14导数的综合应用Word版含解析

1、专题限时集训(十四)导数的综合应用(建议用时：40分钟)1.已知函数 f(x) = ln x+2. x(1)求函数f(x)在1 , +oo)上的值域；(2)若VxC1, +00), in x(ln x+ 4)<2ax+ 4恒成立，求实数 a的取值范围. 1 in x解(1)易知 f x)=-2<0(x>1), xf(x)在1, +8)上单调递减，f(x)max= f(1) = 2. x> 1 时,f(x)>0, ；f(x)在1, +8)上的值域为(0,2.(2)令 g(x) = in x(in x+ 4) 2ax 4, xC1, +00),ntoi1n x+21则

2、 g xl= 2xa ,若a00,则由(1)可知，g'x)>0, g(x)在1, +却上单调递增，= g(e)= 1 2ae>0,与题设矛盾，.aw。不符合要求.若a>2,则由(1)可知，g x)<0, g(x)在1, +却上单调递减.g(x)<g(1)=-2a-4V0,. a>2 符合要求.口 /口 in x0+2若 0<a<2,则)刈(1, + oo)使得一-一 =a,x0则g(x)在1,刈)上单调递增，在(刈，+°°)上单调递减，;g(x) max= g(xo) = in x0(in x0 + 4) 2ax0 4

3、. in x0=ax02,;g(x) max= (ax0 2)(axo+ 2) 2ax0 4= (axo + 2)(ax0 4).由题意知 g(x)max<0,即(ax0+2)(ax0 4)&0, -2<ax0<4,即一2 win x0+ 2< 4? 1<x0<e2.in x0+2in x+ 24.a=,且由(1)可知f(x)=在(1, +8)上单调递减x0x,4八a<2. e综上，a的取值范围为停，+00)2.已知函数 f(x) = x2 (a2)x aln x(aC R).(1)求函数y= f(x)的单调区间；当a= 1时，证明：对任意的x

4、>0, f(x)+ex>x2 + x+2.a解函数 f(x)的定义域是(0, +8), f，xl= 2x-(a-2)-x(x+1 (2x-a)一 x ，当a00时，f'x)>0对任意xC (0, +00)包成立，所以，函数f(x)在区间(0, +8)单调递增；a当 a>0 时，由 f x)>0 得 x>2，a由 f x)<0,得 0Vx<2，所以，函数在区间+8单调递增，在区间,a "单调递减.证明：当 a= 1 时，f(x) = x2+xln x,要证明 f(x)+ ex>x2+x+2,只需证明ex-ln x-2>

5、0,设 g(x)=ex In x 2,则问题转化为证明对任意的x>0, g(x)>0,. V 1 一 v 1令 g xl= e x = 0,行 e =x,容易知道该方程有唯一解，不妨设为x。，则x。满足ex°= :x0当x变化时，g' x)和g(x)变化情况如下表x(0, x0)x0(x0, + 8)gx)一0十g(x)递减递增g(x)min = g(x0) = e ln x0 2 = + x0 2, x0因为 x0>0,且 x°W1,所以 g(x)min>2>/i 2=0,因此不等式得证.3.已知函数f(x) = ex(1 + aln

6、 x),其中a>0,设f'xl为f(x)的导函数.(1)设g(x) = e xf' x),若g(x)2恒成立,求a的取值范围;(2)设函数f(x)的零点为xo,函数f'xl的极小值点为xi,当a>2时，求证：x0 >xi.解(1)由题设知，f'x) = exl，1 + ;+ aln x (x>0), xx.,a ,. .afx1 一g(x)=e f x)=1 + -+ aln x, g x)：-52(x>0). xx当xC(0,1)时，g'x)<0, g(x)在区间(0,1)上单调递减,当xC(1, +OO)时，g，x

7、)> 0, g(x)在区间(1, +00)上单调递增，故g(x)在x= 1处取得最小值，且g(1) = 1 + a.由于g(x)2包成立，所以1 + a>2,得a>1,即a的取值范围为1, +°°).证明：设 h(x) = f'x) = ex1 + a+ aln x ；,则 h，x1= ex"+2ax2+aln x .设 H(x) = 1 + § aln x(x> 0),2a 2a a则 H x)= "F+x=2ax 2x+ 20,故H(x)在(0, +oo)上单调递增，1因为 a>2,所以 H(1) =

8、a+1>0, H2户 1-aln 2<0,一一一 1 ,.故存在 x2 C1 J,使得 H(x2) = 0,则h(x)在区间(0, x2)上单调递减，在区间(x2, +8)上单调递增，故x2是h(x)的极小值点，因此x2 = x1.由(1)可知，当 a= 1 时，ln x+ 1>1. x因此 h(x)/h(x1)=ex1 +x1+aln x)>ex1(1 + a)>0,即 f(x)在(0, 十 却上单调 递增.由于 H(xi)=0,即 1+2a g+aln xi = 0,即 1 + aln xi=2-2a, xixi'xi xixixi1 2xi所以 f(

9、xi) = e (i + aln xi) = ae 2<0 = f(x。). xi又f(x)在(0, +00)上单调递增，所以xi<xo.4.已知函数f(x) = xln x-2x2+(a-i)x,其导函数f'x)的最大值为0.(i)求实数a的值；(2)若 f(xi) + f(x2)= i(xi Wx2),证明：xi + x2>2.解(i)由题意，函数f(x)的定义域为(0, +00),其导函数f'x)=ln x-a(x i),i ax记 h(x)=f'x),则 h'x) = . xi ax当a00时，h x)=>0恒成立，所以h(x)在

10、(0, +°°)上单调递增 且h(i)x=0,所以任意 xC(i, +00), h(x) = f'x)>0,故 a00 不成立.当 a>0 时，若 x Jo,：),则 h x)xax>0;若 x C 口，+ 00 i1,则 h，x) =i_ax< 0. a人 x所以h(x)在?，单调递增，在：，+ 00 ”单调递减.所以 h(x)max= h J= In a+ a i.令 g(a)=_|n a+a i, 则 g'a)=i 1 = a1. a a当0<a<i时，g'a)<0；当a>i时，g'a)&

11、gt;0.所以g(a)在(0,i)上单调递减,在(i, +8)上单调递增.所以 g(a)>g(i)=0,故 a=i.(2)证明：当 a= i 时，f(x) = xln x-2x2,则 f'x)=i + ln x-x.由(i)知 f'x)=i + ln x-x00恒成立，i 2 ,所以f(x)=xln x-2x在(0, +00)上单调递减，L、1.一且 f(1) = 2，f(xi) + f(X2)=1 = 2f(1).不妨设 0< X1<X2,则 0<X1<1<X2,欲证Xl + X2>2,只需证X2>2X1.因为f(x)在(0,

12、+°°)上单调递减, 所以只需证 f(X2) <f(2 X1),又 f(X1) + f(X2) = 1 ,所以只需证一1f(X1)<f(2X1),即 f(2 X1)+f(X1)>1.令 F(X)=f(X)+f(2 x)(其中 x (0,1),则 F(1) = 1.所以欲证 f(2-X1)+f(x1)>-1,只需证 F(x)>F(1), x (0,1),F'x) = f'x)f' (2x) = 1+ ln x-x-1 +ln(2-x)-2 + x, 整理得 F'x)=ln x- ln(2-x) + 2(1-x),

13、x (0,1),-2人， 一,，2f1x令 m(x)=F xl,则 m x) = 4 x>0, x (0,1), x(2 x)所以F'x)=ln xln(2x) + 2(1x)在区间(0,1)上单调递增，所以任意 x (0,1), f'x)=ln x-ln(2-x) + 2(1-x)<0, 所以函数F(x) = f(x)+f(2 x)在区间(0,1)上单调递减， 所以 F(x)>F(1), x (0,1),故 X1+X2>2.j每日押题题号内容押题依据1函数的单调性、构造法 证明不等式、分类讨论 思想高考的热点问题，将等价转化思想、分类讨 论思想放在T考

14、查学生分析问题的能力， 同时双变量问题的合理转化是近几年的热 点，应引起重视1 O【押题】 已知函数f(x) = 2x -ax+ (a1)ln x.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若对任意的 X1, X2 (0, +00), X1>X2,恒有 f(x1)-f(x2)>X2-X1,求实数 ax2ax+ a1x的取值范围.a 1解(1)f x)=x a + T- X1= X(x1)x(a1),若 a>2,由 f'x)>0,得 0<x< 1 或 x>a 1,由 f'x)<0,得 1 <x< a 1, 则f(x)在(0,

15、1), (a 1, +8)上单调递增,在(1, a1)上单调递减；若a = 2,则f'x)>0, f(x)在(0, +8)上单调递增；若 1<a<2,由 f'x1>0,得 0<x<a 1 或 x>1,由 f'x)<0,得 a 1<x<1,则f(x)在(0, a-1), (1, +8)上单调递增，在(a1,1)上单调递减；若 a01,由 f'x)>0,得 x> 1,由 f'x)<0,彳#0<x<1,则 f(x)在(1, +oo) 上单调递增，在(0,1)上单调递减.综

16、上，若a>2,则f(x)在(0,1), (a-1, +8)上单调递增,在(1, a1)上单调 递减；若a = 2,则f(x)在(0, +8)上单调递增；若1<a<2,则f(x)在(0, a-1), (1, +8)上单调递增，在(a1,1)上单调递 减；若a01,则f(x)在(1, +8)上单调递增，在(0,1)上单调递减.(2)f(x1) f(x2) >x2x1? f(x1 ) + x1> f(x2) + x2,令 F(x)=f(x)+x= 2x2 ax+ (a 1)ln x+x,对任意的 x1, x2 (0, +00), x1>x2,恒有 f(x1)一 f(x2)>x2x1 等价于函数 f(x) 在(0, 十°°)上是增函数.a 1 1 2f x)=x a+1 + -x-=xx -(a-1)x+a-1,令 g(x)=x2 (a 1)x+a 1,，一 一， a - 1，、