关于某“一线三垂直”模型及其在平面几何中地应用

1、实用文档文案大全关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用线三垂直”模型是 线三等角”模型的特殊情况，（关于 线三等角”模型详见 比例与相似高级教程（六）：相似三角形的 0线三等角”模型）,即三个等角角度为 90o,于是有三组边相互垂直，所以称为加线三垂直”模型。线三垂直”的性质：1,模型中必定存在至少两个三角形相似，三对等角，三对成比例的边长；2,当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形。线三垂直”模型在平面几何中有着及其重要的地位，常出现的图例有以下几种：其中，在 变形2”模型下，根据相似原理，推理出了著名的射影定理”这里主要讨论有一对对应边相等的情况。【例1】如图，在等

2、腰直角三角形 ABC中，/ ACB=Rt Z, AC=BC , AE，CE于点E, BDCE于点 D, AE=5cm , BD=2cm ,则 DE的长为多少？【提示】根据 J线三垂直”模型的性质，ACECBD,于CE=BD=2cm , DE=5-2=3 (cm)CD=AE=5cm例2如图，在 ABC 中，CA=CB，点D 为BC中点，CE AD于点E,交AB于点F,连接 DF。求证： AD=CF+DF.1】相同，却不能照搬照抄。如图，过点 B作AD这条线段 转化”到直线 CF上。Go【解析】此题乍一看起来和【例 从要证明的结论来看，需要把 BG CB ,交CF的延长线于点则易证 ACD 叁 C

3、BG ,于是 AD=CG=CF+FG ;BG=CD=BD , BF=BF , / DBF= / GBF=45o , 故4 BDF BGF ,于是 FD=FG ,所以 AD=CF+DF 。关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用(二)线三垂直”的性质：1,模型中必定存在至少两个三角形相似，三对等角，三对成比例的边长；2,当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形。【例3】如图，在 ABC 中，AB=AC , / BAC=90o ,分别过 B, C向过 A点的直线作 垂线，垂足分别为E, F。(1)如图1,过点 A的直线与斜边 BC不相交时，求证： EF=EB+CF ;(2)如图

4、2,过点A的直线与斜边 BC相交时，其他条件不变，若BE=10 , CF=3.求EF的长。【提示】(1)图1是线三垂直”的基础模型， ABECAF;(2)图2是 线三垂直”的变形4,和【例1】相同。【例4】如图，已知 AEB中，/ AEB=90o ,以AB为边向外作正方形ABCD ,连接AC、BD ,交于点 O,连接 EO。若BE=2 , EO=3/2 ,求五边形 AEBCD 的面积。【解析】因为/ ABC= Z AEB=90o ,故构造 线三垂直”模型，如图。 D过点C作CPXEB,交EB延长线于点 P,连接 OP。则根据 线三垂直”模型的性质， AEB BPC ,BP=AE ; / AOB

5、= / AEB=90o ,A、E、B、O四点共圆（详见 四点共圆”在解题中的妙用（一），/ BEO= / BAO=45o ;同理/ BPO= / BCO=45o ,故4 EOP为等腰直角三角形； EO=3/2 , EP=6 , BP=4 ,根据勾股定理，AB2=16+4=20 ,即S正方形 ABCD=20 ,SA AEB=4X 2 笠=4, . S 五边形 AEBCD=20+4=24.关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用（三）【例5】已知 ABC 中，/ ACB=90o , AC=BC , CD为AB边上的中线，点E为BC边上任意一点（不与A、D、B重合），BF XCE于点F,交 CD

6、于点 G, AH XCE,交CE延长线于点 H ,交CD延长线于点 M。求证：（1） CG=AE ; （ 2） DE=DM 。构造 线三垂直”模型，是作辅助线常用的一种手段。11【例6】如图，直线 11 II 12 / 13,且11到A、和13于点D、E,构造0线三垂直”模型,【提示】(1)根据线三垂直”模型， ACH叁 CBF ,ACE= / CBG ,又/ CAE= / BCG=45o , AC=BC , . ACE BCG ;(2)由 线三垂直 ”模型可知，/ ACE= / CBG, BF=CH , ./ HCM= / FBE ,又/ BFE= / CHM=90o , . CHM BFE

7、 , BE=CM ,从而 DE=DM 。同时我们也应该注意到：ACM CBE ; ADM CDEA BDG ; AHE CFG ;DM=DG=DE ; AGEM为等腰直角三角形等。12的距离为 3, 12到13的距离为 4,等腰直B分别在11、13上。求 ABC的面积。关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用(四)【例71 (2018初二希望杯练习题)如图，四边形 ABCD为直角梯形， AD/BC, / BCD=90o , AB=BC+AD , / DAC=45 o , E 为 CD 上一点，且/ BAE=45 o ,若 CD=4 , 求 ABE的面积。【解析】如图，过点 E作EG AE

8、,交AB延长线于点 G,过点 G作GH，DC ,交 DC延长线于点 H,构造-线三垂直”模型；过点 G作GK XBC于点K,过点B作 BF AD 于点 F。CED :昨亘ADE EHG , DE=GH ; AD=EH=CD , DE=CH ,故四边形 CKGH为正方形。AF=4-BC , AB=4+BC , BF=4 ,( 4+BC ) 2= (4-BC ) 2+42, 解得：BC=1 ,所以AB=5 ; 设 DE=x ,贝U BK=1-x , GK=x , AE2=x2+42T尸j二 期踹碘二圻工作复 AEG 为等腰直角三角形，. AG2 =2AE2 , (5+BG ) 2=2 (x2+42

9、),将 BG 代入，化简得： (7x-4 ) 2=0 , x=4/7 ,. ABE 面积二梯形 ABCD 面积-4ADE 面积-4BCE面积 =(1+4) X4 攵-4 4/7 -2-1 (4-4/7) 2=50/7 。在直角坐标系中构造0线三垂直”模型，是解决坐标问题的一种有效手段。【例8】如图，在直角坐标系中，点A (1, 2),点B (0, -1),已知 ABC为等腰直角三角形，求点 C的坐标。A(L2)【解析】设 C ( m, p)。(1)当/ BAC为直角时：当点 C在AB右侧时，如图1。过点A作DE /x轴，交y轴于点 D ,过点C作CE，DE 于点E。根据 线三垂直”模型， AB

10、D叁 ACE ,DB=AE , CE=DA ,即：m-1=3 , 2-p=1 ,解得：m=4 , p=1 , C (4, 1);当点 C在AB左侧时，如图2。过点A作DE /x轴，交y轴于点 D ,过点C作CE，DE 于点 E。根据线三垂直”模型，ABD ACE ,. DB=AE , CE=DA ,即：1-m=3 , p -2=1 ,解得： m=-2 , p=3 , C (-2, 3);(或者用下列方法：此时，点C和中的 C关于点 A对称，故 m=2X 1-4=-2 , p=2X21=3.)(2)当/ ABC为直角时：当点 C在AB右侧时，如图3。过点A作AE / x轴，交y轴于点 E,过点C

11、作CD，y 轴于点 D。根据线三垂直”模型，4ABE叁 BCD ,. DB=AE , BE=CD ,即：-1-p=1 , m=3 ,解得： m=3 , p=-2 ,C (3, -2);当点C在AB左侧时，如图 4。过点B作DE / x轴，过点 C作CD，DE于点D ,过点 A作AE DE于点E。根据 线三垂直 ”模型，ABE BCD ,BE=CD , BD=AE ,即：0-m=3 , p - (-1 ) =1 ,解得：m=-3 , p=0, C (-3, 0);(或者用下列方法：此时，点C和中的 C关于点B对称，故 m=2 0-3=-3 , p=-1 X2(-2) =0.)(3)当/ ACB为

12、直角时：当点 C在AB右侧时，如图 5。过点 C作CD / x轴，过点 A作AD CD于点D, CD交y轴于点E。根据 线三垂直 ”模型，ACD0CBE,BE=CD , CE=DA ,即：m=2-p , p- (-1 ) =m-1 ,解得：m=2 , p=0，即CD与x轴重合，点 E与O重合，C (2, 0);。猛门甲初若就于工帝迢忙期中初寿为手工注当点 C在AB左侧时，如图 6。过点 C作CD / x轴，过点 A作AD CD于点D, CD交y轴于点E。根据 线三垂直 ”模型，ACD0CBE,BE=CD , CE=DA，即：1-m= p- (-1) , 2-p = 0-m ,解得：m=-1 ,

13、 p=1 , . C (-1 , 1)。(或者用下列方法：此时，点C和中的 C关于AB的中点对称， AB的中点坐标为(0.5, 0.5),故 m=2 0.5-2=-1 , p=0.5 X2 0=1.)综上所述：符合条件的点C的坐标有6个：(4, 1) ; (-2,3); ( 3, -2);(-3, 0) ; (2,0); (-1,1)。关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用(五)前面讨论的是关于线三垂直模型”有两条边相等时的情况。如果不存在两条边相等，那么 线三垂直模型 ”的性质是必然存在一对或几对相似三角形，这个性质在初中平面几何中的应用也是十分广泛，尤其在直角坐标系中的函数图像与平面

14、几何的综合应用题或压轴题经常得到应用，也是作辅助线的思想方法。经常出现的图例跟前面介绍的一样(关于线三垂直”模型及其在平面几何中的应用(一),只是直角的两条边不一定相等。【例9】如图，在直角坐标系中，点A (1, 3),点B (2, -1),坐标轴上是否存在点C,使得/ ACB为直角？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。【解析】(1)当点C在y轴上时:如图1,设C (0, c),分别过点 A、B作x轴的平行线，交 y轴于点D、E。 则根据 线三垂直模型 ”，ACDscbe, .AD : CE=CD : BE,即：1 ： (c+1)=(3-c) : 2,解得：C1=1 + v/2,

15、C2=1-V2,故 C (0, 1+，2);或 C (0, 1-，2);(2)当点C在x轴上时：轴于点D、E。,在一次函数 y=x/2-1C的坐标；若不存【解析】设/如图2,设C (c, 0),分别过点 A、 B作y轴的平行线，交 x则根据 线三垂直模型 ”， ACD st CBE ,AD : CE=CD : BE,即：3： (2-c) = ( 1-c) : 2,或 3 ： ( c-2 ) = ( c-1 ) : 2,解得：口戈玛萄冲g筹口故C 1白玛03或C(:与当刃阖j的降话T论综上所述，符合条件的点C的坐标有4个，分别为:(0, 1+，2) ; ( 0, 1-，2);(号百(史乎三。储 的中拙音豆苧工惊叁【例10如图，在直角坐标系中，点A (