(精品)小学奥数4-3-3任意四边形、梯形与相似模型(一).专项练习及答案解析

1、任意四边形、梯形与相似模型J且M归 例题精讲4-3-3.任意四边形、梯形与相似模型题库page 10 of 8板块一 任意四边形模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”广 S : S2 =S4 £ 或者 S 父询=& MS4 AO :OC =(S +S2 J(S4 +S3 )蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方面 可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面 积对应的对角线的比例关系.例1图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的面积分别是 是多少公顷？6公

2、顷和7公顷.那么最大的一个三角形的面积【考点】任意四边形模型【题型】解答【解析】 在|_abe, cde中有2aeb=nced所以|_abe, cde 的面积比为 (AE MEB) :(CE DEE).同理有 UaDE , L BCE 的面积比为(AE 父 DE): (BE m EC),所 以有SLbe X Scde =Sade X Sbce ,也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积.即SIabe父6 = Sade勺,所以有L ABE与ADE的面积比为7:6 , SLabe =一父39 =21 公顷，S

3、ade =6-父 39 =18 公顷.6 76 7显然，最大的三角形的面积为21公顷.【答案】21例2如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线 AC BD分成四个部分， 4AOB面积为1平方千米，BOC®积为2平方千米，ACOE勺面积为3平方千米，公 园由陆地面积是6. 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【考点】任意四边形模型【关键词】小数报【解析】根据蝴蝶定理求得【难度】2星【题型】解答SxAOD =3x1+2 =1.5平方千米，公园四边形 ABCD的面积是1 +2+3+1.5 = 7.坪方千米，所以人工湖的面积是 7.56.92 =0.58平方千米 【答

4、案】0.58【例3】一个矩形分成4个不同的三角形（如右图），绿色三角形面积占矩形面积的15%,黄色三角形的面积是 21平方厘米.问：矩形的面积是多少平方厘米？【考点】任意四边形模型【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛，初赛，第7题【解析】黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%,而绿色三角形面积占矩形面积的15%,所以黄色三角形面积占矩形面积的50%15%= 35%已知黄色三角形面积是21平方厘米，所以矩形面积等于21 + 35%= 60（平方厘米）【答案】60【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求:三角形BGC的面积； AG:GC=?【考点】

5、任意四边形模型【难度】2星 【题型】解答【解析】根据蝴蝶定理，SbgcM1=2m3,那么Sbgc=6；根据蝴蝶定理，AG:GC =（1+2 ）:（3+6 ）=1:3 .【答案】1: 3例4四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）.如果三角形 ABD的面积等于三角形BCD的面积的A0 = 2 , D0 =3 ,那么CO的长度是 DO的长度的倍.【考点】任意四边形模型【难度】3星【题型】填空【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种"不良四边形”，无外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来 改造不良四边形.看到题目中给出条件SA

6、BD : SBCD =1:3 ,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法. 又观察题目中给出品已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个"不良四边形”，于是可以作 AH垂直BD于H , CG垂直BD于G ,面积比转化为高之 比.再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果.请老师注 意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题.解法一： AO : OC =S&BD ： S残DC =1： 3 , OC =2父3 = 6 , /. OC :OD =6: 3 = 2:1 .

7、 解法二：作 AH_LBD于H, CG_LBD于G.1S 浅OD =- SDOC ,3 1 ”AO =一 CO ,311 一S -ABD = -412 以 BO :°D =SABC : %CD =2 : 3.5 =4 : 7 ,所以 S&BO = M S&BD =一父3= 一 471111.BCD , AH =-CG ,OC =2x3=6 , OC :OD =6:3 =2:1 .【答案】2倍例5如图，平行四边形的面积依次是2、ABCD的对角线交于4、4和6.求：求O 点，4CEF、AOEF、AODF、 BOE OCF的面积；求 GCE的面积.D【考点】任意四边形模型【

8、难度】3星 【题型】解答【解析】 根据题意可知，4BCD的面积为2 +4 +4+6 =16 ,那么 BCO和ACDO的面积 者B是16 + 2=8,所以4OCF的面积为84=4 ;由于 ABCO的面积为8, ABOE的面积为6,所以4OCE的面积为86 = 2,根据蝴蝶定理， E G =FG o S = c 1 F , 所以S 告ce:S/f =EG:FG =1:2,那么 SGCE =SCEF =m2 =一 1 2333【例6】 如图相邻两个格点间的距离是1,则图中阴影三角形的面积为11【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】填空【关键词】清华附中，入学测试题【解析】 连接AD、CD、BC

9、.则可根据格点面积公式，可以得到AABC的面积为：4. _. 3 4一1+3-1=2, AACD 的面积为：3+- -1=3.5, MBD 的面积为：2+3一1=3.所【巩固】如图，每个小方格的边长都是1 ,求三角形 ABC的面积.【考点】任意四边形模型【难度】4星【解析】因为 BD C E ：.,且_5 c 5 ° 10SjABC = S 用BC =-h2 = .2 5：77【题型】解答BD / CE所以 D A 公C【例7】如图，边长为 积.1的正方形 ABCD中,BE =2EC ,CF = FD ,求三角形AEG的面【考点】任意四边形模型 【关键词】人大附中考题 【解析】连接E

10、F .因为【难度】4星FE C【题型】解答1BE=2EC , CF =FD ,所以 S®EF =(111、c)S ABCD3 2=-S12 -ABCD 因为所以,_6 一S AGD =6S GDF = 7 S ADF6 1G _ 3SABCD - S7 414 _ABCD 所以122S. AGE =S.AED - S .AGDS|_ABCD -S_ABCD - - S ABCD2二7，即三角形AEG的面积是1 2 .7例8 如图，长方形ABCD中，BE :EC =2:3 , DF : FC =1:2 ,三角形DFG的面积为2 平方厘米，求长方形 ABCD的面积.【题型】解答【考点】任

11、意四边形模型【难度】4星【解析】连接AE, FE .3 1 11：=:'：=：，所乂。归二父3土方形ABCD=而1方形ABCD.11 1因为 Siaed =S长方形ABCD，AG ： GF = ： =5:1 ,所以 SAGD =5S GDF =10 平方厘米，所以 工 22 10-1 一SAFD =12平万厘米.因为SAFD =己 %方形ABCD,所以长方形 ABCD的面积是72平方厘米.【例9】 如图，已知正方形 ABCD的边长为 BF中点，求三角形 BDG的面积.10厘米，E为AD中点，F为CE中点，G为【考点】任意四边形模型【解析】 设BD与CE的交点为0 ,连接BE、DF .1

12、1.由蝴蝶 7E 理可知 E0 ： 0C = S BED ： S BCD ,而 S B E D= S ABC D S BCD =3 S ABCD , 所以1E O： 0 c USE D： U SB C=D 1 ： 2 故 EO = EC . 一3由于F为CE中点,1所以 ef =ec ,故 eo： EF =2:3, 2FO: EO =1: 2 .由蝴蝶7E理可知S bfd ： S BED一 一.八 1=F0 ：E0=1：2 ,所以 SBFD =2SBEDJc一s ABCD ,8 一1 一那 A Si BGD S bfd2 -【答案】6.251一S ABCD16 一1X10X10=6.25 （平

13、万厘米）.16【例10如图，在若.AOMMBC 中,已知 M、N分别在边 AC、BC上，BM与AN相交于O,、MBO和ABON的面积分别是 3、2、1,则AMNC的面积是【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】填空【解析】这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解.根据蝴蝶定理得SmonS.AomS. bonS.AOB设S&on =x ,根据共边定理我们可以得,解得 x=22.5 .【答案】22.5【例11正六边形AiA2 A3AA5 A6的面积是2009平方厘米，BB2B3B4B5B6分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米.3【难度】4星B.A.A

14、1A6A3A5 B4A4【考点】任意四边形模型【题型】填空【关键词】迎春杯，【解析】如图，设 角形组成, 部分面积.连接 A64、B6B、设gBB6的面积为6年级。初赛B6A2与B1A3的交点为O,则图中空白部分由 6个与AA2OA3一样大小的三只要求出了 AA2OA3的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影B6A3 .1 "，则&BAB6面积为" 1 “，猷1A2B6面积为" 2 “，那么从A3B6面积为像4风的2倍，为" 4 "，梯形 AA2A3A6的面积为2x2 + 4x2=12, MB3AB的面积 为" 6 “，A

15、B14AB的面积为2.根据蝴蝶7E理，B1O =AbO =S在1A2B6 : SaA2B6 =1:6,故 S&OA3所以 S A2OA3 : S梯形A13A3A612一 :12:1: 7 ,即AA2OA3的面积为梯形76 c 12:SB1A2A3 =一，1 61 271AA2A3A6面积的，故为K边7一1形AA2A3A4A5A6面积的一，那么空白部分的面积为正K边形面积的146 =一147,所以阴影部分面积为2009： 口-3 ,7148（平方厘米）.【答案】1148【例12如图，ABC匿一个四边形,M N分别是 AB CD勺中点.如果 ASM MTBBW DSN的面积分别是6、7和面

16、积为.8,且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD勺【考点】任意四边形模型【关键词】迎春杯，高年级组，决赛,【解析】连接MN、AC、BD .【题型】填空12题由于M是AB的中点，所以 MMN与ABMN的面积相等，而 AMTB比A ASM的面积大1 , 所以iMSN比AMTN的面积大1;又由于N是CD的中点，所以 iDMN的面积与ACMN的 面积相等，那么 ACTN的面积比ADSN的面积大1,所以ACTN的面积为9.假设加TN的面积为a,则AMSN的面积为a+1 .根据几何五大模型中的蝴蝶定理，可知48MSD的面积为,ABTC的面积为63 . a要使这两个三角形白面积为整数，a可以为1,

17、 3或7.由于4ADM的面积为 MBD面积的一半，ABCN的面积为mCD面积的一半，所以 MDM 与加CN的面积之和为四边形 ABCD面积的一半，所以 MDM与ABCN的面积之和等于四 边形BMDN的面积，即：48634863+6 + +9 =7 +a +a +1 +8 ,得+ =2a +1 .a 1 aa 1 a将a =1、3、7分别代入检验，只有a =7时等式成立，所以AMTN的面积为7, AMSN、AASD、 9TC的面积分别为8、6、9.四边形 ABCD勺面积为（6+7+8+9¥2=60.小结：本题中“且图中所有三角形的面积均为整数”这个条件是多余的.【例13】已知ABCD是

18、平行四边形,则阴影部分的面积是【答案】60BC:CE=3:2 ,三角形ODE的面积为6平方厘米。平方厘米。【题型】填空【考点】任意四边形模型【难度】4星【关键词】学而思杯， 6年级，第五题【解析】 连接AC。由于ABCD是平行四边形，BC:CE=3:2 ,所以CE: AD=2:3,根据梯形蝴蝶定理，SLCOE : S_AOC ：S_DOE : SAOD =22:2X3: 2 M 3:3 2 =4: 6: 6:9 ,所以SAOC =6 （平方厘米），S AOD =9 （平方厘米），又 S ABC = S ACD =6*9=15 （平 方厘米），阴影部分面积为 6+15 = 21 （平方厘米）。CAc【答案】21【例14正方形ABCDfe长为6厘米，AE= 1AC, CF=2BG三角形 DEF的面积为平33方厘米。【考点】任意四边形模型【难度】4星 【题型】填空【关键词】走美杯，五年级，初赛，第 13题1 .1【解析】为AE =- AC ,