《二次函数的应用》教学设计

1、二次函数的应用教学设计教学目标知识与技能：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关 系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（或小）值，培养学生 解决问题的能力.过程与方法：应用已有的知识，经过自主探索和合作交流尝试解决 问题.情感、态度与价值观：在经历和体验数学知识发现的过程中，提高 思维品质，在勇于创新的过程中树立学好数学的自信心.重点难点重点:二次函数在最优化问题中的应用.难点：从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解和掌握.教学过程一、问题引入在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可使面积最 大、利润最大、材料最省、时间最少、效率最高等问题，这类问题称为最优化问题.其

2、中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小 值.如何利用二次函数分析解决这样的问题呢 ？本节课我们来研究二次函数在实际问题中的应用.做一做：从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位:m）与 小球的运动时间t（单位:s）之间的关系式是：h=30t-5t 2（0Wt W6）.小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？我们可以借助函数图象解决这个问题，画出函数h=30t-5t 2（0 <t < 6）的图象，如图所示，可以看出这个函数的图象是一条抛物线的一 部分.这条抛物线的顶点是这个函数图象的最高点，也就是说，当t取 顶点的横坐标时，这个函数有最大值.因此，当

3、t=-=-=3时,h有最大值二45,也就是说，小球运动的时间是3s时，小球最高，小球运动中的最大高度是45 m.一般地，当a>0（或a<0）时,抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（或高）点，也就是说，当x=-时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（或大）值.二、新课教授问题1.用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时,场地面积眼大？师生活动：学生积极思考，找到等量关系式，并尝试解答.教师巡视、指导，最后给出解答过程.解:矩形场地的周长是60 m, 一边长I,则另一边长为（-1）,场地的 面积S=l（30-I）, 即S=-I 2+30

4、I（0<I<30）.因此，当I=-=-=15（m）时,S有最大值=225附）.即当I是15 m0i,场地面积S最大,最大值是225 m2.问题2.某商品现在的售价是每件60元，每星期可卖出300牛，市场 调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元, 每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使 利润最大？师生活动：教师分析存在的问题，书写解答过程.分析：调整价格包括涨价和降价两种情况.我们先来看涨价的情 况.设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之改变.我们先来确 定y随x变化的函数关系式，涨价x元时，每星期少卖10x件，实际卖出 (

5、300-10X)元.销售额为(60+x)(300-10x)元，买进商品需付 40(300-10x)元.因此，所得利润为y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x),(0< x< 30)即 y=-10x2+100x+600=-10(x2-10x)+600=-10(x 2-10x+25)+850=-10(x-5) 2+850(0<x<30)所在，在涨价的情况下，涨价5元，即定价65元时,利润最大，最大为 850元.思考：在降价的情况下，最大利润是多少？(降价2.5元，即定价57.5元时，利润最大，最大为6 125元.)思考：由上面的讨论及现在的销售情况，你知道

6、如何定价才能使利 润最大了吗？(在涨价的情况下，定价65元；在降价的情况下，定价57.5元.)问题3:图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m,水面宽4 m.若水面下降1 m,水面宽度增加多少？师生活动：学生完成解答.教师分析存在的问题，书写解答过程.分析：我们知道二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就 可以求出这条抛物线表示的二次函数.为解题简便，以抛物线的对称 轴为y轴建立直角坐标系.可设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.由抛物线经过点(2,-2),可得-2=aX 2 ,解得 a=-,这条抛物线表示的二次函数为y=-x2.水面下降1 m,水面所在位置的纵坐标为y=-3，

7、代入上述表达式得 x=±.故水面下降1 m,水面宽度增加(2-4)m.让学生回顾解题过程，讨论、交流、归纳解题步骤：(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；(2)研究自变量的取值范围；(3)研究所得的函数；（4）检验x的取值是否是自变量的取值范围内，并求相关的值；（5）解决提出的实际问题.学生尝试从前面四道题中找到解题规律.教师补充学生回答中的不足，及时纠正.三、巩固练习1 .已知二次函数y=（3+x）（1-2x）,当乂=时，函数有最 值，为.2 .二次函数y=x2-8x+c的最小值为0,那么c的值等于（）A.4B.8C.-4D.163 .沿墙用长32 m的竹篱笆围成一个矩形的

8、护栏（三面），怎样围才 能使矩形护栏面积最大渥大面积为多少？试画出所得函数的图象.4 .某旅社有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天都客满，旅 社装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客房的日租金增加5元， 则客房每天出租会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租 金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总 收入增加多少元？5 .某产品每件的成本价是120元，试销阶段，每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（台）之间的函数关系如下表所示x（元）130150165y（台）705035并且日销售量y是每件售价x的一次函数.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)为

9、获得最大利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日 销售的利润是多少？四、课堂小结1 .得出用二次函数知识解决实际生活中的最值问题的一般步骤：(1)列出二次函数的表达式，并根据自变量的实际意义确定自变量 的取值范围；(2)在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数 的最大值或最小值.2 .解题循环图：抽象运用实际问题数学问题-间我的解转化教学知识返回解释检验教学反思本节课充分运用导学提纲，教师提前通过一系列问题的设置引导 学生课前预习.在课堂上通过对一系列问题的解决与交流，让学生通 过二次函数掌握解决面积最大、利润最大等这一类题的方法，学会用 建模的思想去解决和函数有关的应用问题.所以在例题的处理中适当地降低了难度，让学生的思维有一个拓 展的空间.在训练的过程中，通过学生的独立思考与小组合作探究相 结合，使学生的分析能力、表达能力及思维能力都得到训练和提高.同时也注重对解题方法与解题模式的归纳与总结，并适当地渗透