(精品)小学奥数7-7-4容斥原理之数论问题.专项练习及答案解析

1、7-7-4容斥原理之数论问题7-7-4.容斥原理之数论问题.题库page 3 of 8教师版mj加昨教学目标1 . 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2 .掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.趾M蚱 知识要点一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数， 不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成：AljB = A+B-API B （其中符号“ U ”读作 “并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“ n ”读作“交”，相当于中文“且”的意思.）则称这一

2、公式为包含与排除原理， 简称容斥原理.图示如下：A表示小圆部分，B 表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分， 记为：AB,即阴影面积.图示如下：A表 示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分， 记为：API B,即阴影面积.1 .先包含一一A + B重叠部分AB计算了 2次，多加了 1次;2 .再排除一一A+B -Ap B把多加了 1次的重叠部分 AB减去.包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B的并集AL.B的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合 A、B的元素个数，然后加起来，即先求 A + B （意思是把A B的一 切元素都“包含”进来，加在一起 ）；第二

3、步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=AP|B （意思是“排除” 了重复计算的元素个数）.二、三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和 =A类元素的个数 +B类元素个数+C类元素个数- 既是A类又是B类的元素个数 -既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数十同时是 A类、B类、C类的元素个数.用符号表示为：A UB UC =A+B +C AQB BQC -ApC +Af! BRC .图示如下： 4V图中小圆表示 A的元素的个数，中圆表示 B的元素的个数, 大圆表示C的元素的个数.cfp1.先包含：重叠部分2.再排除：重叠部分ABCAB、BC、CA重叠了 2次，多加了 1

4、次.A B C -AQB -BpC -AQ CAPI Bn C重叠了 3次，但是在进行A+B+C_AP|BBp|CAP1C计算时都被减掉了.产包含：A+B+c-AnB-Bnc-Anc+AnBriC_JI加巨例题精讲在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考.例1在1 100的全部自然数中，不是 3的倍数也不是5的倍数的数有多少个?【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】如图，用长方形表示1 100的全部自然数，A圆表示1 100中3的倍数，B圆表示 1100中5的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数.由100-3=33川1可

5、知，1100中3的倍数有33个；由100 + 5 =20可知，1100中5的倍数 有20个；由100 + （3父5） =6|10可知，1 100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个.由包含排除法，3或5的倍数有：33+20-6 =47（个）.从而不是3的倍数也不是5的倍数的 数有 100 -47 =53（个）.【答案】53【巩固】 在自然数1100中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】100+3 =33|1 , 100+5 =20, 100-（3X5） =6巾10.根据包含排除法，能被 3或5 中任一个整除的数有 33 +20 -6 =

6、47（个）.【答案】47【巩固】 在前100个自然数中，能被 2或3整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】如图所示，A圆内是前100个自然数中所有能被 2整除的数，B圆内是前100个自 然数中所有能被3整除的数，C为前100个自然数中既能被 2整除也能被3整除的 前100个自然数中能被 2整除的数有：100+2=50（个）.由100+323怖 知，前100个自然 数中能被3整除的数有：33个.由100-（2x3） =16山4知，前100个自然数中既能被 2整除 也能被3整除的数有16个.所以A中有50个数，B中有33个数，C中有16个数.因为A, B都包含

7、C ,根据包含排 除法得到，能被2或3整除的数有：50 +33-16=67（个）.【答案】67【例2】 在从1至1000的自然数中，既不能被 5除尽，又不能被7除尽的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】11000之间，5的倍数有,000 1=200个，7的倍数有 竿=142 个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是 35的倍数，所以这样的数有1000 1=28一 35所以既不能被5除尽，又不能被 7除尽的数有1000-200-142+-28=686个.【答案】686【巩固】 求在1至100的自然数中能被 3或7整除的数的个数.【考点】容斥原理之数论问题【难

8、度】2星【题型】解答【解析】 记 A: 1100中3的倍数，100+3=33山川1 ,有33个；B: 1100中7的倍数,100+7=14|用|2,有14个；AB： 1100中3和7的公倍数，即21的倍数，100+21=4|川16 ,有4个. 依据公式，1100中3的倍数或7的倍数共有33+144 =43个，则能被3或7整除的数的 个数为43个.【答案】43【例3】 以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？【考点】容斥原理之数论问题【难度】4星【题型】解答【解析】 以105为分母的最简真分数的分子与105互质，105=3X 5X7,所以也是求1到105不是3、5、7倍数的数有多少

9、个，3的倍数有35个，5的倍数有21个，7的倍数 有15个，15的倍数有7个，21的倍数有5个，35的倍数有3个，105的倍数有1 个，所以105以内与105互质的数有105-35-21-15+7+5+3-1=48 个，显然如果 n 与105互质，那么（105-n）与n互质，所以以105为分母的48个最简真分数可两 个两个凑成1 ,所以它们的和为 24.【答案】48个，和24【巩固】 分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和【考点】容斥原理之数论问题【难度】4星【题型】解答【解析】385=5X 7X 11,不超过385的正整数中被5整除的数有77个；被7整除的数有55 个；被11整

10、除的数有35个；被77整除的数有5个；被35整除的数有11个；被 55整除的数有7个；被 385整除的数有 1个；最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.对于某个分数 a/385如果是最简真分数的话，那么 （385-a） /385也是最简真分数，所以最简真分数可以每两个凑成整数1,所以这些真分数的和为120.【答案】240个，120个例4在1至2008这2008个自然数中，恰好是 3、5、7中两个数的倍数的数共有个.【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】填空【关键词】西城实验【解析】1到2008这2008个自然数中，3和5的倍数有，型081=133个，

11、3和7的倍数有一 15产008 1=95个,5和7的倍数有/0叫=57个,3、5和7的倍数有0叫=19个.所21 35IL105以，恰好是3、5、7中两个数的倍数的共有 13319 +9519+5719 = 228个.【答案】228个例5求1到100内有 个数不能被2、3、7中的任何一个整除。【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第12题【解析】 被2整除的有50个，被3整除的有33个，被7整除的有14个同时被2和3整除的有16个，同时被2和7整除的有7个，同时被3和7整除的有4个同时被 2 和 3 和 7 整除的有 2 个，100（50+33+1416

12、7 4 +2 ）=10072 =28 个【答案】28个。【例6】 在从1到1998的自然数中，能被 2整除，但不能被 3或7整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】解答【解析】 户表示取商的整数部分.例如，.7=3.要注意的是，符号 I 与十、父、一b.2小符号一样，也是一种运算，叫取整运算.本题中，先求出能被 2整除的数有多少个，再分别求出能被2和3、能被2和7分别整除的数的个数，那么用能被2整除的数的个数减去能被 2和3整除的数的个数，再减去能被2和7整除的数的个数，所得的差是不是所求的得数呢？仔细想想你会发现不是的，因为它多减了能同时被2、3、7整除的数.故能被2

13、整除的有：1998 + 2 =999（个）.能被2和3同时整除的有：1998-（2父3） =333（个）.能被2和7同时整除的有：1998-（2父7）=142.能被2、3、7同时整除的有：1998 - （2X3X7） =47（个）.所以，能被2整除，但不能被 3或7整除的数有999 333-142 +47 =571 （个）. 【答案】571个【例7】50名同学面向老师站成一行.老师先让大家从左至右按1, 2, 3,，49, 50依次报数；再让报数是 4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转.问：现在面向老师的同学还有多少名？【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】解答【关

14、键词】华杯赛，初赛，第 13题【解析】 在转过两次后，面向老师的同学分成两类：第一类是标号既不是 4的倍数，又不是6的倍数；第二类是标号既是 4的倍数又是6的倍数.1-50之间，4的倍数有.|5° 1=12, 6的倍数有.|50 1=8,即是4的倍数又是6的倍数的数一定是12的倍数，所以有 庐01=4.于是，第一类同学有 50- 12-8+4=34人，第二 .12类同学有4人，所以现在共有34+4=38名同学面向老师.【答案】38名【例8】 体育课上，60名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1,2,3,60,然后，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是

15、5的倍数的同学向后转，最后让所报的数是6的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有 人。【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，二试，第 15题，4分【解析】 可知其中4的倍数有15个，5的倍数有12个，6的倍数有10个，同时是4和5 的倍数的有3个，同时是5和6的倍数的有2个，同时是4和6的倍数的有5个， 同时是4、5、6的倍数的数有1个，现在背向老师的有 15+12+10-3-2-5+1=28 个， 面向老师的学生有 60-28=32人。转过两次的有：3- 1+2 1+5 1 = 7。最后面向老师的学生数=32+7= 39个。【答案】39个【例9】 有20

16、00盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1,2,3,，2000,然后将编号为2的倍数的灯线拉一下， 再将编号为3的倍数的灯线拉一下， 最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】解答【解析】 三次拉完后，亮着的灯包括不是2、3、5的倍数的数以及是 6、10、15的倍数但不是30的倍数的数.12000这2000个正整数中，2的倍数有1000个，3的倍数有 666个，5的倍数有400个，6的倍数有333个，10的倍数有200个，15的倍数有 133 个，30 的倍数有 66 个，亮着的灯一共有 2000-1000-

17、666- 400+2X （333+200+133） -4X66=1002 盏.【答案】1002盏【巩固】2006盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1,2,3,，2006。将编号为2的倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下，最后将编号为5的倍数的灯的拉线各拉一下。拉完后这着的灯数为 （）盏。【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，五年级，第 11题，六年级，第11题【解析】 因为灯在开始的时候是亮着的，所以拉了两次或者没拉的灯最后还是亮的.这道题实际上是求1到2006中不能被2、3、5整除的数和只能同时被 2、3、5中2个数整除的数

18、的总个数.我们可以求得被 2整除的数有2006 + 2 =1003（盏）,被3整除的数有2006 +3=668|2,共668（盏），被5整除的数有2006 +5=401中1 ,共401（盏）.其中，同时被2、3整除的数有2006-（2 X3）=334102,共334（盏）；同时被 3、5 整除的有 2006 + （3乂5）=133|11,共 133（盏）；同时被2、5整除的数有2006 +（2黑5） =200|6,共200（盏）；同时被2、3、5整除的数有2006 +（2父3 m 5） =66|26 ,共66（盏），所以，只能同时被 2、3、5中2个数整除的数的个数为 334 +133 +20

19、0-3父66 =469（盏）,不能被2、3、5整除的数的7-7-4.容斥原理之数论问题.题库教师版page 6 0f 8个数为 2006 (1003+668+401)(334+133+200)+66=535(盏)所以，最后亮着的灯一共为469 +535 =1004(盏).【答案】1004盏【巩固】 写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关，第二次把编号是 5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】解答7-7-4.容斥原理之数论问题.题库page 9 of 8教师版因为灯在开始的时候是亮着的，所以拉了两

20、次或者没拉的灯最后还是亮的.灯有10 0-=6(1001003 5盏)，取后凫着的灯一共为 53+6(3t 20 6)盏5)3,拉两= 59(盏)没拉的次的有59盏【例10】200名同学编为1至200号面向南站成一排.第 1次全体同学向右转(转后所有 的同学面朝西)；第2次编号为2的倍数的同学向右转；第 3次编号为3的倍数 的同学向右转；第 200次编号为200的倍数的同学向右转；这时，面向东 的同学有 名.【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，五年级，初赛， 10题【解析】只有约数个数被4除余3的数，最后面向东.约数个数为3的数有22、32、52、72、112、

21、132 ,共8个数.约数个数为7的数有26, 1个，约数个数为15的数有32 24 =144 , 1个一共有8个满足条件的编号.【答案】8名【例11】下编号是1、2、3、36号白36名学生按编号顺序面向里站成一圈.第一次，编号是1的同学向后转，第二次，编号是2、3的同学向后转，第三次，编号是4、 5、6的同学向后转，第 36次，全体同学向后转.这时，面向里的同学还有 名.【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，复试， 10题【解析】整个过程中一共转了 1+2+3+4- +36=66 6人次，每转过72人次所有学生的朝向就会 和原来一样，那么 666+72=9

22、18,于是应该有 18名同学面朝里，18名同学面朝 夕卜。【答案】18名【例12】在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券.按奖券标签号发放奖品的规则如下：(1)标签号为2的倍数，奖2支铅笔；(2)标签号为3的倍数，奖3支铅笔；(3)标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；(4)其他标签号均奖1支铅笔.那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支？【考点】容斥原理之数论问题【难度】4星【题型】解答【解析】1100, 2的倍数有|1°° 1=50, 3的倍数有匕33个，因为既是2的倍数，又是3的倍数的数一定是 6的倍数，所以标签为这样的数有理 1=16个

23、.于是，既, 6不是2的倍数，又不是 3的倍数的数在1100中有100-50-33+16=33 .所以，游 艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有：50X2+33X 3+33X 1=232 支.【答案】232支【例13】在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木 棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份；如果沿每条刻度线将木棍锯断， 则木棍总共被锯成 段.【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】填空【解析】假设木棍长60cm ,则沿第一种刻度线锯成的木棍每段长60-10 =6cm ,沿第二种刻度线锯成的木棍每段长60 M 12 = 5cm,沿第三种刻度线锯成的木棍每

24、段长60 十14 = 4cm.因为，沿三种刻度线可将木棍分别锯成10、12、15段；沿第一、二种重合的刻度线可将木棍锯成6046,5 =2段，沿第一、三种重合的刻度线可将木棍锯成6046,4 =5段，沿第二、三种重合的刻度线可将木棍锯成60 + 5, 4 = 3段；沿三种刻度重合的刻度线可将木棍锯成60 - 6,5, 4 = 1段.应该减去重复计算的沿任意两种重合的刻度线锯成的段数，应加上多减去的沿三种刻度重合的刻度线锯成的段数.所以，沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成10 y2 +15 -2 -5 -3 +1 =28 段.【答案】28段【例14】一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断， 那么可以截出 段.【考点】容斥原理之数论问题【难度】4星【题型】填空【关键词】101中学【解析】 要求出截出的段数，应当先求出木