2016_2017学年高中数学平面向量2平面向量基本定理学案北师大版必修4

1、3.2 平面向量基本定理1I学习目标导航I1 .了解平面向量基本定理及其意义.（重点）2 .能应用平面向量基本定理解决一些实际问题.（难点）基础初探教材整理平面向量基本定理阅读教材 P85R6“例 4”以上部分，完成下列问题.如果 ei,e2（如图 237）是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,存在唯对实数入1,入2,使a=1e+入2e2（如图 237），其中不共线的向量ei,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底图 237微体脸o判断（正确的打，错误的打“X”）（1）平面向量的一组基底ei,e2中可以有一个向量为零向量.（）（2）任意两个向量都可以作为基底.（）平面

2、向量的基底不是唯一的.（）（4）零向量不可作为基底中的向量.（）【解析】（1）X,因为零向量与任何向量均共线.（2）X,两不共线的向量才可作为平面的一组基底.（4）均正确.认知预习质疑（知识桅理要怠初探:【答案】（1）X（2）X（3）V（4）V质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1:解惑：疑问 2:解惑：疑问 3:解惑：小组合作型平面向量基本定理的理解如果ei,e2是平面”内所有向量的一组基底，入，科是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由.若入，1 满足入 ei+(ie2=0,则入=科=0；(2)对于平面 a 内任意一个向量a,使得 a=入ei+科e2成立的

3、实数入，科有无数对;(3)线性组合入ei+科e2可以表示平面a内的所有向量；(4)当入，取不同的值时，向量入ei+e2可能表示同一向量.【精彩点拨】根据平面向量基本定理的内容来判断.【自主解答】(1)正确.若入w0,则ei=%e2,从而向量ei,&共线，这与ei,e2入不共线相矛盾，同理可说明科=0.(2)不正确.由平面向量基本定理可知入，科唯一确定.(3)正确.平面 a 内的任一向量a可表不成入ei+(ie2的形式，反之也成立.(4)不正确.结合向量加法的平行四边形法则易知，当入ei和e2确定后，其和向量lei+金便唯一确定.1 .对于平面内任何向量都可以用两个不共线的向量来表示；反

4、之，平面内的任一向量也可以分解为两个不共线的向量的和的形式.2 .向量的基底是指平面内不共线的向量，事实上，若ei,e2是基底，则必有eiW0,ezW0,且ei与e2不共线，如 0 与ei,ei与 2ei,ei+e2与 2(ei+e2)等均不能构成基底.阶段2合作探究通关例再练一题1.设ei,e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：ei与ei+e2；ei2e2与e22ei；ei2e2与 4e22ei;ei+e2与eie2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的序号是.（写出所有满足条件的序号）=1，【解析】中，设ei+e2=Xei,则】无解，0,，ei+e2与ei不共线，即ei与ei+e2

5、可作为一组基底；中，设ei2e2=入（e2-2ei）,Z+2入=0,则（i+2 入）ei（2+入）e2=0,则彳无解，2+入=0,二.ei2e2与e22ei不共线，即ei2e2与e22ei可作为一组基底；1.一、中，.ei2e2=2（4e22ei）,.ei2e2与 4e22ei共线，即ei2e2与 4e22ei不可作为一组基底;设ei+e2=入（eie2）,则（i 一入）ei+（i+入）&=0,i入=0,Vx=0,无解.，ei+e2与eie2不共线，即ei+e2与eie2可作为一组基底.如图 238,梯形ABC用，AB/CD且AB=2CDMN分别是DC和AB的中.一.点，若AB=a,A

6、D=b,试用a,b表布DCBCMN-i-i【精彩点拨】【自主解答】利用三角形法则或平行四边形法则，寻找所求向量与a,b的关系.如图所示，连接CN则四边形ANCEM平行四边形.,ib2a；运用基底表示向量图 238M则DC=AN=2AB=2a；_i-1BC=NC-NB=AD-2AB=1=AD-2利用基底表示未知向量，实质就是利用向量的加法、减法以及数乘向量进行线性运算,解决此类问题时，要仔细分析所给图形，借助于平面几何知识的向量共线定理及平面向量基本定理解决.再练一题2 .如图239,在？ABCD3,MN分别为DCBC的中点，已知AM=c,AN=d,试用c,d表不Ab口AD一._一.f.1f1f

7、【解】设AB=a,AD=b,贝U由MN分别为DCBC的中点可得：BN=b,DM=2a,AD+DMl=AM即b+；a=c.寇靛扇即 a+；b=d.22由可得a=(2d-c),b=q(2cd),33rr2_.-2_,即 AB=3(2dc),AD=3(2cd).探究共研型能否用e1,e2表示？依据是什么？【提示】能.依据是数乘向量和平行四边形法则.探究2如果ei,e2是共线向量，那么向量a能否用e,e2表示？为什么?【提示】不一定.当a与e共线时可以表示，否则不能表示.探究 3 基底给定时，向量分解形式唯一吗？【提示】向量分解形式唯一.例国如图 2310,在平行四边形ABC用，F是CD的中点，AF与

8、BD交于E,求证：E为线段BD的三等分点.RM平面向量基本定理应用探究 1如果ei,e2是两个不共线的确定向量，则与e1,e2在同一平面内的任一向量a,图 239Aft图 2310_.,一.一_.一一一一、一2.一一【精彩点拨】要证E为线段BD的三等分点，只需证BE=-BD,可设BE=BD.3选取ABAD作为基底，通过AB+BE=AE,建立相应的方程组，并进行运算，求出即可.一.【自主解答】设AB=a,AD=b,则BD=ADAB=ba,一二一已1.1AF=AD+DF=AD+2AB=b+2a.因为A,E,F与B,D,E分别共线，所以存在实数入，科CR,使AE=入AF,BE=一BD.一口二入.J.

9、于是AE=a+入b,BE=ba.,一三一W，r入由AB+BE=AE,得（1 一（i）a+b=-aH-入b.因为a,b不共线，由平面向量基本定理，入一得1I1M-2-，且科=入.22_三斛得入=.，BE=BD,33即E为线段BD靠近D）的一个三等分点.1.利用向量证明几何问题是其工具性的体现.操作时，为明确方向，常常选取问题中不共线的线段对应的向量作为基底.2.平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量1,e2的线性组合入代1+入22.在具体求入1,入2时有两种方法：一是直接利用二角形法则、平行四边形法则及平面向量基本定理；二是利用待定系数法，即利用定理中入1,入2

10、的唯一性列方程组求解.再练一题3.已知D,E,F分别是ABCWBCCAAB边上的中点.试用向量法证明：ADBECF交于一点.【证明】如图，令AC=a,BC=b为基底,则AB=a-b,AD=a-2b,BE=/a+b,设ADWBE交于点G且AG=入AQBG=科BEI,入u则有 AG=入 ab,BG=a+b.fff 一又有AG=AB+BG12,a+（wi）b,入.2=1,2 斛得 X=.321AG=a-b,33T_T7 一CG=CNAGa+33b-33b2-1,、=3X5（-a-b）.一二1,一而CF=2（ab）,CG=*3.点 GCF,，ADBECF交于一点.构建体系B【解析】AB=CB-CA=e

11、i-e2,阶段平面向量星木定理.体验落实评价1.设O是平行四边形ABCDW角线的交点，下列向量组：ADARDAfBCCA与DCODTOB其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基底的是A.B.C.D.根据基底的概念知两个向量必须不共线，结合图形知正确.2.已知向量ei与e2不共线，实数x,y满足(3x4y)ei+(2x3y)e2=6ed3e2,y 等于（）A. 3B. -3C. 0D. 2【解析】因为(3x-4y)ei+(2x-3y)e2=6ed3e2,所以(3x-4y-6)ei+(2x-3y-3)e2=0,所以3x4y6=0，由一得 x 一 y-3=0,2x3y3=0，即 x-y=3

12、.3.在4ABC中，若D,E,F依次是AB勺四等分点，则以CB=ei,CA=e2为基底时，CF=【导学号：66470048基底及特征应用概念及特征因为D,E,F依次是AB勺四等分点,所以AF=4AB=4(eie2),37-3,31所以CF=CAFAF=2+4(eie2)=4ei+462.31【答案】-ei2444.已知向量 i,j不共线，实数入，！i 满足等式 3 入i+(10w)j=2 入i+(4 科+7)j,则入的值为,科的值为.【解析】由 3 入i+(10)j=2 入i+(4 科+7)j得入i+(35 科)j=0,因为 i,j不共线.所以入=0,35 科=0,即=.5【答案】035_一111，15.设MN,P是ABCH边上