一第2小问程序代码：model:min=D1+D2+D3+D4+D5;1.6*D1

28、*3>20000*0.95;1.6*D2*3>10000*0.95;1.6*D3*3>5000*0.95;1.6*D4*3>2500*0.95;1.6*D5>1000*0.95;End运行结果： Global optimal solution found. Objective value: 8015.625 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost D1 3958.333 0.000000 D2 1979.167 0.000000 D3 989.

29、5833 0.000000 D4 494.7917 0.000000 D5 593.7500 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 8015.625 -1.000000 2 0.000000 -0.2083333 3 0.000000 -0.2083333 4 0.000000 -0.2083333 5 0.000000 -0.2083333 6 0.000000 -0.6250000附录二：（2）问题二程序代码：model:sets:n/1.1000/:h;m/1.100/:D;link(n,m):c,x;endsetsdata:D=ole(&

30、#39; F:数学建模新建文件夹1B2005Table2.xls','c2:cx2');c=ole(' F:数学建模新建文件夹1B2005Table2.xls','c3:cx1002');enddatamax=sum(link(i,j):(11-c(i,j)*x(i,j);for(link:bin(x);for(m(j):sum(n(i):x(i,j)<=D(j);for(n(i):sum(m(j):x(i,j)<=3);End部分运行结果： Global optimal solution found. Objective v

31、alue: 24746.00 Objective bound: 24746.00 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 10732 Variable Value Reduced Cost X( 1, 8) 1.000000 -10.00000 X( 1, 41) 1.000000 -4.000000 X( 1, 98) 1.000000 -8.000000 X( 2, 6) 1.000000 -10.00000 X( 2, 44) 1.000000 -9.000000 X( 2,

32、62) 1.000000 -7.000000 X( 3, 32) 1.000000 -7.000000 X( 3, 50) 1.000000 -9.000000 X( 3, 80) 1.000000 -10.00000 X( 4, 7) 1.000000 -10.00000 X( 4, 18) 1.000000 -9.000000 X( 4, 41) 1.000000 -8.000000 X( 5, 11) 1.000000 -8.000000 X( 5, 66) 1.000000 -10.00000 X( 5, 68) 1.000000 -9.000000 X( 6, 19) 1.00000

33、0 -10.00000 X( 6, 53) 1.000000 -9.000000 X( 6, 66) 1.000000 -7.000000 X( 7, 26) 1.000000 -8.000000 X( 7, 66) 1.000000 -5.000000 X( 7, 81) 1.000000 -10.00000 X( 8, 31) 1.000000 -7.000000 X( 8, 35) 1.000000 -6.000000 X( 8, 71) 1.000000 -10.00000 X( 9, 53) 1.000000 -10.00000 X( 9, 78) 1.000000 -8.00000

34、0 X( 9, 100) 1.000000 -9.000000 X( 10, 41) 1.000000 -5.000000 X( 10, 55) 1.000000 -9.000000 X( 10, 85) 1.000000 -8.000000 X( 11, 59) 1.000000 -10.00000 X( 11, 63) 1.000000 -9.000000 X( 11, 66) 1.000000 -7.000000 X( 12, 2) 1.000000 -9.000000 X( 12, 31) 1.000000 -10.00000 X( 12, 41) 1.000000 -4.000000

35、 X( 13, 21) 1.000000 -8.000000 X( 13, 78) 1.000000 -9.000000 X( 13, 96) 1.000000 -10.00000 X( 14, 23) 1.000000 -9.000000 X( 14, 52) 1.000000 -10.00000 X( 14, 89) 1.000000 -5.000000 X( 15, 13) 1.000000 -10.00000 X( 15, 52) 1.000000 -7.000000 X( 15, 85) 1.000000 -8.000000 X( 16, 10) 1.000000 -7.000000

36、 X( 16, 84) 1.000000 -10.00000 X( 16, 97) 1.000000 -9.000000 X( 17, 47) 1.000000 -9.000000 X( 17, 51) 1.000000 -8.000000 X( 17, 67) 1.000000 -10.00000 X( 18, 41) 1.000000 -10.00000 X( 18, 60) 1.000000 -9.000000 X( 18, 78) 1.000000 -8.000000 X( 19, 66) 1.000000 -7.000000 X( 19, 84) 1.000000 -10.00000

37、 X( 19, 86) 1.000000 -9.000000 X( 20, 45) 1.000000 -10.00000 X( 20, 61) 1.000000 -8.000000 X( 20, 89) 1.000000 -9.000000 X( 21, 45) 1.000000 -9.000000 X( 21, 50) 1.000000 -6.000000 X( 21, 53) 1.000000 -10.00000 X( 22, 55) 1.000000 -9.000000 X( 22, 57) 1.000000 -10.00000 X( 22, 86) 1.000000 -7.000000

38、 X( 23, 29) 1.000000 -9.000000 X( 23, 81) 1.000000 -8.000000 X( 23, 95) 1.000000 -10.00000 X( 24, 37) 1.000000 -7.000000 X( 24, 41) 1.000000 -9.000000 X( 24, 76) 1.000000 -10.00000 X( 25, 9) 1.000000 -10.00000 X( 25, 69) 1.000000 -9.000000 X( 25, 81) 1.000000 -7.000000 X( 26, 22) 1.000000 -10.00000 X( 26, 68) 1.000000 -9.000000 X( 26, 95) 1.000000 -8.000000 X( 27, 50) 1.000000 -7.000000 X( 27, 58) 1.000000 -10.00000 X( 27, 78) 1.000000 -4.000000 X( 28, 8) 1.000000 -10.00000 X( 28, 34) 1.000000 -9.000