2016高二数学上册知识点总结

1、2016 高二数学上册知识点总结不等式单元知识总结 一、不等式的性质1 两个实数a 与 b 之间的大小关系&#61676;&#61679;(1)a b > 0&#61659;a > b;&#61677;(2)a b=0&#61659;a=b ；&#61679;&#61678;(3)a b< 0&#61659;a <b.&#61676;a&#61679;(4)b > 1&#61659;a > b;&#61679;若a、 b&#61646;R&#614

2、83; ，则 &#61679;&#61677;(5)ab=1&#61659;a=b；&#61679;&#61679;&#61679;&#61678;(6)ab<1&#61659;a<b.2不等式的性质(1)a>b&#61659;b < a(对称性)(2)a>b&#61692;b>c&#61693; &#61662;a > c(传递性&#61694;)(3)a > b&#61659;a + c> b + c(加法单调性)a>b

3、&#61692;c> 0&#61693;&#61694; &#61662;ac >bc(4) (乘法单调性)a>b &#61692;cv 0&#61693;&#61694; &#61662;ac < bc(5)a+b>c&#61662;a>c- b(移项法则)(6)a>b&#61692;c>d&#61693;&#61694;&#61662;a + c>b+d(同向不等式可加)a>b&#61692;cv d&#6169

4、3;&#61662;a -c>b-&#61694;d(异向不等式可减)(8)a>b>0&#61692;c>d>0&#61693;&#61694;&#61662;ac >bd(同向正数不等式可乘)(9)a>b>0&#61692; 0<c< d&#61693;&#61694;&#61662;abc> d(异向正数不等式可除)(10)a>b>0&#61692;nnn&#61646;N&#61693;&#61694

5、;&#61662;a > b(正数不等式可乘方)(11)a>b>0&#61692;&#61646;N&#61693;&#61694;&#61662; a >nb(正数不等式可开方)(12)a>b>0&#61662;1a< 1b(正数不等式两边取倒数)3绝对值不等式的性质(1)|a|夺a|a|=&#61676;&#6167 7;a (a 导 0)&#61678; - a (a<0).(2)如果a>0,那么|x| va&#61659;x2 va2&#

6、61659; -a<x<a；|x| >a&#61659;x2 >a2&#61659;x >a 或 xv - a.(3)|a&sup2;b| = |a|&sup2;|b|(4)|ab| = |a|b| (b 丰.0)(5)|a| -|b| w |a ± b| 刊捌.(6)|a1 + a2+&#8222;&#8222; + an| < |a1|+ |a2| + &#8222;&#8222; 十 |an| .二、不等式的证明1 不等式证明的依据(1)实数的性质：a、b 同号 &#61

7、659;ab >0; a、b 异号 &#61659;ab v 0 a-b>0&#61659;a>b; a b v0&#61659;a vb; ab=0&#61659;a=b(2)不等式的性质(略 )(3)重要不等式： |a| a2Aq (a - b)2 > 0( abCR)a2+b2 A 2aba b R,当且仅当 a=b时取"号) a&#61483;b 其 b&#61646;R&#61483;2，当且仅当a=b 时取 “ =号 ” )2不等式的证明方法(1)比较法：要证明a>b(avb),只要证明

8、a- b>0(a- b< 0),这种证明不等式的方法叫做比 较法用比较法证明不等式的步骤是：作差 变形 判断符号(2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等三、解不等式1 解不等式问题的分类(1)解一元一次不等式(2)解一元二次不等式(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式 解一元高次不等式； 解

9、分式不等式； 解无理不等式； 解指数不等式； 解对数不等式； 解带绝对值的不等式； 解不等式组2解不等式时应特别注意下列几点：(1)正确应用不等式的基本性质(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性(3)注意代数式中未知数的取值范围3不等式的同解性(1)f(x)&sup2;g(x) >0 与 &#61676;&#61677;f(x) >0&#61676;&#61678; g(x) >0 或&#61677;f(x) V 0&#61678; g(x) <0 同解.(2)f(x)&sup2;g(x) v

10、0 与&#61676;&#61677;f(x) > 0&#61676;f(x) < 0&#61678;g(x) V0 或&#61677;同解.&#61678;g(x) > 0(3)&#61676;f(x) > 0&#61676;f(x) < 0f(x) >0 与 &#61677;或 &#61677;同解.(g(x) W0)g(x)&#61678;g(x)0&#61678;g(x) <0&#61676;f(x) > 0&#61676;f(

11、x) < 0f(x)(4) < 0 与 &#61677;或 &#61677;同解.(g(x)丰 0)g(x)g<x) 0g(x) > 0&#61678;&#61678;(5)|f(x)| vg(x)与一g(x)vf(x)vg(x)同解.(g(x)>0)(6)|f(x)| >g(x)W f(x)>g(x)或 f(x)vg(x)(其中 g(x)对0解；与 g(x)0 同解.&#61676;f(x) > g(x)2(7)f(x) > g(x)与 &#61679;& #61677;f(x)或&

12、amp;#61676;&#61679;&#61677;f(x)>0g(x)同解.&#61678;g(x)> 0&#61678;0(8)f(x) v g(x)与 &#61676;&#61677;f(x) < g(x)2RO同解.&#61678;f(x)(9)当 a>1 时，af(x)>ag(x)与 f(x)>g(x)同解，当 0vav1 时，af(x)>ag(x)与 f(x)vg(x)同解.(10)当 a> 1 时，log&#61676;f(x) >g(x)af(x) >

13、logag(x)与 &#61677;同解.&#61678;f(x) >0&#61676;f(x) <g(x)当 0vav1 时，log&#61679;af(x)> logag(x)与&#61677; f(x) >0 同解.&#61679;&#61678;g(x) >0单元知识总结一、坐标法1 点和坐标建立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点和一对有序实数(x, y)建立了对应的关系.2两点间的距离公式设两点的坐标为 P1(x1, y1), P2(x2, y2),则两点间的距离|P1P2|=(x2&#61

14、485;x1)2&#61483;(y2&#61485;y1)2 特殊位置的两点间的距离，可用坐标差的绝对值表示：当x1=x2时(两点在y轴上或两点连线平行于y轴)，则|P1P2|=|y2 y1|(2)当y1=y2时(两点在x轴上或两点连线平行于x轴)，则|P1P2|=|x2 x1|3线段的定比分点(1)定义：设P点把有向线段 P1P2分成P1P和PP2两部分，那么有向线段P1P和PP2的数量的比，就是 P点分P1P2所成的比，通常用入表示，即 入=P1PPP,点P叫做分线段P1P2为定比入的定比分点.2当P点内分P1P2时，入>0;当P点外分P1P2时，K 0.(2)公式

15、：分P1(x1, y2)和P2(x2, y2)连线所成的比为入的分点坐标是&#61676;&#61679;&#61679;x&#61501;x1&#61483; 入 x2&#61677;1&#61483;入&#61679;(入手 &#61485;1)&#61679;&#61678;y&#61501;y1&#61483; 入 y21&#61483;入特殊情况，当P是P1P2的中点时，入=1得线段P1P2的中点坐标 公式&#61676;&#61679;&#6167

16、9;x&#61501;x1&#61483;x2&#61677;2&#61679;&#61679;y&#61501;y1&#61483;y2&#61678;2二、直线1 直线的倾斜角和斜率(1)当直线和x轴相交时，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角， 叫做这条直线的倾斜角当直线和x轴平行线重合时，规定直线的倾斜角为0.所以直线的倾斜角延0,兀)(2)倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，直线的斜率常用k表示,即 k=tan a ( a w 兀2)，当 kRO时，a =arcta

17、nk (锐角)当 k<0 时，a =右 arctank.(钝角)(3)斜率公式：经过两点 P1(x1, y1)、P2(x2, y2)的直线的斜率为k=y2&#61485;y1x&#61485;x(x1 wx2) 212直线的方程(1)点斜式 已知直线过点(x0, y0),斜率为k,则其方程为：y-y0=k(x-x0)(2)斜截式 已知直线在y轴上的截距为b,斜率为k,则其方程为：y=kx+b两点式 已知直线过两点(x1, y1)和(x2, y2),则其方程为：y&#61485;y1y=x&#61485;x1(x1 w x2)2&#61485;y1x

18、2&#61485;x1(4)截距式已知直线在x, y轴上截距分别为a、b,则其方程为：xya&#61483;b&#61501;1参数式 已知直线过点P(x0, y0),它的一个方向向量是(a, b),则其参数式方程为&#61676;&#61677;x&#61501;x0&#61483;at&#61678;y&#61501;y(t 为参数)，特别地，当方向向量为0&#61483;btv(cos ,a sin a )(为倾余角)时，则其参数式方程为 &#61676;&#61677;x&#6150

19、1;x0&#61483;tcos a &#61678;y&#61501;y(t 为参数 ) 0&#61483;tsin a这时，t的几何意义是tv=p -0p， |t|=|p0p|=|p0p|(6)一般式AxByC=0 (A、B 不同时为0)(7)特殊的直线方程 垂直于x 轴且截距为a 的直线方程是x=a，y 轴的方程是x=0 垂直于 y 轴且截距为b的直线方程是y=b， x 轴的方程是y=03两条直线的位置关系平行：当直线11和12有斜截式方程时，k1=k2且bl W b2ABC当11和12是一般式方程时， 1A&#61501;11 Bw 22C2(2

20、)重合：当11和12有斜截式方程时，k1=k2且b1=b2,当11和12是一般方程时，A1B1C1A&#61501;&#61501;2B2C2(3)相交：当11, 12是斜截式方程时，k1wk2当 11A2B11, 2是一般式方程时，A手2B2&#61676;&#61679; 交点： &#61676;&#61677;A1x&#61483;B1y&#61483;C1&#61501;0 &#61679;&#61678;A2x&#61483;B2y&#61483;C2&#61501;0 的

21、解斜&#61679;&#61679;&#61677;至U角：1tan 。&#61501;k2&#61485;k11 至U 12 的角(1&#61483;k1k2 丰交 &#61679;1&#61483;k1k0) 2&#61679;&#61679;&#61679; 夹角公式：1&#61501;|k2&#61485;k1&#61678;1 和 12 夹角 tan 0 1&#61483;k|(1&#61483;k1k2 w 0) 1k2 垂直 &#61676;&a

22、mp;#61677; 当 11 和 12 有叙截式方程时，k1k2= 1&#61678; 当 11 和 12 是一般式方程时，A1A2 B1B2=04.点P(x0, y0)与直线1: Ax+By+ C=0的位置关系：Ax0 By0 C=0&#61659;P 在直线 1 上 (点的坐标满足直线方程)Ax0+By0+Cw 0&#61659;唯直线 1 夕卜.点 P(xC|0, y0)到直线1的距离为：d=|Ax0+By0+A2&#61483;B25.两条平行直线 11 ： Ax+By+ C1=0, 12 : Ax+ By+C2=0 间的距离为：d=|C1&#

23、61485;C2|A2&#61483;B26直线系方程具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程的特点是除含坐标变量x， y 以外，还含有特定的系数(也称参变量)确定一条直线需要两个独立的条件，在求直线方程的过程中往往先根据一个条件写出所求直线所在的直线系方程，然后再根据另一个条件来确定其中的参变量(1)共点直线系方程：经过两直线11 ： A1x+B1y+C1=0, 12 : A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为：A1x+B1y+C1+入(Ax+B2y+C2)=0,其中 入是待定的系数.在这个方程中，无论 入取什么实数，都得不到A2x+B2y+C2=0,因此它不表示1

24、2.当入=0时，即得 A1x+ B1y+C1=0,此时表示11.(2)平行直线系方程：直线y=kx b 中当斜率k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程与直线Ax+ By+ C=0平行的直线系方程是Ax+ By+入=0(入皆C)是参变量.(3)垂直直线系方程：与直线Ax+By+ C=0(AW0 Bw孽直的直线系方程是：Bx Ay+入=0如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，可选用直线系方程来求解7简单的线性规划(1)二元一次不等式 Ax+ By+ C>0(或v 0)表示直线Ax+ By+ C=0某一侧所有点组成的平面区 域二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等

25、式所表示的平面点集的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分(2)线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的值或最小值的问题，称为线性规划问题，例如，z=ax+ by,其中x, y满足下列条件：&#61676;&#61679;A1x +B1y+ C1>Q(c< 0)&#61679;&#61677;A2x + B2y+ C2A 竦 W 0)(*)&#61679;&#8222;&#8222;&#61679;&#61678;Anx + Bnx+ Cn> 竦 w 0)求z的值和最小值，这就是线性规划问题， 不

26、等式组(*)是一组对变量x、y的线性约束条件， z=ax+ by叫做线性目标函数.满足线性约束条件的解(x, y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使线性目标函数取得值和最小值的可行解叫做解三、曲线和方程1 定义在选定的直角坐标系下，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x， y)=0 的实数解建立了如下关系：(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x, y)=0的解(一点不杂)；(2)以方程f(x, y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点(一点不漏).这时称方程f(x, y)=0为曲线C的方程；曲线 C为方程f(x, y)=0的曲线(图形).设P=具有 某种性质(或适合某种条件)的点

27、, Q=(x, y)|f(x, y)=0,若设点M的坐标为(x0, y0),则用 集合的观点，上述定义中的两条可以表述为：(1)M C P&#61662;(x0, y0) Q,即 P&#61645;Q;(2)(x0, y0)C Q&#61662;M 6 P,即 Q&#61645;P.以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：(1)(x0， y0)&#61647;Q&#61662;M&#61647;P ；(2)M&#61647;P&#61662;(x0 ， y0)&#61647;Q 显然，当且仅当 P&

28、#61645;Q且Q&#61645;P,即P=Q时，才能称方程 f(x, y)=0为曲线C的方程；曲线 C为方程f(x, y)=0的曲线(图形).2 曲线方程的两个基本问题(1)由曲线(图形)求方程的步骤： 建系，设点：建立适当的坐标系，用变数对 (x, y)表示曲线上任意一点 M的坐标； 立式：写出适合条件p 的点 M 的集合 p=M|p(M) ； 代换：用坐标表示条件p(M),列出方程f(x, y)=0; 化简：化方程f（x， y）=0 为最简形式； 证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点上述方法简称“五步法 ”，在步骤 中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解

29、集相同，则步骤 可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程（2）由方程画曲线（图形）的步骤： 讨论曲线的对称性（关于x 轴、 y 轴和原点）； 求截距：方程组 &#61676;&#61677;f（x ， y）&#61501;0y&#61501;0 的 解 是 曲 线 与 x 轴 交 点 的 坐 标 ； &#61678; 方 程 组 &#61676;&#61677;f（x ，y）&#61501;0&#61678;x&#61501;0的解是曲线与 y轴交点的坐标； 讨论曲线的范围； 列表、描点、画线3交点求

30、两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组4曲线系方程过两曲线f1（x, y）=0和f2（x, y）=0的交点的曲线系方程是f1（x, y）+入f2（x y）=0（兀R）.四、圆1 圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆2圆的方程标准方程（xa）2+（yb）2=r2. （a, b）为圆心，r为半径.特别地：当圆心为（0, 0）时，方程为x2 y2=r2（2）一般方程x2 y2 Dx Ey F=0配方 （x&#61483;D2E2D22）&#61483;（y&#61483;2）&#61501;&#61483;E2&#61485;

31、4F4当D2+E2 4F>0时，方程表示以（一DE2，2）为圆心，以12D2&#61483;E2&#61485;4F 为半径的圆；当 D2 E2 4F=0 时，方程表示点（ D2，E2 ）当D2+E2 4FV0时，方程无实数解，无轨迹.（3） 参 数 方 程 以 （a ， b） 为 圆 心 ， 以 r 为 半 径 的 圆 的 参 数 方 程 为&#61676;&#61677;x&#61501;a&#61483;rcos0&#61678;y&#61501;b&#61483;rsin为参数）特别地，以（0, 0）为圆心，

32、以r为半径的圆的参数方程为&#61676;&#61677;x&#61501;rcos 0 （ 0为参数）&#61678;y&#61501;rsin 03点与圆的位置关系设点到圆心的距离为 d,圆的半径为r.（1）点在圆夕卜&#61659;d >r；(2)点在圆上&#61659;d=r；(3)点在圆内 &#61659;dvr.4直线与圆的位置关系设直线 l: Ax+By+ C=0 和圆 C： (x-a)2 + (y-b)2=r2,则d&#61501;|Aa&#61483;Bb&#61483;C|A2&a

33、mp;#61483;B2相交&#61659;直线与圆的方程组成的方程组有两解，4>0或dvr；(2)相切 &#61659;直线与圆的方程组成的方程组有一组解， =0 或 d=r；相离&#61659;直线与圆的方程组成的方程组无解，0或d>r.5求圆的切线方法(1)已知圆x2 y2 Dx Ey F=0若已知切点(x0, y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是xD(x&#61483;x0)E(y&#61483;0x&#61501;y0y&#61483;2&#61483;y0)2&#61483;F&#6150

34、1;0 当 (xx0&#61483;xy0&#61483;y0, y0)在圆外时，x0x + y0y + D(2) + E(2) + F=0表示过两个切点的切点弦方程 若已知切线过圆外一点(x0， y0)， 则设切线方程为y y0=k(x x0)， 再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线若已知切线斜率为 k,则设切线方程为 y=kx+b,再利用相切条件求b,这时必有两条切线(2)已知圆x2 y2=r2 若已知切点 P0(x0, y0)在圆上，则该圆过 P0点的切线方程为 x0x+y0y=r2. 已知圆的 切线的斜率为k,圆的切线方程为 y=kx&#

35、177;rk2&#61483;1.6圆与圆的位置关系已知两圆圆心分别为O1、 O2， 半径分别为r1 、 r2， 则 (1)两圆外切&#61659;|O1O2|=r1 r2；(2)两圆内切&#61659;|O1O2|=|r1 r2| ；(3)两圆相交 &#61659;|r1 r2| v|O1O2| < ri + r2 .单元知识总结一、圆锥曲线1 椭圆(1)定义定义1:平面内一个动点到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|),这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)定义2:点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=ca(0<e< 1)时，这个点的轨迹是椭圆.(2)图形和标准方程8 1 的标准方程为：x2y2图 a2+b2=1(a>b>0)8 2 的标准方程为：x2y2图 b2 + a2= 1(a>b>0)(3)几何性质2双曲线(1)定义定义1:平面内与两个定点 F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点)13第 13 / 17页定义2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数e(e>1)时，这个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点)(2)图形和标准方程图 8 3 的标准方程为