2019北京各区一模数学理试题分类解析-圆锥曲线

1、2019北京各区一模数学理试题分类解析-圆锥曲线查找不足！重在审题，多思考，多理解!注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验,102018年海淀一模理 10过双曲线v2x2的右焦点，且平行于经过【一】三象限=116的渐近线的直线方程是答案：4x- 3y- 20 = 0 °7、2018年门头沟一模理 7点p在抛物线、,2上，那么点p到直线y = 4xI / O H的距离和到直线Id的距离之和的最小值为C11 ： 4x -3y 6=0i2.x-1A. 37B. 11C.2D. 31613、2018年东城一模理何抛物线,川的准线方程为；此抛物线的焦点是f过F和点M (11)，且与准

2、线相切的圆共有个、答案： 1 ； 2。x = 49、2018年丰台一模理9双曲线的中心在原点， 焦点在x轴上，一条渐近线方程为那么该双曲线的离心率是 答案：5 .4的两个焦点为RR P13、2018年密云一模理13假设双曲线 x22%=1(a 0,b 0)双曲线上一点，且pF1 =3pF2,那么该双曲线离心率的取值范围是答案：1<eW2.9.2018年朝阳一模理 9双曲线的方程为2,那么此双曲线的离心率为，其焦x 2- -y 二13点到渐近线的距离为.答案：2、3. 1 ,13.2018年东城11校联考理13双曲线的中心在原点，焦点在 x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为a，且7T江，那

3、么双曲线的离心率的取值范围是 .一 < « < 一43答案：(显z °19.2018年海淀一模理19在平面直角坐标系 xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为匚/ d ，P为椭圆G的上顶点，且 “匚八 /二* I求椭圆G的标准方程；F1(1,0)PF1O =45n直线l : vkc + m与椭圆G交于A，B两点，直线l ： v-k< + m 1mom i y kx 1l2 y kxm与椭圆g交于C，D两点，且| AB |=| CD如下图.i证明：m + m = 0 ；五求 四边形abcd的面积s的最大值.解：I设椭圆G的标准方程为x22与=1(a b 0

4、) a b因为 E(1,0)，/PF1O=45”所以b= c= 1.所以椭圆G的标准方程为所以 a2 = b2 + c2 = 2.2x 2.y =1n设，A(xi, y1)2B(x2,y2)' C(x3,y3) ' D(m, Qi证明：由1r l + 消去v得:y = kx mi,y2x . 2.十y =1.12一 22一 2(1 2k )x 4km1x 2ml刃B 么 A22 , . . c ,:=8(2k -m11) 0'4kmX x2 二一2121 2k2xx2 -2m2 -221 2k所以 | AB|= (x -x2)2 (y1 -y2)2=1 k2 (x1 x

5、2)2 -4x1x25(”42m12 -21 2k2= 2,2,1 k212k2 m2 1.1 2k2同理|CD|二22,，1 k221 2k2因为| AB|=|CD |,所以2 2,1k2. 2k2 -m2 11 2k21 2k2因为mi 二 m2'所以m1 m2 = 0 .ii解:由题意得四边形abcd是平行四边形,设两平行线AB cd间的距离为那么mi - m21+ k2因为mim2 =0，所以2ml1+ k2所以S=|AB| d =2.2 .1k2, 2k2 - m2 11 2k2=42(2k2 -m2 1)中21 2k22k2"2 2ml1k2-m2 1甲221 2

6、k2= 2,2(2k2 1)m2 - m4(1 2k2)2Mad2 ；2”所以当2k2 +1 =2m2时，四边形ABCD的面积S取得最大值为2J2.19.2018年西城一模理19椭圆C . /、,2的离心率为兀，定点C ： x y、一 5 =1 (a b 0)a b3M (2, 0)，椭圆短轴的端点是B1，B2'且MB1 -L MB2.I求椭圆C的方程;n设过点 m且斜率不为O的直线交椭圆 c于a , b两点.试问x轴上是否存在定点p ,使pm平分/apb ?假设存在，求出点 p的坐标；假设不存在，说明理由解：I由二 5二e92.22 a - b二 2a二1b依题意p是等腰直角三角形，

7、从而 b _ 2 ,故a _ 3.IVIB1 B2a - o所以椭圆C的方程是 22Cx y=194n设，直线ab的方程为 ,9.A(xi,yi) B(x2,y2)ABx = my 2将直线AB的方程与椭圆C的方程联立,消去 x得(4m2 +9)y2 +16my 20 = 0，所以-16m，y1 y2 = 4m 9-20y1y2 = 4m 9假设PF平分/APB ,那么直线pa , pb的倾斜角互补, 所以 kpA kpB =0.设p（a,0），那么有y1y2=0将+0代入上式,x1 ; my1 2，x2 = my2 2，整理得o/o 、/2my1y2 (2 -a)(y y?) 二 0(myi

8、 2 -a)(my2 2 -a).2my1y2 (2 -a)(y1 y2)=0将y1y2 =-16m '24m 99n 代入上式,204m 9整理得（-2a 9） m =0，由于上式对任意实数m都成立，所以9 .a 二一2综上，存在定点9%，o)，使PM平分/APB.19、2018年东城一模理19椭圆22土a2b2的左、右顶点分别为 , ,=1 a b o1 A2B为短轴的端点，ABA的面积为A1 BA22J3,离心率是1、I求椭圆C的方程；n假2设点P是椭圆C上异于 , 的任意一点，直线, D与直线丫_4分别交于M , NA| A2A| PP x 两点，证明：以 MN为直径的圆与直线

9、 Q匚相切于点匚(匚为椭圆C的右焦点)、PF 2F2 F2修解：I由 广ab =23,c 1解得 a=2, b = 故所求椭圆方程为2x42=13证明：n由I知 A ,A设椭圆右焦点匚A|2,UA2 2,UF2 l，U及 P(x0,yo X% * ±2 )'那八 3x2 +4y2= 12、于是直线八口方程为，AiPyny =0 x 2xo 2令x = 4，得yM6yo， xo 2所以M(4, 6yo )，同理N(4, 2y0)、xo 2Xo 2所以 F2M =(3, 6yo 广 xo 2F2N =( 3, 2yo ).Xo - 2所以 F2M F2N = ( 3, 6yo )

10、 ( 3, 2y° )6y°92y0 人Xo 2xo - 2xo2xo - 212y23 12-3x=9 =9 - xo -4xo -4二99 x： -42Xo -4=9 -9 =0所以 点 在以MN为直径的圆上、F 2M F?NF 2设MN的中点为E，那么E(4, 4y0(x0 -1)、 Xo2 -4乂 FzE=(3, 4y0(x01)> F2P =(x01,y0), x2 4 x0- 4所以-、2F2E F2P =(3, 4y0(x0 -1) )/ c /4y2 x0-12A-x0 - 1,y0 =3x0-12 -x0 -4x0 4=3 x0 -112 3x0)i

11、. x0 -1x2 -4=3 x0 -1 -3 x0 -1 =0所以f2e _ f2p因为匚匚是以MN为直径的圆的半径，E为圆心，匚匚I匚口，2匚2匚 _ F2P故以MN为直径的圆与直线 PF相切于右焦点、19.2018年丰台一模理19椭圆C: 22的离心率为 伤，且经过点与 4=1(a b 0)a2 b22M (-2,0) '1求椭圆C的标准方程；n设直线i：, 与椭圆C相交于八/、y=kx mA(x1,y1)B(x2, y2)两点，连接 MA MB并延长交直线x=4于P, Q两点，设Vp, yQ分别为点P, Q的纵坐标，且. 求证：直线i过定点、11111十=+yy2 ypy解：I

12、依题意a = 2，c 拒，所以C = J2、2分a 一 2因为。2 _u2，所以h -"3分a = b c b = 2椭圆方程为-Lx2 2y2 = 4y = kx m消 y得“J 22A>n、6分(2k1)x 4kmx 2m -4=00因为四刀 A(x1,y) B(x2, y2)所以4km ,2m2 一4、7 分2k2 1="=2k2 1设直线MA,那么六(x 2) yP6yix12yQ =x2 2因为+=y1y2yp1，+y所以cc-,即66x1 2 x2 2.=-J - -26y1 6y26y16y2-4 x2 -46y16 y2、10分=0所以(Xi -4)y

13、2 d -4)v = 0'3所以所以"8m=05mk、2k2 113分那么y _ kx _ k 5故l过点(10)、14分19.2018年朝阳一模理19椭圆 22的两个焦点分别为x yC :2 =1(a b 0)a bFi(-行,0)'F (J20).点M (1 0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直. I求椭圆C的方程；n点n的坐标为(3 2)，点P的坐标为(m n)(m 03).过点M任作直线l与椭圆B两点，设直线an，NP，BN的斜率分别为k1, k2, k3 假a殳k1 + k3 = 2k2 '试求m，n满足的关系式.解：i依题意,c = &,

14、 b =1,(x1 -4)(kx2 m) (x2 -4)(kx1 m) = 0 '2kxix2 m(x1 x2) 4k(x1 x2) 8m = 0 '22m -4 4km4km2k 2 m( 2) -4k(2) -8m 02k2 1 2k2 1 2k2 1=3故椭圆C的方程为,6 .1广，n当直线i的斜率不存在时，由. 解得X =i,不妨设A(i,-B(1,-因为2 一/2十而，又ki+k3 = 2k2,所以ki k3 二-二 222所以m,n的关系式为n2m -3.即mi0.7分当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y =k(x_1).将 y =k(X-1)代入 X22整理化

15、简得，(3k2+i)X2-6k2X+3k2-3 = 0y =i3设/，那么A(xi,yi)B(x2,y2)Xi X2 ;6k22XiX2 =23k i 3k i3k2-39 分又乂 yi=k(Xii)' y2=k(X2i).所以kik32-yi 2-y2 (2-yi)(3-X2) (2-丫2)(3-4) i =3 - Xi3 - X2(3 - x1 )(3 一 X2 )2-k(Xi -i)(3-X2) 2-k(X2-i)(3-Xi)x1x2 -3( Xi X2) 92kxix2 -(4k 迎但 x2) 6k i2xix2 -3(xi x2) 93k2 -36k22k 2- -(4k 2

16、)2 6k i23k2 i '/ 3k2 i3k2-3 3 _6kL 923293k2 i 3k2 i_ 22(i2k6)12k2 6i2分 =2.所以2k2 =2,所以k2n -2，所'm,n的关系式为m ni = 0.二二im - 313分综上所述，m n的关系式为m _n _i _ 0. , i4分19.2018年东城11校联考理19顶点在坐标原点，焦点在 x轴正半轴的抛物线上有一点【，A点到抛物线焦点的距离为1.1求该抛物线的方程；2设/ 、为A(1, m) AM(xo, yo)抛物线上的一个定点，过 M作抛物线的两条互相垂直的弦MP , MQ ,求证：pQ恒过定点/、

17、.3直线vc与抛物线交于E, F两点，在抛物线上是否存在点(xo 2, yo)x my 1 = 0E FN ,使得 nef为以EF为斜边的直角三角形.解：1由题意可设抛物线的方程为2 。，那么由抛物线的定义可得，即y =2px£ . 1 =122所以抛物线的方程为2y = 2x2由题意知直线 pQ与x轴不平行，设pQ所在直线方程为x = my+ n,代入尸=2X中得2y -2my -2n =0.所以y1 +丫2 =2m , y1y = -2n,其中y1，y2分别是P,Q的纵坐标因为MP _LMQ ，所以kMP kMQ - -1.y -y。y2 - y。= 1(y1 y0)(y2 y&

18、#176;) = -4.Xi - x。x2 - x。2% y2 (w y?)% y() 4 = 0,(2n)+2my。+2x。+4 =。，BP n = my0 +x0 + 2.所以直线PQ的方程为x 二 my my。 x。2,即 x=m(y+y。)+x0+2,它一定过定点(x。+ 2,-y。). 9分3假设N xo,y。)为满足条件的点，则由(2)知，点(Xo+2,-%)在直线x + my+1 =0上，2 2的解，消去x得所以x。+2my。+1 =。，(x。，y。)是方程组«yX，20 +公八 八，2 ”x-my 3 =。 y -2my 6 = 0,= 4m -24所以存在点N满足条

19、件14分a > b > 0右顶点与右焦点的距离为19.2018年石景山一模理 19椭圆 22勺4=12. 2a bj3_1,短轴长为2点.I求椭圆的方程；n过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，假设三角形 0AB的面积为3j2,求直线AB的方程、解：I由题意,a c = 3 一1 1b = 22,22a =b c解得a=c=1=2分即：椭圆方程为y2x+匚1.-3分 2n当直线ab与x轴垂直时，AB4，一3此时q _®不符合题意故舍掉；-4分S.AOB 二-3当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为:代入消去y得：(2+3k2)x2设 A(x1,y) B(x2,

20、y2) 那么226k x (3k -6)=0.y = k(x 1)，6分-6k2 ' -7 分Xi x2 = 22 3k23k2 -6x1x2所以AB =4、.3(k21).-9一 2 3k2分22 3k原点到直线的AB距离d =1k2所以三角形的面积S二-AB d =一 ,2 1 kk4、3(k2 1).222 3k2由 位打-12分S 二一一k2 =2= k - 24所以直线 Iab： J2x_y + J2 = 0 或 lAB:J2x + y+J2 = 0.T3 分19.2018年房山一模19椭圆g的中心在坐标原点，焦点在x轴上，一个顶点为 A（0 _1），I求椭圆G的方程；II设

21、直线AM解：IAN时，求m的取值范围、依题意可设椭圆方程为2xa2y =1,那么离心率为2，而b2 =1,解得a2 =3,a2 一3故所求椭圆的方程为2=1II设、山 、，P为弦MN勺中点,P (Xp, yp 卜 M ( Xm , yM b N ( Xn , yNi )由 y =kx +m 将(3k2 +1)x2 +6mkx +3(m2 -1) = 0 ,L3y2 =1:直线与椭圆相交,222m 2 x Qlx 2 +d ) 7 分6 6 6mk -4 3k 1 3 m -10= m : 3k 1xmxnxP Z23mk，从而m2y p - kxP + m = 2,3k 13k 11当k &#

22、165;0时f*e2+d(m 0不满足题目条件)yP 1 m 3k 1 m 一0- kAP =二xP3mk,那么AM = AN ，二 AP_L MNm+3k2 +1 即 2m = 3k2 +1，=3mk k把代入得m2 <2m,解得0cm <2,10分由得2 2m-1，解得 1、故1k = 0 mm ： 232211分2当k=0时直线y = m是平行于x轴的一条直线,y = kx + m与椭圆相交于不同的两点 M N、当2-1 ： m ： 113分综上，求得m的取值范围是1广m2、14分III 419、2018年密云一模理19如下图，椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上,长白3 3倍且

23、经过点 M3, 1.平行于OM勺直线l在y轴上的截距为 m(m0),B两不同点.I求椭圆的方程；II求m的取值范围；III求证：直线 始终围成一个等腰三角形.长轴长是短轴且交椭圆于A,MA MBW x 轴解：I设椭圆的方程为2x-2a2(a>b>0)£=1b2由题可得(a=3b/91/1 += 1a b22.a2 =18,b2 =2所求椭圆的方程为22.4分上匕=1182联立II，直线i / OM1.在y轴上的截距为 m,，直线l方程为：y= 1 x+m.22x y+ = 1, 182y = 1 x m/3消 y 化简得 2x2 +6mx + 9m2 18 = 0直线l交

24、椭圆于A, B两点,2_2_，二(6m) -4 2 (9m -18) 0解得-2<m<2又因为m50.m的取值范围为-2<m<2且 m 0.8分III设直线MA MB的斜率分别为.,那么问题只需证明,八. k1, K2K1 K2 = 0设 A/、，B/、y2 -1(xd (x2,y2)那么k1由2x1 x2 - -3m, x1 x29m* 2 -18(xi -3)(x2 -3)19、2018年门头沟一模理 19椭圆 22上La2 b2经过点A(2 1)，离心率为 J2，= 1(a b 0) i ,-过点B(30)的直线l与椭圆交于不同的两点M z、 I求椭圆的方程；1求*“息M，NBM * BN的取值范围、解