2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一上期末考数学试题(解析版)

1、2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一上期末考数学试题一、单选题1 .已知点p闾1nMg'Q）在第二象限，则角”的终边所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】由题意利用角在各个象限的符号，即可得出结论【详解】由题意，点PNnamsQ）在第二象限，sim<0,coSQ>。则角0t的终边所在的象限位于第四象限，故选 D.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及三角函数在各个象限的符号，其中熟记三角函数在各个象限的符号是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.2 .对于向量a, b, i和实数人，下列命题

2、中正确的是（）A,若白=口，则m = 6或E = 6 b若心= ',则入=口或己"C,若?二?，则曰“或白=工D,若曰/则匕=1c【答案】B【解析】由向量的垂直条件，数量积为 0,可判定A;由向量的数乘的定义可判断B;由向量的平方即为向量的模的平方，可判断C;向量的数量积不是满足消去律，可判断D,即可得到答案.【详解】对于A中，若白,=。，则曰=°或="或'所以不正确；对于B中，若猫=6则入=°或曰=。是正确的；对于C中，若 =b ,则同=性，不能得到"b或己=，所以不正确；对于D中，若=则a（b/ = 0,不一定得到b=c,可

3、能是a _L （b-c）,所以不正确，综上可知，故选 B.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的定义，向量的数乘和向量的运算律等知识点，其中解答中熟记向量的数量积的定义和向量的运算是解答本题的关键，着重考查了判断能力和推理能力，属于基础题.3 .已知向量 a=S + 1.2), b = (-2,2)若 - |a-b| ,则实数人为()A. .2B. TC. 1D, 2【答案】C【解析】 根据归+ E| = |a-t>| ,即可得出(a + b)2 = (a-t>/ 进行数量积的运算即可得出a = °,在由向量的坐标运算，即可求解 .【详解】121ssI 由题意，因为 幅+

4、W二幅山，所以旧+ b)=(曰出，整理得a，b = O,又由 a1,2)上= (-2,2)所以a £ =伏+ 1力, H力=-2(A + 1+ 2乂2 =。解得入=1，故选C.【点睛】本题主要考查了向量的模的运算，以及向量的数量积的坐标运算，其中解答中根据向量的运算，求得3/二0,再根据向量的数量积的坐标运算求解是解答的关键，着重考查 了推理与运算能力，属于基础题.nX =4 .函数加=$加+玳内的图象关于直线6对称，则实数总的值是()1 pA. 1B, 2C. 2 D.【答案】Dn【解析】利用辅助角公式化简函数f(x) = ? + 1&,nx +，又由函数的图象关于6对称,

5、sin- + acos-=±a +1得到 66,即可求解.【详解】,口舌员 ?小 f(x) = sinx + acosx =+ isin(K + 巾)由题意，函数一宣工 w,又由函数的图象关于6对称，所以 6即£-2标+ 3 = 0,解得"反 故选d.【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式的应用， 中解答中利用辅助角公式化简函数的解析式，求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力5.将Y = 的图象上各点横坐标伸长到原来的n n$in- + acos-=±6以及三角函数的图象与性质的应用， 其 再根据三角函数的图象与性质， 列出方程 属于基础题 .2

6、倍，纵坐标不变，然后将图象向右平移R4个单位，所得图象恰与nV = sin(x + -)3重合，则小厂7nx 7nsin(2x + )sin(- + )A.12b.2 12sin(2x + ) C.D.x nsin(一十)2 12【答案】A【解析】直接利用逆向思维，对函数的关系式进行平移变换和伸缩变换的应用，求出函数的关系式，即可得到答案 .【详解】nny = sin 仅 + -)由题意，可采用逆向思维，首先对函数3向左平移4个单位，n n7ny = $inx + - + -) = si n(x + )得到4 312的图象，1进一步把图象上所有的点的横坐标缩短为原来的2,纵坐标不变，7nV =

7、 sin(2x + )得到12 ,故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题 6 ,已知函数电)=, 乂 W网，则烟是()A.最小正周期为2的奇函数 B.最小正周期为2的偶函数C.最小正周期为巨的奇函数D.最小正周期为江的偶函数【答案】B1 1f(x)=co$4x【解析】利用三角函数的恒等变换化简函数为44,由此可得处函数的奇偶性和最小正周期，得到答案.l-cos4x 1 1=cos4x24 4【详解】2 Z ?1?1f(x) = (L-co$2x)cos x = 2sin xcos

8、x = -sin 2K = 一 由函数222n h所以函数f(K)为偶函数，且最小正周期为4 2 ,故选A.【点睛】其中解答中数列应用本题主要考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质,三角恒等变换的公式化简，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.n-tan(- + a) = -3- 上7,若向量”同nHsinot-l), b = 31 + sin叫 且 4,则曰飞的值是()35A. 1 B. 5C. 3 d. T【答案】Bntan(+ a)=-3【解析】由题意，4，求得匕皿=2,在根据向量的数量积的运算公式和三角函数的基本关系式，化简"

9、;b为齐次式，即可求解.【详解】由题意,Tltan(- + a) = -341 + tana =-3,所以tana ,解得tans = 2,又由向量a =(53si3-1 b = (14 + sina)_ .22sinacosa-cos a一 一2则III:sin'a + cos a2tana-ltan a + 13=,故选B.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算性质,以及利用三角函数的基本关系式化简求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系，化简向量的数量积为齐次式是解答的关键,属于基础题，着重考查了推理与运算能力.8.已知增叫 加口是方程I机3x0-2) =。的两个实数根，则3

10、m() 111A. 2 b 5 c 6 d 2【答案】C【解析】直接利用对数函数的变换，进一步利用一元二次方程的根和系数关系和三角函数关系式的恒等变换，即可求出结果.【详解】由题意，0口口，履邛是方程lg(3x2-x-2):0的两个实数根，即【anot, 0呻是方程二 0的两个实数根，1tana += - tana tan3 = -1所以3，1tana + tanp 31tan(a + p)=则iFMtFnp 14-1 6,故选 c.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根和系数的应用，以及三角函数关系式的恒等变换的应用，其中解答中熟记两角和的正切函数的公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查

11、了推理与运算能力，属于基础题.9.已知单位向量日上的夹角为6°若向量寸满足帕-五记山，则©的最大值为()A.3B.3C. 1 + '3d 3【答案】A-1+(¥_)2 £ 1C(0H)【解析】由题意，设c:体也由|a-2b + 3c|W3,化简得 3 ，表示圆心为 3 , 半径为1的圆，结合图形可知，即可求解lc的最大值.【详解】1-*p q 1,3a = (1,0),b = (cos60 psin60 )=卜,一)-由题意，设单位向量22 ,且c二仅”化简得由加如+印3,所以c（0,-）,表示圆心为 3 ,半径为1的圆，如图所示,由图形可知，何

12、的最大值为3 ,故选a.【点睛】本题主要考查了平面向量的模的计算，以及向量的坐标运算的应用，其中解答中熟记向 量的坐标公式，得出向量 。表示的图形，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形 结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题10.有下列叙述,函数V = Fnx的对称中心是伙凡0）；n nf（-+ x） = f（x）若函数f=+（w。，。中对于任意在R都有66 成立,=2函数'口）= 乂=卬”在R上有且只有一个零点;f（x）= I已知定义在R上的函数sinx-cosx sinx + cosx时,小）0成立.则其中正确的叙述有（）171A.个 B.个C.个D. *个屈）的导数【解析】

13、由正切函数的对称性可判断；由正弦函数的对称性可判断；由 判断单调性，结合零点存在定理可判断；由正弦函数与余弦函数的图象和性质，可判断，即可得到答案【详解】kn(一,O),kEZ由题意，中，函数¥ = 0僦的对称中心是 2,所以不正确;n nf(- + K)= f(x)中，若函数f= 2siMwx十对于任意kER都有66成立，可得函数关于nnf(_) -± 26对称，则6,所以不正确;中，函数f仪广KTinx的导数为f(x) = i-oosx30,可得函数可用在R上为单调递增函数,又由可口)= 0,即W>)在R有且只有一个零点，所以是正确的;sinx-cosx sinx

14、 + cosx*刈=I1 +中，已知定义在R上的函数22当©nxNco部时,即H2kn +- £ k £ 2kn + 45n-k ez4时，皿=$加；当养命时,即3Tl2 kH< x < 2krr +4n-k EZ4时，f（K）= 8SX；2 krc < x < 2kn +n712krt< k < 2krrn2kn + - < x < 2kn + r2和 2,2时，f(x”0成立,712kn一一 < x < 2kn + n即当 2时，f>0成立，所以是正确的，故选 B.【点睛】本题主要考查了三角函数

15、的图象与性质，以及函数与方程的应用， 其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及函数的零点的存在定理的应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试二、填空题7nsin11.6的值为.加1。飞伯7。+8乳。”/2。"的值为.1 1【答案】【解析】 直接利用诱导公式，及两角和的正弦公式，化简求值，即可得到答案【详解】7n n n 1由题意,sin = $inn + )= -sin-= 6662.sinlOb sin70 0 +cosl0*sin20D = sinl00sln20o +cosl0Dsin20D = sln300 =-又由【点睛】本题主要

16、考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和两角和的正弦函数公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题12.已知扇形的周长为2,当它的半径为 时，扇形面积最大，这个最大值为 .1 1【答案】2-2r1 79 = 5 = -3【解析】设扇形的半径与中心角分别为1r田，可得1r ，在利用扇形的面积为2利用基本不等式即可求解.【详解】2-2r9 =设扇形的半径与中心角分别为 月，则2r + e= 2,可得 r ,1 ?1 . 2-2rr + 1-r 3 1S = -r S = -r x =r(l-r) < ()=可得扇形的面积为2 2r24,1= 一当且仅当2是

17、取等号.【点睛】本题主要考查了扇形的弧长和面积公式，以及基本不等式的性质的应用，其中解答中利用扇形的弧长和面积公式，合理表示扇形的面积，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.13,已知a=<3,A + 2), b=(A)，若电则实数人的值是;若，与'的夹角为锐角，则实数人的取值范围是.卜士山口 +引【答案】T或1I 2 I【解析】由题意，根据得到方程35m ,即可解答人得值，再由3和b的夹角为锐角，所以“b>0,且m,b不同向，列出不等式，即可求解【详解】 由题意，因为 " 所以 如入伏+ 2)=。，解得入二7或1,因为a和G的夹角

18、为锐角，所以且不同向,1X > 所以北+ A + 2>。，所以2且人工1,所以人的取值范围为2且 Ml.【点睛】本题主要考查了向量的共线的应用， 以及向量的数量积的应用问题， 其中解答中熟记向 量平行是的坐标关系， 以及向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题 .2ne ee et a = e +e b = 2e=e e a e =14 .设L ?是单位向量，且' ?的夹角为，若 12,1 ，则12 ;a在b方向上的投影为 .1 "【答案】_ _fa,I.【解析】根据平面向量数量积的定义求出S ,邑与m.b,并计算出平面向量匕的

19、模匕，再利用公式，即可求解.【详解】- -4. 2n11由平面向量的数量积的定义，可得e - Gt = e. e, cos- = 1 m 1 x ()=ah sib二Id 21AA &JLJra b = (e1 + e2)(2e1-e2)= 2e1 + ex e2-e2 = 21 =-bZ = (ie.-e-f)2 = 4e. 2-4e1 - e7 + e.,2 = 4-4 x (-) + 1=7 r2,即问所以日在b方向上的投影为本题主要考查了平面向量的数量积的定义,以及向量的投影的应用，其中解答中熟记平【点睛】面向量的数量积的计算公式，以及向量的投影的计算是解答本题的关键，着重考查

20、了推理与运算能力，属于中档试题.1 sin0 =-15,已知P1J3为角8的终边上的一点，且 2则实数3的值为.【答案】【解析】由三角函数的定义，即可求解 占得值，得到答案.【详解】a 1 sine =.=-由三角函数的定义可知+ J 2解得又由sinSO,所以曰=1.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，列出方程求解是解答的关键，着重考查了退与运算能力，属于基础题16,若函数不）=7882，-4占防火 +北+ 1在。内有两个不同的零点，则实数的取值范围 是.4 a =- 答案或3【解析】 由题意，'"6sin-4sinx + 2a-2令即

21、* E |0）,把原函数转化为V = 6-枇+ 2a-2有两个不同的零点，进而转化为方程3t2-2t7 =-a在11上有唯一的实根或在QD上有两相等的实根，利用二次函数的性质，即可求解【详解】由题意，函数 怵二 65iJx-45inx + 2r2t”inx, x E ,则原函数转化为V =电L4t + 2白-2有两个不同的零点，则转化为函数V =4-例Ca-2在91）上有唯一的零点2即转化为方程3t -能-1=-2在电口上有唯一的实根或在1。，口上有两相等的实根转化为函数y = 3t<2t l, t（网与函数V =-日有唯一交点4得 3或-白04 a =- 所以3或aE(Q,l)【点睛】

22、本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中根据题意令t = 5inx ,把原函数转化为V =4t+2a-2有两个不同的零点，进而转化为方程3tL2t-l 在上有唯一的实根或在上有两相等的实根，利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题 n'C 二 - 一 一17.已知。为SBC的外心，3若0C八。A + OB(M E R),则入+4的取值范围是.【答案】【解析】 法一：设圆的半径为 ' 建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，得到 入+口 =日，进而可求解其取值范围.IA - sin2AIJL = sinJBA + p

23、 = -2sin 2A1-|法二，由奔弛定理和向量的运算，得 2,进而得1.6/利用三角函数的性质，即可求解.【详解】法一：设圆的半径为(cosS.sinG) = X| 所以I如图所示建立平面直角坐标系，则6c=hOA + gAA易得= 2sin9I n 7n 叼打法二，由奔弛定理 *必6+ sin2B，OB +win2cpe = 0, 由已知转化为：H百上C = sin2C = 一又 ？，所以 2在一和一趴-XOA - xOB + OC= 0变形为 .1【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记向量的坐标运算，把大+ U转化为三角函数的运算，合理利用三角

24、函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题 三、解答题18,已知11=2,向我成-小萨谢账34.(I )求a与b的夹角白；(n)当"为何值时，嵋-6与a + W垂直？cos6 = 一一【解析】(1)由向量的数量积的运算，列出方程，求得之，即可求解结果.(2)由+利用向量的数量积的运算，即可求解.【详解】(1) 由 题 意， 根 据 向 量 的 运 算， 得(2a-b)-(a + 3b) = 2丁 + 5r b - "=2m + 5|白|向8消-3|b=小您日-19 =- 34 ,解得：1 cos9 =-2,（2）丁+二（小 b）g +3b）

25、 = 0.二(xa - bxj - (a + 3b) = xa2 +(3x -1> b - 3|b|2 = 4x - 3(3x -l)-27 = O24解得【点睛】本题主要考查了向量的数量积的化简、运算，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题19.已知函数f(x)=昌乂 + $inx - co$x（I ）求函数小）的最小正周期;（H）求函数f冈在。事的单调递增区间.【答案】（1）函数的最小正周期是苴（2）5017112【解析】（1）利用三角函数恒等变换的公式,上/ n ,f(x) - sin 2x- + 一化简13/2

26、,利用周期的公式,即可求解函数的最小正周期;（2）由口算?根据三角函数的性质，得到0x 一n12 ,即可得到函数的递增区间f（x） =（1）由题意，函数1 1-cos2x) + sin2x = sin2x -cos2x +22nT 二 -n，则 2,即函数,（期的最小正周期是“n-<3，0 < X S7112所以函数可好在四川的单调递增区间是50,兀12【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中利用三 角恒等变换的公式，化简埼的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关 键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题5 a nsin(a + p)

27、 = tan(- + -) = 320 设且13 工 4(I)求8g的值;(n)求8sB的值.3», cos a - 二 cosp -【答案】(1)5(2)tan- = tan-【解析】(1)法一：根据两角和的正切函数的公式，化简得 22,在根据余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解;a 1 tan-=-法二：根据两角和的正切函数的公式，化简得 2 2 ,进而求解，得到答案;a ng = _ + 一法三：令 2勺 求得珀”日,3,利用三角函数的诱导公式和基本关系式，即可求解;sina。一(2)由三角函数的基本关系式，求得5,再由两角和的正弦、余弦函数的公式,求得+8乳口 +

28、B)的值，进而可求解产叫 ntan + - -tan-a .a n 成 12 4/41tan- = tan(- +1 =-22 4 4/ 产叫 n 21 + tan + -|tan(1)法一：,：，2ct 2a尸cossin1-tan 2a2a222 3-cosa = cos sir =-222a20tscos + sin 1 + tan -222a ntsni - 42 %a n tan- + tan-a1 + tan21 31-tan13 n24a1-tan2a 1 tan- = -,解得 2 2 ,后续过程同法2sin8cosg2tan8cosa = sin=sin20 = 25inBc

29、os9 =sin/ + cos、tan 匕 + 1sina = j'i-cos2a =-FT2 g(Q + 0)<。5v sinfa + B) = < sina130>。Jr12cosg + B) y l-sin (Ct + ?) = - .12 35 416-casp = cos(a + p-a) = cos (a + 3)cosa + sin(a + p)sina =x - + - x -= -13 5 13 565 点睛本题主要考查了三角恒等变换，及三角函数基本关系式和诱导公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式、基本关系式，以及两角和的正弦、余弦函数、

30、倍角公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题21.已知%'的夹角为日，且满足同，|E地=23,(I )求所有满足条件的 &所组成的集合人 ；(n)设函数 f(x)= j5sm2x-cos2x g(x) = sinx + cosx-sinx cosx 对于集合 A 中的任意一个工在集合*中总存在着一个工使得f成立，求实数a的取值范围【答案】(1)6- £6 <-62【解析】(1)由向量的数量积的公式，求得tanB ,进而根据题设条件，得到即可求解&所组成白集合A,得到答案；tanS >f(x) = 2sin| 2x一(2

31、)根据三角恒等变换的公式，化简12s(M=ri)+i2,利用二次函数的性质，即可求解【详解】(1)由题意，根据向量的数量积的运算,.邛-1-11 + ' a " b =可得忖卜向sin。=a b-tanfi = 2d3 , tanO .2 而J3 n n-4*0<46 tan9 J一s84 一* 0 < a , b W 6, tanO 得 "62A = W- £0 <-故所求集合 t 62(2)由题意，根据三角恒等变换的公式,f(x) - 3sin2x - cosJx = 2sin|2x - 得I &kn 5nS 2x & < 66 6 "£肉乳2.令刖X+8W = t, tE(L向,Fiiig(x) =- +1 + =- (t - l)2 + 1 %,2 - - £ g(x) < 1222N；/ %亚-3 1 a < -显由题意度%加小 w ，得之,2.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中 根据向量的数量积的运算公式、合理化简，以及利用三角函数的图