3.含参二次函数(10道)

1、含参二次函数类型一函数类型确定型1.已知抛物线y = 3ax2 + 2bx+c.若a = 3k, b=5k, c= k+1,试说明此类函数图象都具有的性质；1（2）若a=-5 c= 2+b,且抛物线在一2双W2区间上的最小值3是一3,求b的值；若a + b+c=1,是否存在实数x,使得相应的y值为1, 请说明理由.解：(1)a=3k, b= 5k, c=k+1,抛物线 y=3ax2+ 2bx+ c 可化为 y=9kx2+ 10kx+ k+ 12= (9x2+10x+1)k+ 1,.令 9x2+ 10x+ 1 = 0,1解得 x1 = - 1, x2= - 9,1图象必过点（一1, 1）,（9，

2、1）,10k5对称轴为直线x=5； 2X9k9小、1一1.a = , c = 2+b, 3抛物线 y= 3ax 21综上所述，b=3或 2；(3)存在.理由如下:. a+b+c=1, c1 = a b,+ 2bx+ c可化为 y= x2 + 2bx+ 2 + b,对称轴为直线x= 2b= b,当一b2 时，即 b 2,.x=2时，y取到最小值为3. 4 + 4b+2+b= 3,解得b= 5（不符合题意,舍去）,5当一b2,.x= 2日寸，y取到最小值为3.4 4b+2+b= 3,解得 b=3;当一2 b2时，即一2b0,. 0,必存在实数x,使得相应的y值为1.2.在平面直角坐标系中，一次函数

3、 y= kx+ b的图象与x轴、 y轴分别相交于A(3, 0)、B(0, 3)两点，二次函数y=x2 mx n 的图象经过点A.(1)求一次函数y=kx+ b的表达式；(2)若二次函数y= x2+mx+ n的图象顶点在直线AB上，求m, n 的值；设 m= 2,当一3W0时，求二次函数 y=x2+ mx+ n 的最小值；若当一3000时，二次函数y=x2+ mx+ n的最小值为一4, 求 m， n 的值解：(1)将点 A(3, 0), B(0, 3)代入 y=kx+ b得f-3k+ b= 0fk= 1,解得.lb= - 3I b= - 3 一次函数丫= kx+ b的表达式为y= x3;(2)二

4、次函数y = x4)，;顶点在直线AB上， 4n m m4r =万-3,又二次函数y=x2+ mx+ n的图象经过点A( 3, 0),- 9 3m+ n = 0,X =m_3组成方程组为42,9- 3m+ n = 0 m=4 m=6解得 或 ；ln = 3 ln = 9(3)当 m= 2 时，由(2)得 9 3m+n=0,解得n=15, + mx+ n的图象顶点坐标为(一，,4n m2 二次函数对称轴为直线x= 1,在一3WW0右侧, 当x=0时，y取得最小值是15.二次函数y=x2 + mx+ n的图象经过点A, 9 3m+ n = 0,二次函数y= x2+mx+ n的对称轴为直线x= m,

5、i）如解图,m4n m当对称轴3V 万0时，最小值为一4 一= 4,联立4n m244 J9 3m+ n= 0m= 2m= 10m解得 或（由3 20,. me 0,此种情况不成立；iii）当对称轴一手=0时，y = x2 + mx+ n当x= 0时，取得最小值为4,把(0, 4)代入 y= x2+ mx+ n 得 n= 4,5把 n= 4代入 93m+n = 0,得 m=3，m -.一万=0,/m= 0,此种情况不成立;iiii）当对称轴一，0 3 时，.一3WWQ.当乂= 3 时，y 取得最小值一4, ,当x= -3时，y=0,不成立.综上所述，m=2, n= 3.图图第2题解图3.在平面

6、直角坐标系中，二次函数yi=x2+2(k 2)x+ k24k + 5.(1)求证：该二次函数图象与坐标轴仅有一个交点；(2)若函数y2 = kx+3经过yi图象的顶点，求函数yi的表达式；当14W3时，二次函数的最小值是2,求k的值.(1)证明：b2 4ac=4(k 2)2-4(k2-4k+ 5)= 40,二次函数与坐标轴仅有一个交点；(2)解：. yi = (x+ k- 2)2+1, 函数 yi 的顶点坐标为(2k,1),代入函数 y2 = kx+ 3得(2 k)k+ 3=1,解得k= 1 + 5或k= 1-6，.y1 = x2 + 2(V3-1)x+ 5 26或 y1=x2-2(V3+ 1

7、)x + 5+ 2 3;b(3)解:当对称轴x= 2a=2kwi时,k1,当x=1时，yi取得最小值2,即 1+2(k 2)+k2 4k+5=2,解得 k= 0(舍去)或 k=2;当对称轴12k3时,1k1,当x=2 k时，最小值恒为1,无解；当对称轴x= 2kA3时，k0 时，求证：p2, q0, 一2ax 0，3a3 333/p= 2a =2-2a2;(a-3) 2la 40，22a + 6a 9 4a (a3).q=4a+4a=4a+10,且顶点B在第四象限；. c （3） .点C（工b +8）在抛物线上, a令 b + 8=0,得 b= 8,由(1)得 a+c= b, a + c= 8

8、,b 4acb2c把b（喔，4a卜c（a，b+8）两点代入直线解析式 得24acbbI 4a =2X(-2P +mcb+8= 2X+m aa = 4b = - 8(a兀, c=4m= 一 2舍去）,a+ c= 8f a = 2fI u o I b = - 8 解得 或lc=6 Im= - 6如解图所不，C在A的右侧, 当 XAI 时，4ac b26.在平面直角坐标系中，设二次函数 yi = ax2 + 2ax+3（a？ 0）若函数yi的图象经过点（一1, 4）,求函数yi的表达式;（2）若一次函数y2=bx+ a（b小师图象经过yi图象的顶点，探究实数a, b满足的关系式;已知点P（1, m）

9、和Q（xo, n）在函数yi的图象上，若mn,求xo的取值范围.解：（1）;二次函数yi = ax2 + 2ax+ 3的图象经过点（一1, 4）,. 4 = a 2a + 3,.a = - 1,.二函数yi的表达式为y1 = x2 2x+3;(2) - y1= ax + 2ax+ 3=a(x+1) +3a,yi图象的顶点坐标为（1, 3-a）.:一次函数y2 = bx+a（b? 0）图象经过yi图象的顶点, 3 a = - b+a,实数a、b满足的关系式为b = 2a-3;x=一;二次函数yi = ax2+ 2ax+ 3的图象的对称轴为直线 2ah=1, . .当 m=n 时，xo= 3.2a

10、当a0时,.mn,-3 X0 1;当a0, . .X0l.综上所述：-3x0 0)x。的取值范围为flx01(a1,那么：当x0, 二函数丫= (n+ 1)xm+ mx+ 1 n(m, n为实数)与x轴有交点；当 n=1, m#0 时，函数 y= (n+1)xm+mx+ 1n 是n 1一次函数，当y=0时，x=m-, 二函数y=(n+ 1)xm+ mx+ 1 n(m, n为实数)与x轴有交点；假命题，若它是一个二次函数，则 m= 2,函数 y= (n+1)x2 + 2x+1 n,. n1,.门+10,抛物线开口向上,b21 c对称轴：X=-2aT-27 =-nT70 对称轴在y轴左侧，当x0时

11、，y可能随x的增大而增大，也可能随x的增大而减小，故为假命题；它一定过点(1, 4)和(一1, 0),理由如下:当 x= 1 时，y=n + 1 + 2+ 1 n=4.当 x= 1 时，y= 0.它一定经过点（1, 4）和（一1, 0）.2.设函数 y=kx2 + （2k+ 1）x+1（k为实数）.写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并且在同一坐标系中，用描点法画出它们的图象；根据所画图象，猜想出：对任意实数k,函数的图象都具有的特征，并给予证明；（3）对于任意负实数k,当x0,抛物线y= kx2+ (2k+ 1)x+ 1与x轴有两个交点.综上所述，函数y = kx2+(2k+

12、1)x+1(k为实数)与x轴至少有一个交点；(3)k0,函数y = kx2 + (2k+ 1)x+1的图象在对称轴直线 x=-2k+ 12k的左侧时，y随x的增大而增大.2k+1根据题意，得m-2k,2k+11而当 k1，. mW 1.一 一 243.已知函数 y=kx2+(3k)x 4.(1)求证：无论k为何值，函数图象与x轴总有交点；(2)当 k#0时，A(n3, n 7)、B( n+1, n 7)是抛物线上的两个不同点.求抛物线的表达式；求n的值.(1)证明：当k= 0时，函数为一次函数，即 y= 4x-4,与x 3轴交于点（3, 0）;当 ”0时，函数为二次函数，424、2 =（3 3

13、k）2 4k 0,函数与x轴有一个或两个交点；综上可知，无论k为何值，函数图象与x轴总有交点；24（2）解：当 0时，函数y= kx2+（a3k）x4为二次函数,3 A（n3, n 7）、B（ n+1, n7）是抛物线上的两个不同点，n 3 n + 1 抛物线的对称轴为直线x=2= 1，3 3k- 2k = T，一 4解得k= 15，4 o 8抛物线的表达式为y= 15x +15x-4；4 28 一 . 3, n 7）是抛物线y=15x2 + 15x 4上的点，_ 4 ,- 8, ,n 7=15（n 3）2+岳（门一3）4,解得 ni = 4, n2 = 3.4.已知y关于x的函数y= (k

14、1)x2 2kx+k + 2的图象与x 轴有交点.求k的取值范围；(2)若xi, X2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k21)xi + 2kx?+ k+ 2=4乂遇2.求k的值；当kx+ 2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值.解：(1)当k= 1时，函数为一次函数y=-2x+3,其图象与x 轴有一个交点.当k?l时，函数为二次函数，其图象与 x轴有一个或两个交点，令 y=0 得(k1)x22kx+ k + 2=0.= (-2k)2-4(k- 1)(k + 2)芸0 解得 k 即 kW2且 k? 1.综上所述，k的取值范围是k 2.(2)xi*x2,由(1)知k2且k?函数图象与

15、x轴有两个交点,由题意得(k 1)xi+ (k+ 2)= 2kxi ，将代入(k 1 )x； + 2kx2 + k + 2 = 4xiX2 中得:2k(Xi + k) = 4xiX2.令(k1苣2kx+k+2 = 0,2kk+2则 Xi + X2=, XiX2= k- 1k- 12k2k k+2 k-1- k-1解得ki = - 1, k2= 2（不合题意，舍去）.所求k的值为一1;第4题解图=2.3.y的最大值为2,最小值为3.5.设函数yi = (xk)2+k和y2=(x+ k)2 k的图象相交于点 A,函数yi, y2的图象的顶点分别为B和C.(1)画出当k=0, 1时，函数yi, y2在直角坐标系中的图 象；(2)观察(1)中所画函数图象的顶点位置，发现它们均分布 在某个函数的图象上，请写出这个函数的解析式，并说明理 由；(3)设A(x, y),求证：x是与k无关的常数，并求y的最 小值.第5题图(1)解：画出图象如解图所示;第5题解图(2)解：当k=。时,函数yi = y2=x2的顶点为(0, 0), 当k= 1时，函数yi=(x1)2+1的顶点为(1, 1), 函数 y2 = (x+1)21 的顶点为(1, 1),它们的顶点都在直线y=x的图象上，因为它们的坐标均满足解析