勾股定理典型例题归类总结材料

1、实用标准文案9 .已知Rt ABC勺周长为2十灰，其中斜边43=2,求这个三角形的面积。10 .如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广（1）如图，以ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积S1、S2、S3之间有何关系？并说明理由。（2）如图，以RtABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1、S2、S3之间有何关系？（3）如果将上图中的斜边上白半圆沿斜边翻折180。，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）题型二：利用勾股定理测量长度例1.如果梯

2、子的底端离建筑物 9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?跟踪练习：1.如图（8）,水池中离岸边拉到岸边，它的顶端 B恰好落到D点，并求水池的深度 AC. taJ文档大全5米，消防图32 .一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端 长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（A 12 米 B、13 米 C、14 米 D、15 米3 .如图，有两颗树，一颗高 10米，另一颗高 4米，两机目距8米.一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树 的树梢，问小鸟至少飞行（）A 8 米 B 、10 米 C、12 米 D、14 米题型三：勾股定理和逆定理并用一一1 例3.如图

3、3,正万形 ABCD43, E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB=AB那么 DEF是直角三4角形吗？为什么？注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。跟踪练习：1.如图，正方形 ABCM, E为BC边的中点，F点CD边上一点，且 DF=3CF求证：/ AEF=90°题型四：利用勾股定理求线段长度一一例1.如图4,已知长方形 ABC邛 AB=8cm,BC=10cm在边CD上取一点 E,将 ADE折叠使点 D恰好落在 BC 边上的点F,求CE的长.跟踪练习：1 .如图，将一个有45度角的三角板顶点 C放在一弓宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点B在纸带的另边沿上，测得三角

4、板的一边与纸带的一边所在的直线成30。角，求三角板的最大边 AB的长.C2 .如图，在 ABC中，AB=BC / ABC=90 , D为 AC的中点，DE!DF,交 AB于 E,交 BC于 F, (1)求证: BE=CF; (2)若 AE=3, CF=1,求 EF 的长.3 .如图，CA=CB,CD=C& ACB4 ECD=90 ,D 为 AB边上的一点.若 AD=1, BD=3 求 CD的长.B题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直一一例1.有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高 4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高 1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯

5、刚好打开？跟踪练习：1.如图，每个小正方形的边长都是 1, ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上, 并说明理由.（1）求证：/ ABD=90 ;求S四期8的值试判断 ABC的形状,2 .下列各组数中，以它们边的三角形不是直角三角形的是（）_ _ £11A 9, 12, 15 B、7,24,25 C 、”7飞7；、d 、3, 4, 53 .在 ABC中，下列说法/ B=Z C-/A;/ =/ A： / B: / C=3: 4: 5;a:b:c=5:4:3r/：/:/=1：2:3 ,其中能判断 ABC为直角三角形的条件有（）A 2个 B 、3个 C、4个 D、5个4 .在 ABC中，

6、/A、/B、/C的对边分别是a、b、c.判断下列三角形是否为直角三角形？并判断哪一个是直角？（1） a=26, b=10, c=24; （2） a=5, b=7, c=9; （3） a=2, b =, <?=/A 2个 B、3个 C、4个 D、5个5 .已知 ABC的三边长为a、b、c,且满足9 一司"+ |石一】/ +依- 13 =。,则此时三角形一定是（）A、等腰三角形B 、直角三角形 C、等腰直角三角形D、锐角三角形6 .在 ABC中，若 a=n 2 _1, b=2n , c= n2 +1,则 ABC是（）A、锐角三角形B 、钝角三角形 C、等腰三角形D、直角三角形7 .

7、如图，正方形网格中的 ABC是（）A、直角三角形B 、锐角三角形C 、钝角三角形 D、锐角三角形或钝角三角形8 .已知在 ABC中，乙A / B、/ C的对边分别是 a、b、c,下列说法中，错误的是（）A 如果/ C-/B=/ A,那么/ C=90°B 、如果/ C=90° ,那么C 如果（a+b） （a-b） =二，那么/ A=90° D、如果/ A=30° ,那么 AC=2BC9 .已知 ABC的三边分别为 a, b, c,且a+b=3, ab=1,匕=/,求/的值，试判断 ABC的形状,并说明理由10 .观察下列各式：隼+d=已82 + 62 =1

8、5? +即=172,必+ 1产=2G2，根据其中规律,写出下一个式子为 11 .已知，m> n, m n为正整数，以nn2 n2, 2mn,。,+，厂为边的三角形是 三角形.12 .一个直角三角形的三边分别为n+1, n-1 , 8,其中n+1是最大边，当n为多少时，三角形为直角三角形？题型六：旋转问题：例题6.如图，P是等边三角形 ABC内一点，PA=2,PB=2j3 ,PC=4,求4ABC的边长.跟踪练习1.如图， ABC为等腰直角三角形，Z BAC=90 , E、F是BC上的点，且/ EAF=45，试探究BE2、CF 2、EF 2间的关系，并说明理由B E F C题型七：关于翻折问

9、题例题7.如图，矩形纸片 ABC两边AB=10cm BC=6cm E为BC上一点，将矩形纸片沿 AE折叠，点B恰好落 在CD边上的点 G处，求BE的长.跟踪练习1.如图，AD是4ABC的中线，/ ADC=45 ,把 ADC沿直线AD翻折，点C落在点C'的位置，BC=4,求BC 的长.8 一1d（一）折叠直角三角形1 .如图，在 ABC中，/ A = 90 ° ,点D为AB上一点，沿 CD折叠 ABC点A恰好落在 BC边上的A处,AB=4, AC=3 求 BD的长。2 .如图，RtABC中，/ B=90° , AB=3 AC=5将 ABC折叠使 C与A重合，折痕为 D

10、E,求BE的长.（二）折叠长方形AF折叠，点D恰好落在BC上的1 .如图，长方形 ABCD43, AB=4, BC=5, F为CD上一点，将长方形沿折痕 点E处，求CF的长。B重合，点C与C'重合.（1）求2 .如图，长方形 ABC邛，AD=8cm AB=4cm沿EF折叠，使点 D与点DE的长；（2）求折痕EF的长.AC上，折痕为 CE且D点落在对3 . （2013?常德）如图，将长方形纸片ABC所叠，使边CD落在对角线角线D'处.若AB=3, AD=4则ED的长为（）BC于 F 点.（1）求证：FB=FE4 .如图，长方形 ABCN, AB=6, AD=& 1&

11、; BD折叠使A至U A'处DA(2)求证：CA' / BD(3)求 DBF的面积7.如图，正方形 ABC邛，点E在边CD上，将 ADE沿AE对折至/ AFE延长EF交边BC于点G,G为BCDE的中点，连结 AG CF. (1)求证：AG CF； (2)求的值.题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例1、如图，公路 M港口公路PQ在P点处交汇，点 A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为 80米，假使拖拉机行驶时，周围 100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时

12、，那么学校受到影响的时间为多少？例2. 一辆装满货物高为1.8米, 通过吗？宽1.5米的卡车要通过一个直径为5米的半圆形双向行驶隧道,它能顺利跟踪练习：1 .某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北偏东 60°方向移动，距风暴中心 200km的范围内为受影响区域。试问A城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。2 . 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米,要开进厂门形状如下图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂白厂门？3 .有一个边长为 50dm的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口

13、，圆的直径至少多长？（结果保留整4 .如图，铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄，D叱AB于A,CB± AB于B,已知DA=15km,CB=10km现在要在铁路 AB上建一个土特产品收购站 E,使得C, D两村到E站的距离相等，则 E站应建在离A站多 少km处？题型九：关于最短性问题例1、如右图1 19,壁虎在一座底面半径为 2米，高为4米的油罐的下底边沿 A处，它发现在自己的正 上方油罐上边缘的 B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而 是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击.结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐.请问壁

14、虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫？（兀取3.14,结果保留1位小数，可以用计算器计算）实用标准文案例2.跟踪练习：1 .如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为 9个小正方形，其边长都是 1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下地面 A点沿表面爬行至右侧面的 B点，最少要花几秒钟？A2 .如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm, 3cm和1cm, A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从 A点出发，沿着台阶 面爬到B点，最短线路是多少？3 .一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm, 6cm, 12cm,一只

15、蚂蚁想从盒底的 A点爬到盒顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？4 .如图将一根13.5厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中,能全部放进去吗？题型十：勾股定理与特殊角文档大全实用标准文案（1） 直接运用30°或45°的直角三角形1 .如图，在 ABC中，/ C = 90 ° , Z B = 30 ° , AD是ABC的角平分线，若 AC=2察,求AD的长。2 .如图，在 ABC中，Z ACB = 90 ° , AD是 ABC的角平分线，CDL AB于 D, Z A= 30&

16、#176; , CD=2 求 AB 的 长。3 .如图，在 ABC中，AD± BC于 D, / B= 60 ° , / ,C= 45 ° , AC=2 求 BD的长。（2） 作垂线构造30°或45°的直角三角形（1） 将105°转化为45°和60°1 .如图，在 ABC中，/ B= 45° , / A=105° , AC=2,求 BC 的长。2 .如图，在四边形 ABCD43, /A=/ C= 45° , / ADB4 ABC=105 ，若 AD=2,求 AB的长；若 AB+CD2&#

17、171;+2,求AB的长。文档大全（2）将75°转化为30°和453 .如图，在 ABC中，/ B= 45 , Z BAC=75 , AB=J6 ,求 BC的长。题型十一：运用勾股定理列方程（一）直接用勾股定理列方程求AD的长。1 .如图，在 ABC中，/ C= 90° , AD平分/ CAB交 CB于 D, CD=3,BD=5AB的长。2 .如图，在 ABC中，AD±BC于 D,且/ CAD=Z BAD,若 BD=3, CD=8 求（二）巧用“连环勾”列方程1 .如图，在 ABC中,AB=5, BC=7, AC=4也，求 SaBC.2 .如图，在 AB

18、C中，/ ACB= 90° , CCLAB于 D, AC=3 BC=4,求 AD的长。3 .如图， ABC中，/ ACB=90 , CDLAB于 D, AD=1, BD=4,求 AC的长4 .如图， ABC中，/ ACB=90 , CDL AB于 D, CD=3, BD=4 求 AD的长题型十二：勾股定理与分类讨论（一） 锐角与钝角不明时需分类讨论1 .在4ABC中,AB=AC=5 S上REP = 7.3,求 bc的长2 .在4ABC中，AB=15, AC=13, AD为 ABC的高，且 AD=12 求 ABC的面积。（二）腰和底不明时需分类讨论ABD3 .如图1, 4ABC中，/

19、ACB=90 , AC=6, BC=8点D为射线 AC上一点，且 ABD是等腰三角形，求 的周长.图I（三）直角边和斜边不明时需分类讨论1 .已知直角三角形两边分别为2和3,则第三边的长为 2 .在 ABC中，/ ACB=90 , AC=4, BC=2以AB为边向外作等腰直角三角形 ABD求CD的长x轴上，这样的等腰三角形能画多少个3 .如图，D（2,1）,以。的一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在 写出落在x轴上的顶点坐标.题型十三：口土方=或 疡c问题的证明1 .如图 1, 4ABC中，CA=CB / ACB=90 , D为 AB的中点，M N分别为 AC BC上一点，且 DML DN.

20、(1)求证：CM+CN= BD(2)如图2,若M N分别在AC CB的延长线上，探究 CM CN BD之间的数量关系式。2 .已知/ BCD=x ,/ BAD=3 , CB=CD.(1)如图 1,若 a =3=90°,求证：AB+AD=2AC;(2)如图2,若a =3 =90° ,求证：AB-AD="AC; (3)如图 3,若 a =120° , 3 =60° ,求证：AB=ADqAC; (4)如图 3, 若 a =3=120° ,求证：AB-AD=AC;题型十四：a =，夕6问题的证明1 .如图，OA=OB OC=OD / AOBh

21、 COD=90 , M N分别为 AC BD的中点，连 MN ON.求证：MN=与 ON.2 .已知 ABC中，AB=AC / BAC=90 , D为BC的中点，AE=CF连DE EF. (1)如图1 ,若E、F分别在AR AC上，求证：EFA&DE; (2)如图2,若E、F分别在BA AC的延长线上，则 中的结论是否仍成 立？请说明理由.图23 .如图， ABD中，。为AB的中点，C为DO延长线上一点，/ ACO=135 , / ODB=45探究 OD OC AC之 间相等的数量关系.4 .如图， ABD是等腰直角, / BAD=90 , BC/ AD BC=2AB CE平分/ BC

22、D 交 AB于 E,交 BD于 H.求 证：DS K Xf C(1) DC=%A (2) be=15dh题型十五：勾股定理(逆定理)与网格画图1.如图，每个小正方形的边长为1, A、日C是小正方形的顶点，则/ ABC的度数为.2 .如图，每个小正方形的边长都是1,在图中画一个三角形，使它的三边长分别是3,2且三角形的三个顶点都在格点上.3 .如图，每个小正方形的边长都是1,在图中画一个边长为的正方形，且正方形的四个顶点在格点上.4 .在图中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有3个.5 .如图，在4个均匀由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这 4个三角形

23、中,与众不同的是 中的三角形，图4中最长边上的高为 图】图26 .如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1,每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图：(1)画一条线段 MN使MN=Ti; (2)画ABC三边长分别为 3,卡甘，2V行。7 .如图，在5X5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,线段AB的端点在格点上.图I国2(1)图1中以AB为腰的等腰三角形有 个，画出其中的一个，并直接写出其底边长.(2)图2中，以AB为底边的等腰三角形有 个，画出其中的一个，并直接写出其底边上的高.题型十六：利用勾股定理逆定理证垂直1 .如图，在 ABC中，点D为BC边上一点，且 AB=10, BD=6 AD=8 AC=7,其求 CD的长.B rS2 .如图，在四边形 ABCD43, / B=90° , AB=2,= CD=5 AD=4,求四事蛇口3 .如图，在 ABC中，AD为BC边上的中线， AB=5,AC=13,AD=6,求BC的长.CCA=CB, /ACB=c,点P为