6最值系列之费马点

1、最值系列之费马点皮耶 德费马，17世纪法国数学家，有 业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学.费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的费马小定理”、费马大定理”等.据说费马在提出 费马大定理”时，在笔记本上写道：我已经想到了一个绝妙的证明方法，但是这个地方不够写，我就不写了吧。看得出那个时候纸确实挺贵的，然后，直到1995年，才由英国数学家怀尔斯证明出，而距离费马逝世， 已经过去了 330年.果然，数学搞得好的都是装x的一把好手.言归正传，今天的问题不是费马提出来的，是他解决的，故而叫费马点.问题：在 那

2、BC内找一点 P,使得PA+PB + PC最小.【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等.阿哈哈 哈，此处一个也用不上！其实理论还是上面的理论，本题难点在于有3条线段，我们需要对这三条线段作一些位置上的变化，如果能变换成在一条直线上，问题就能解决了！算了算了，不墨迹了，直接报答案了：若点P满足/ PAB=Z BPC=/ CPA=120°,贝U PA+PB+PC值最小，P点称为该 三角形的费马点.接下来讨论3个问题：(1)如何作三角形的费马点？(2)为什么是这个点？(3)费马点怎么考？6一、

3、如何作费马点问题要从初一学到的全等说起：(1)如图，分别以 AABC中的AB、AC为边，作等边 那BD、等边9CE .(2)连接CD、BE,即有一组手拉手全等：AADCA ABE.(3)记CD、BE交点为P,点P即为费马点.(到这一步其实就可以了)(4)以BC为边作等边 ABCF,连接AF,必过点P,有/ PAB= / BPC= / CPA=120° .在图三的模型里有结论:有这两个结论便足以说明/(1) /BPD=60° (2)连接 AP, AP 平分/ DPE.PAB=/BPC=/CPA=120° .原来在 手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识!但是

4、在这里有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是ZBAC<120° ,若ZBAC >120s，这个图就不是这个图了，会长成这个样子：此时CD与BE交点P点还是我们的费马点吗？显然这时候就不是了，显然P点到A、B、C距离之和大于 A点到A、B、C距离之和.所以咧？是的，你想得没错, 此时三角形的费马点就是 A点！当然这种情况不会考的，就不多说了.二、为什么是这个点为什么P点满足/ PAB=/BPC = /CPA=120° , PA+PB+PC值就会最小呢？归根结底，还是要重组这里3条线段：PA、PB、PC的位置，而重组的方法是构造旋转!在上图3中

5、，如下有 那DCABE,可得：CD = BE.类似的手拉手，在图4中有3组，可得：AF=BE=CD .巧的嘲，它们任的长度居然一样长！更巧的是，其长度便是我们要求的 PA+PB+PC的最小值，这一点是可以猜想得到的， 毕竟最小值这个结果， 应该也是个特别的值！ 接下来才是真正的证明：考虑到/ APB=120°,APE=60° ,则可以AP为边，在PE边取点Q使得PQ=AP,则4APQ 是等边三角形. AAPQ、9CE均为等边三角形，且共顶点 A,故那PCAQE, PC=QE. 以上两步分另I转化 PA=PQ, PC=QE,故 PA+PB+PC=PB+PQ+QE=BE.E没有

6、对比就没有差别，我们换个P点位置，如下右图，同样可以构造等边AAPQ,同样有 AAPCA AQE,转化 PA= PQ, PC=QE,A显然，PA+PB+PC=PB+PQ+QE>BE.还剩下第3个问题！如果说费马点以前还算是课外的 拓展内容，那现在，已经有人把它搬上了中考舞台！三、费马点怎么考？直接考，要不然还能怎么考？看看今年2019武汉中考填空最后一题：问题背景：如图1,将 ABC绕点A逆时针旋转60°得到 ADE , DE与BC交于点P,可 推出结论：PA+PC=PE.问题解决：如图 2,在 MNG中，MN=6, / M=75° , MG=4&,点O是 M

7、NG内一点，则点。到 MNG三个顶点的距离和的最小值是 【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造 60。的旋转，当然如果已经了解了费马点问题，直接来解决就好了！如图，以MG为边作等边 MGH ,连接NH,则NH的值即为所求的点 。到 MNG三个顶 点的距离和的最小值.（此处不再证明）过点H作HQ，NM交NM延长线于Q点，根据/ NMG=75° , / GMH=60° ,可得/ HMQ=45. MHQ是等腰直角三角形， .MQ = HQ=4,NH = JnQ2 +HQ2 =500+16 =2痴.【练习】如图，在4 的最小值.【分析】如图，以 的最小值.至于点MGQ 八 4 .4ABC 中，/ ACB=90° , AB=AC=1,P是 ABC 内一点，求 PA+PB+PCAD为边构造等边 ACD ,连接BD , P的位置？这不重要！AC如何求BD ?考虑到 ABC和 ACD都是特殊的三角形， 过点D作DH，BA交BA 的延长线于H点，根据勾股定理，BD2 =BH 2+DH 2即可得出结果.【练习】如图，已知矩形 ABCD, AB=4, BC=6,点M为矩形内一点，点 E为BC边上任意 一点，贝U MA+MD+ME的最小值为 .【分析】依然构造