2016-2017海淀高三期中练习数学理科试题及答案

1、海淀区高三年级第一学期期中练习数学(理科)2016.11本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题共40分)、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。1.已知集合 A=xx>2, B =x(x1)(x3) <0,则 aP1B =A. xx 1B. x 2 ：x <3 C. x 1 ： x ： 32 .已知向量 a =(T2), b =(2, -4),则 a 与 bA.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向。2 3 .函数y =

2、2 +的最小值为2xA. 1B. 2C. 2 224 .已知命题p:二CA0,方程x x+c=0有解，则p为D. xx>2 或 x<1D.平行且反向D. 4A. Vc>0,方程 x2 x+c=0 无解2B. Vcw0,万程x x+c=0有角军C.三ca0,方程x2x+c = 0无解2D.二cW0,万程 x x+c=0有解A. f(x)是偶函数C.是函数f(x)的一个周期2. 一 .3B.函数f(x)最小值为-4D.函数f (x)在(0)内是减函数，2x8 .如图所不，A是函数f(x)=2的图象上的动点，过点 A作直线平 行于x轴，交函数g(x)=2x芈的图象于点B,若函数f(

3、x)=2x的图 象上存在点C使得iABC为等边三角形，则称A为函数f(x)=2x上 的好位置点.函数f(x)=2x上的好位置点的个数为A. 0B. 1C. 2D.大于 2第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9 .已知数列an的前n项和Sn =3n +1 ,则a2 +%=10 .若角日的终边过点P(3, -4),则sin(日句=.、”-，口，一一一 iTT11 .已知正万形ABCD边长为1, E是线段CD的中点，则AE，BD =.一.一,一一 兀 兀12 .去年某地的月平均气温 y (C)与月份x (月)近似地满足函数 y = a+bsin(x+) ( a,

4、 b 66为常数).若6月份的月平均气温约为 22 C, 12月份的月平均气温约为 4C,则该地8月份的月平均气温约为 C.,2x -a,x< 1, 口 .、13 .设函数 f(x)=/,(a A0 且 a=1).logax,x 1,3右a =q ,则函数f (x)的值域为；若f(x)在R上是增函数，则 a的取值范围是 .14.已知函数f(x)的定义域为R . Va,bw R,若此函数同时满足:当 a +b =0时有 f (a) + f(b) =0 ；当 a +b >0时有 f (a) + f(b) >0 , 则称函数f(x)为复函数.在下列函数中：1°,x=0,

5、y =x+sinx ; y = 3x _(一)x ； y =413一一，x : 0x是G函数的为.(填出所有符合要求的函数序号)、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15 .(本小题满分13分)已知数列an是公差为2的等差数列，数列bn满足bn平bn=3n ,且b2 =18,b3=24.(I)求数列an的通项公式；(n )求bn取得最小值时n的值.16 .(本小题满分13分)已知函数 f(x) =cos(2x -g) -cos2x.(I )求f (；)的值；(n )求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间17 .(本小题满分13分)已知函数 f(x)=x39x,函

6、数 g(x)=3x2+a.(I)已知直线l是曲线y=f(x)在点(0, f (0)处的切线，且l与曲线y = g(x)相切，求a的 值；(n)若方程f(x) =g(x)有三个不同实数解，求实数 a的取值范围.18 .(本小题满分13分)如图，MBC是等边三角形，点 D在边BC的延长线上，且 BC = 2CD , AD =".(I )求CD的长；(n)求 sinBAD 的值.19 .(本小题满分14分)已知函数 f (x) =ex(x2 ax a).(I )求f (x)的单调区间；(n)求证：当a>4时，函数f(x)存在最小值.20 .(本小题满分14分)已知数列%是无穷数列，满

7、足 lgan+ =|lgan -lgan| ( n =2,3,4,111)(I )右 a1 2,a2 =3 ,求 a3,a4,a5 ；(n)求证： 数列4中存在ak(k= N )使得lgak=0”是“数列an中有无数多项是1的充要条件;I、_. - - -*（出）求证：在数列an中二ak（k n N ）,使得1 w ak <2.海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案数学（理科）2016.11阅卷须知：1 .评分参考中所注分数，表示考生正确做了该步应得的该步骤分数。2 .其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题（本大题共 8小题,每小题5分，共40分）题号12345678答案

8、BDCACCDB二、填空题（本大题共 6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空 3分，第二空2分,共30分）9.244110.511.212.3113.（一二, *巧;a > 2214.（第13题，第一空3分，第二空2分.第14题，选错0分；漏选3分；全选对5分）三、解答题（本大题共6小题，共80分）15.（本小题满分13分）解：（I） 法一：设等差数列aj的公差为d ,因为 bn + -bh =an ,所以 a2 =b3 -b2, 1 分=-24 （-18） 62所以数列an的通项公式为 an = a2 +（n 2 K 2 分= 2n10.1 分法二：设等差数列an的公差为d ,因为

9、bn + bn =an ,所以 a2 =b3 b2= -24 -（-18） = -6 , 3 分所以 a1 =a2 -d = -8 , 1 分所以数列an的通项公式为 an=ai+（n_1）d =2n_10.2分（n）法一：因为 bn 千 _bn =an ,所以 b2 -b =现，b3-b2 =a2 , b4-b3=a3,，bn-bn=an1 分将上面n-1个等式的等号两边分别相加，得 bn -h =a a2 a3 川 an（n 1）所以 bn = biaia2a3III ama2 -an 1 n-2=b2 22=n -11n-1分1分又因为 b1 =b2 _a1 = _10符合上式， 1 分

10、g、一 2 一 111 ；111 Y - J、所以 bn=n -11n=n(n - N )2 21 分当n =5或n =6时，bn取得最小值 b =b6 =-30 .2 分法二：因为 bn + -bn =an ,所以 b2b =& ,b3-b2=a2,b4-b3=a3,.1所以bn =61 an A所以 bn =b1A a2 a3 III an(n 1)a2an A n-2=b2 122=n -11n1又因为“=b2a=10符合上式，1所以bn= n2-11n4n-f-|-I22*(n N )1 分当n =5或n =6时，bn取得最小值 a =b6 =-30 .2 分法三：因为 bn

11、+ -bn =2n-10 ,所以，当 n <5 时，有 bn由-bn <0 ,即 b1 >b2 >鸟 >b4 >b5 ; 2 分当 n =5 时，有 bn + -bn =0 ,即 b6 =b5; 1 分当 n >5 时，有 bh+ -bn >0 ,即 b6 <b7 <b8 <|U .2 分所以n =5或n =6时，”取得最小值b§ =b6 = -30 .16.（本小题满分13分）解:所以"3）=皿932K-cos -3,、L,、，汽(I)因为 f(x) =cos(2x一)cos2x, 3（两个三角函数值各 2

12、分）=1.一、，一Tt(n)因为 f(x) =cos(2x - -) -cos2x= cos2xcos sin2xsin- -cos2xf Q= sin! 2x - 6所以f （x）的最小正周期T =红=C2函数y =sin x的单调增区间为.|2kTt _ ,. Tt,式一一，2kn，一 (k Z).22由 2kn一W2xW2kn+ , k匚 Z,（没有k范围，扣1分）所以f（x）的单调增区间为.IkTt ,kn+(k匚 Z)一 6317.（本小题满分13分）解:(I)因为 f (x) =x3 -9x ,所以 f (0)=0 , f '(x) =3x2 9 ,所以f=-9,所以直线l

13、方程为y = -9x .1 分设直线l与曲线y=g(x)相切于点(x0,-9x0),3又 g (x) =6x ,所以 g (xo) =6x0 = 9 ,斛仔 xo , 1 分2一一 32727. 一 27又 g(%) =-9% ,即 g() = +a =,解得 a = .1 分2424(n )记函数 F (x )= f (x) -g(x) =x3 -3x24221 271F(-a -2 )=(-a -2 a +7a +1)aW-a _2 a = .a+ - < 0 ,且 24-a - 2 -一二，-1 i, (或者：因为当 xt 依时，F(x)T f 当xt ho时，F(x)T g) 1

14、 分5-a 0所以方程f (x) = g(x)有二个不同头数解的条件为W, 2分27 - a ：二 0解得27<a<5.1 分综上，实数a的取值范围为-27 <a <5.18.(本小题满分13分)解：(I )法一： 因为 MBC是等边三角形，且 BC =2CD , 所以 AC =2CD , ZACD =120'2 分 -9x-a , xw R .F x =3x2 -6x 9 =3 x3 x 1 ,19 c 口0 0 0 ,且4由 F '(x )=0 解得 x =3 ,或 x = 1.1 分F'(x), F(x)的变化情况如下:3+00+极大值5-

15、a极小值27 a3 分又因为 F a2 5 = a2 5 a4 7a2 1 -a_a2 5-a =2_a +5 仁(3, +*)；在MCD中，由余弦定理得2_ 2_2_AD =AC +CD -2AC CDcosZACD , 3 分2_2_所以 7 =4CD2 +CD2 4CD CDcos120°1 分解得CD=1.1 分法二：因为 MBC是等边三角形，且 BC=2CD ,所以 AB =2CD , BD =3CD , /ABC =60：2 分在MBD中，由余弦定理得AD2 =AB2 +BD2 -2AB BD cos/ABC , 3 分所以 7=4CD2 +9CD2 -12CD CD c

16、os6001 分解得CD=1.1 分法三： 取BC中点E ,连接AE .1 分在等边三角形AABC中，0A1 | 11AE _L BC , AEBC ,-22 分1 111 1 II 1设 CD =x ,则 BC=2x，-1 分BEeD所以 AE=73x, DE =2x , 1 分在直角三角形MED中,2222-AD2 =AE2 +DE2 =7x2 =7 , 1 分解得x =1 ,即CD =1.1 分(n)在 AABC 中，BD=3CD=3, 1 分由正弦定理，有一BD= AD , 3 分sin - BAD sin -BBDsin/B 313.21所以 sin /BAD2 分=3 =AD2、7

17、1419.（本小题满分14分）解：(I)函数 f (x) =ex(x2 + ax+a)得f (x) =ex(x2+ax+a)+ex(2x+a)1 分=ex x2 +(a +2 Jx+2a I1 分=ex (x +2 I x +a ),由 f '(x)=0 解得 x = -2 ,或 x = _a , 1 分 当一a =-2 ,即 a =2 时，fx) =ex(x+2)2 之 0 恒成立，所以函数f(x)的单调增区间为(q,依c)； 1 分当a> 2,即a <2时，f'(x), f(x)的情况如下：002 分当a< 2,即a >2时，f'(x), f

18、(x)的情况如下：002 分综上，当a =2时，函数f(x)的单调增区间为(q,比C)；当a <2时，函数f(x)的 单调增区间为(的，2), (a,+00),单调减区间为(2,a);当a>2时，函数f(x)的单调增区间为(2a), (2,+比)，单调减区间为(a,2).-1分(n )法一：由(I)可知，当 a >4时，函数f (x)在xw a,十厘)上f(x) > f (-2),2且 f (-2) =e (4 -a)< 0.2 分因为a >4 ,所以，当 xE(-°°, -a)时，x(x + a)>0, ex >0 ,所以，

19、当 x=(-*，-a)时，f (x) =ex (x2+ax+a) = exx(x+ a)+a >0所以，当a > 4时，函数f(x)存在最小值f(N).1 分法二：由(I)可知，当 an 4时，函数 f (x)在 xw a,+*) ± f (x)> f (二)，且 f(-2)=e-(4 -a) < 0.2 分当 xt-qc时，x2+ax + aT - ,所以当 xt - 时，f (x)>0 , -1 分由(I)可知，函数 f (x)在(_oo,_a)上是增函数，所以当 xw (，a)时，f (x) >0 .1 分所以，当a >4时，函数f(x

20、)存在最小值f (-2).1 分法三：由(I)可知，当 a>4时，函数f (x)在xw a,f)上f (x)> f(-2),且 f(-2)=e-(4 -a) < 0.2 分因为当a>4时， = a24a>0,所以x2+ax+a =0有两个根-a - a - 4a -a ' a a -4ax1 =? x2 =?22由二次函数性质可知当x<x1时，x2 +ax+a>0, 1 分又因为-a - a - 4a -a - . ax1 =>= -a ,22所以当x£ (-°°,-a)时,f(x) 0 .所以，当a >

21、;4时，函数f(x)存在最小值 f(2).1 分20.(本小题满分14分)解：(I)因为 a =22 =3, lgan+=|lganlgan| (n=2,3,4，川)3 一3所以 lg a3 弓 lg3 lg2 | =lg ，即 a? = 3 ; 1 分3一一所以 lg84=|lg - -lg3| =lg2 , 即 a4=2 ； 1分34一 4所以 lga5=|lg2 -lg 一 |=lg ，即 a5=一 .1分233(n)必要性：已知数列an中有无数多项是1,则数列4中存在akw N )使得lgak =0.证明：因为数列an中有无数多项是1,所以数列an中存在ak( k w N )使得ak=

22、1 ,所以数列an中存在ak( k w N )使得1g ak = 0 .1 分充分性：已知数列an中存在ak(k W N )使得1g ak =0 ,则数列an中有无数多项是1. 1 分(注：此处1分是给在“学生能够将充要性的证明分成两个条件与结论清楚的两 个命题来证明”)法一：充分性证明：假设数列an中没有无数多项是 1,不妨设am=1(mw N )是数列an中为1的最后一项，则am¥。1 ,若 am+ >1 ,则由 1g an4 qig an -1g an| ( n =2,3,4,|)可得 1g am书=1g am卡 ,所以1g am与 qigam电igam书|=0 ,所以a

23、m书=1,这与假设矛盾； 2分若 0 <am+ <1 ,则由 1gan+ =|1g an -1gan| ( n =2,3,4,川)可得 1g am书=1g am,所以 1g am 书=|1g am七-1g am由 |=-21g am+,所以 1g am书=|1g am书一1g am也 |=|-21g am由+1g am书 |=-1g am + ,所以 1g am由 =| 1g am* 1gama |=|Tg am由 +21g am书 |=-1g am -所以 1g am” 1g am* -1g am书 |=0,所以am七=1 ,这与假设矛盾.2 分综上，可知假设不成立，所以原命题正

24、确.由可知，“数列 Q中存在ak(kW N*)使得1gak = 0”是“数列小中有无数多项是1”的充要条件.法二：充分性证明：设 bn=1gan ,则bn+=|bnbn| ( n = 2,3,4,111),待证命题即：已知数列bn中存在bk(ku N )使得bk =0 ,则数列8中有无数多项是0.若 bk =0(k=2,3,4j|),由 bn + Hbn bn| (n =2,3,4川|)可得 上子)0, (k=2,3,4,|),且 bkbk,所以 b<3 | bk 2 - bk 1 | = 0 .循此可推证 bk书m =0 (mW N)； 2 分若bi =0 ,当b2)0时，b3 =b2

25、,所以b4 =0 ,由证明可知 bk中m =0 (mW N)； 1 分当 b2<0 时，b3=劣2,所以b44b3bz|=2b2,所以b5 =|b4 -b3 |=b2 ,所以 b6 Mb5-b41=-b2,所以 b7 =|b6 -b51=0 ,由证明可知bk书m=0 (mW N) .1 分所以数列bn中有无数多项是0.(出)法一：证明：假设在数列an中,不存在ak(kw N )满足1 & ak <2 ,贝 U 0<ak <1 或 ak >2 ( k=1,2,3,|).由 lgan书 Wlgan lgan| ( n = 2,3,4，川)可得,广an>,

26、an > an，an+ = ?(n=rr1所以 maxa2mH3,a2mG 0 ；"bm，即 bm+&；bm(m=1,2,3,|), 23,4,H|) *,且0 ( n = 1,2,3,| H),一，an ：二4二， .an所以当n >2时，an >1.所以 an > 2( n =3,4,5,|) .1分若 a4 =a3>2 ,贝U a5 =1与 a5>2矛盾； 1分an A o .o育 a4¥ a? n 2 ,设 bm =maxa2m+，a2m/ ( m =1,2,3, III),则 %>2 .由(*)可得，a2m () maxa2m,a2m. =1bm, a2m七 0 g max a2m 岳 a2m 令222所以bm 0m，2 分对于b1 ,显然存在l使彳导2l-< b, <2l ,所以9八