函数定义域值域求法(全十一种)

1、实用标准文档大全高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组，解此不等式(或组)即得原函数的定义域。求函数y,x2 2x 15|x 3| -8的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足x2 -2x -15 >0Jx+3|-800由解得x < 一3或x之5。由解得x#5或x#11和求交集得x W-3且x #-11或x>5。故所求函数的定义域为 x | x E -3且x11Ux|x>5。例2 求函数y = JSinx +的定义域。,16 -x2解：要使函数有意义，则必须满足sinx之0-J6-

2、x2 >0由解得2knMxMn + 2kn, k e Z 由解得4<x<4由和求公共部分，得-4 <x < 一江或0 <x M 兀故函数的定义域为(4 -二(0,二评注：和怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。(1)已知f(x)的定义域，求fg(x)的定义域。(2)其解法是：已知f(x)的定义域是a, b求fg(x)的定义域是解a < g(x) < b , 即为所求的定义域。例3已知f(x)的定义域为2, 2,求f (x

3、2 1)的定义域。解：令一2 <x2 -1 <2 ,得一1 <x2 M3 ,即 0 <x2 <3 ,因此 0 M|x 533 ,从而J3 <x < v3 ,故函数的定义域是x | -V3 Ex <V3o(2)已知fg(x)的定义域，求f(x)的定义域。其解法是：已知fg(x)的定义域是a, b,求f(x)定义域的方法是：由 a < x < b,求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。例4 已知f(2x +1)的定义域为1, 2,求f(x)的定义域。解：因为 1 Mx <2,2 <2x <4,3 <2x +1

4、E5。即函数f(x)的定义域是x 13Mx <5 0三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。例5已知函数y =dmx2 6mx+m+8的定义域为R求实数m的取值范围。分析：函数的定义域为 R,表明mx2 -6mx+8+m之0 ,使一切xCR都成立，由x2项的系数是m,所以应分 m=0或m#0进行讨论。解：当m=0时，函数的定义域为 R;当m 00时，mx2 6mx +m + 8之0是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件 是m >02(=(-6m) 4m(m+8)E0=0 ： m _ 1综

5、上可知0 m m Ml。评注：不少学生容易忽略 m=0的情况，希望通过此例解决问题。kx 7例6 已知函数f(x)=lx一-一 的定义域是R,求实数k的取值范围。kx2 4kx 3解：要使函数有意义，则必须 kx2 +4kx +3w0恒成立，因为f(x)的定义域为 R,即kx2 +4kx +3 = 0 无实数3当kw0时，A =16k2 4x3k <0恒成立，解得0<k<；4当k=0时，方程左边=3金0恒成立。, 八 一3综上k的取值范围是0 W k M 士。4四、实际问题型这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。例7

6、将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。1解：设矩形一边为 x,则另一边长为 (a2x)于是可得矩形面积。21 1。2y = x (a -2x) = 一ax -x2 221=-x 十一ax。2由问题的实际意义，知函数的定义域应满足x >0a -2x > 0x >0'1 , CC2(a -2x) 0a=0 <x(一 。21 a故所求函数的解析式为 y = -x2 +ax,定义域为(0, )。2 2例8用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为 求此框架围成的面积 y与x的函数关系式，并求定义域。CB

7、解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。L - 2x nx2-L _AB _CD因为CD=AB=2x，所以CD =D，所以AD = L 2c L -2x 7x 二x2二 2x 22-(2 )x2Lx2根据实际问题的意义知2x >0L -2x -二x= 0 : x :二0L故函数的解析式为 y =_(2+)x2+Lx ,定义域(0, )。2二 2五、参数型对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。例9 已知f(x)的定义域为0, 1,求函数F(x) =f(x+a)+f(x a)的定义域。解：因为f(x)的定义域为0, 1,即0 Mx <1

8、o故函数F(x)的定义域为下列不等式组 的解集：0 < x + a < 1 目口 a < x < 1 - a ，即0 <x -a <1 a <x < 1 +a即两个区间a, 1-a与a, 1+a的交集，比较两个区间左、右端点，知1 一 一一(1)当 一5 Ea E0 时，F (x)的定义域为x | a E x E1 + a；.1 一(2)当 0 Ea W5时，f (x)的定义域为x | aEx <1 a；一 11 (3)当a a或a 一时，上述两区间的交集为空集，此时 F (x)不能构成函数。 22六、隐含型有些问题从表面上看并不求定义域，

9、但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。例10 求函数y =log 2(-x2 +2x +3)的单调区间。解：由一x2 +2x +3>0,即x2 -2x -3<0,解得1 <x <3。即函数y的定义域为(1 5 3)o函数 y = log2(x2 +2x +3)是由函数 y =log 23t = x2 +2x +3 复合而成的。22t =-x +2x +3 = -(x1) +4 ,对称轴 x=1 ,由二次函数的单倜性，可知 t在区间(,1上是增函数；在区间1, +8)上是减函数

10、，而 y = log 2 t在其定义域上单调增；(1,3)(3,1 =(1,1,(1,3户1,+专=1,3),所以函数 y = log2(x2 +2x +3)在区 间(-1,1上是增函数，在区间1,3)上是减函数。函数值域求法H一种1 .直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。_ i例1.求函数y =7的值域。解：:x#。1=0 x显然函数的值域是：(g，o)u(o，F)例2.求函数y =3-板的值域。解：.-,x <0,3 - ,x <3故函数的值域是：g，32 .配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例 3.求函数y=x2-2x+5，xW-1，2。2解：

11、将函数配方得：y=(x-1)+4.x -1,2由二次函数的性质可知：当x=1时，ymn =4,当x 故函数的值域是：4, 83 .判别式法1 x x2.y =z-例4.求函数 1 +x的值域。解：原函数化为关于x的一元二次方程(y -1)x2 (y -1)x = 0(1)当y#1 时，xwr=(一1)2 -4(y -1)(y -1) _013解得：D1.19(2)当 y=1 时，x=0 ,而！2'213故函数的值域为!22例5.求函数y =x +Jx(2-x)的值域。22解：两边平方整理得：2x -2(y+1)x+y =0.x R： =4(y 1)2 -8y -0解得：1 一、.2中4

12、、2但此时的函数的定义域由x（2-x）之0,得0 MxM2由至0，仅保证关于X的方程：2x2 -2（y +1）x +y2 =0在实数集R有实根, 而不能确保其实根在区间0,2上，即不能确保方程（1）有实根，由之01 3求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为l2,2Jo 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。*/0 <x <2.y =x - ./x（2 -x） _0,ymin =0,y=1+也代入方程(1)xi2 、, 2 24 . 2、20,22. 2 -24 . 2即当x1:2 时，原函数的值域为：0,1+我注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不

13、是实数集 时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4 .反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函 数的值域。3x 4例6.求函数5x +6值域。4 -6yx =解：由原函数式可得：5y-3_4-6y3则其反函数为：丫一至二3,其定义域为：x5.3故所求函数的值域为：I飞）5 .函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主 来确定函数的值域。ex -1例7.求函数y -ex +1的值域。ex»解：由原函数式可得：y-1*/ex 0L 0:.V -1解得：-1<y<1故所求函数的值域为（-1,1）cos x例8.求函数

14、y=r二3的值域。ysinx cosx=3y ,可化为:解：由原函数式可得:,y2 1 sinx(x -) =3y3ysin x(x 3一)二即y2 1.x Rsin x(x .) -1,13y-1 _1_1即.y2 1_ 工:，,，.2 解得：-Vy "Tr 4i故函数的值域为不6.函数单调性法例9.求函数y=27+log3 d（2Mx±。）的值域。x -5解：令yi =2 ,y2=log3x-1则yi,y2在2, 1。上都是增函数所以y =y+丫2在2, 1。上是增函数当 x=2时，丫向=2，+0g 3V,2T=8当 x=1。时，ymax=25 +啮3 百=331,33

15、故所求函数的值域为：！8例1。.求函数y=6+1 f x -1的值域。2y =. -解：原函数可化为：Fi+Yx-1令y1 =4 +1,y2 Zx -1 ,显然%。2在1，8上为无上界的增函数所以y=y1, y2在n8上也为无上界的增函数所以当x=1时,2 =、2y=yi +丫2有最小值j2 ,原函数有最大值V2显然y0,故原函数的值域为(0,四】7. 法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式 含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之 一，在求函数的值域中同样发挥作用。例11.求函数丫及十471的值域。解：令x1=t, (t >0)则 x M2

16、 12123y =t t 1 =(t -)-又t主0,由二次函数的性质可知当 t=0 时，ymn =1当tT 0时，y->博故函数的值域为口,例12.求函数丫2+2+，1一。+1)2的值域。解：因1a十1)2至0即(x 1)2 <1故可令x 1 =cos ：, 一： 0,二 y =cos : 1 <1 -cos2 ： =sin ： cos : 1=-2sin( - -)10-_ -,0 _- _5 二.-sin(: ) <124。£-2"2) 1-1 '2故所求函数的值域为0,1 +石x3 -x:4 4.y =：例13.求函数 x4 +2x2

17、 +1的值域。y J 3 二解：原函数可变形为：2 1+x2 1+x222x1 - x 2 .7 =sin 2 -,2 =cos -可令x =tgP,则有 1 +x21+x21 . _ -1 .-.y =sin 21cos2 ：=sin 424k.：,：1当屋5一8时，y回=4-k w ，三1当屋方十8时，ymn =一4 而此日匕述有意义。11故所求函数的值域为！ 4,41 12'2的值域。例 14.求函数y=sn x+1)cs x+1) 解：y =s1 x +1)cs x +1) =sinxcosx sin x cosx 1_12sn x cs x = - (t 1)令sinx +c

18、osx=t，贝fj21 212y =-(t2-1)t 1=-(t1)22 2由 t =sin x cosx = v 2 sin(x - /4)L2E田 且 一 12,22 : t :.2 可得：2 一二.当1=衣时，ymx2时,32y二一42一3 4 匿 3 工,-1+， + J2故所求函数的值域为了-x2的值域。例15.求函数y=x+4+45解：由5-x2之0 ,可得|x|Md5故可令 x = . 5 cos :,: 0, 二y =、. 5 cos ： 4 ，5 sin ： = 10 sin(: ) 4 0 M三,，三 5二. - <P + <44 4当 P = n/4 时，ym

19、ax=4+V10当 P = J!时，ymn =47%故所求函数的值域为：4-K，4十班08.数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直 线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然， 赏心悦目。例16.求函数y=J(x -2)2 +J(x+8)2的值域。BPAI_ _I802解：原函数可化简得：y=|x-2i+|x+8上式可以看成数轴上点P (x)到定点A (2), B(间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，y=|x-2i + |x+8i=iABi=10当点P在线段AB勺延长线或反向延长线上时,y平-2i + |x + 8»1A

20、B |=10故所求函数的值域为：10,8例17.求函数y='x2 &十13+&2 +4x+5的值域。解：原函数可变形为：y u /(x -3)2 (0 -2)2.(x 2)2 (0 1)2上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2), B(-2,-1)的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，ymin 弓AB|=J(3+2)2 +(2+1)2 =743故所求函数的值域为而,8IJ 幺3, 2)(-2. -1)例18.求函数y=Mx2 -6x+13-也2 +4x+5的值域。解：将函数变形为：y=«(x-3)2+(0-2)2 -V(x+2)2+(0-

21、1)2上式可看成定点A(3, 2)到点P(x, 0)的距离与定点火-2#到点p(x，0) 的距离之差。即：y HAP|-|BP|由图可知：(1)当点P在x轴上且不是直线ABx轴的交点时，如点 P,则构成必BP ,根据三角形两边之差小于第三边,有 |AP'| -|BP'|国 AB 尸也,(3 2)2 (2 -1)226即：-V26 <y «'26(2)当点P恰好为直线A*x轴的交点时,有11Ap 1MBp1HABi=/26 综上所述，可知函数的值域为：("米,。云注：由例17, 18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A B 两点在x轴的两侧

22、，而求两距离之差时，则要使A, B两点在x轴的同侧。如：例17的A, B两点坐标分别为：(3, 2), (-2，-D,在x轴的同侧； 例18的A, B两点坐标分别为(3, 2), (2，-D,在x轴的同侧。9.不等式法利用基本不等式a +b至2*后溜+b +c至33/abc (a，b，c三R+),求函数的最值， 其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值， 不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。1 、2,1、2,例19.求函数y=sn "=)嬴) 一4的值域。解：原函数变形为：2 211y =(sin x cos x)22sin x cos x22=1 ce

23、s x sec x2, 2=3 tan x cot x>33/tan2 xcot2 x +2=5当且仅当tanx =cotx五即当x=k7T=4时-z),等号成立故原函数的值域为：5,例20.求函数y=2sn xsn 2x的值域。 解. y =4sin xsn x(os x= 4sin2 x cosxy =16sin4 x cos2 x222= 8sin xsin x(2 -2sin x)<8(sin 2 x sin2 x 2 - 2sin2 x)/33解得y -2或y-2_64"27一 一 5丫二当且仅当sin2x=22sin2x,即当sin x 3时，等号成立。2 . 648、. 3 ,. 8 3由y3可得：99 -y一述 8731故原函数的值域为：甘,甘.10. 一