(整理)向量知识框架

1、向量gMfe 模块框架向不及与向量相矢的雇率概念H向ja的概念与线性运算上向盘的加:诫法向疑强柒运弹及:其几何意义平面向WF本定理平面向量的应用向行综合，三角函数粽分 平面向量在平面几何 平出用1量的实际应用。解析儿何综合在代,数中的庖用gim 高考要求向量要求层 次重难点平向向量的相关概念B理解平面向量的概念， 理解两个向量相 等的含义.理解向量的几何表示.向量加法与减法C 掌握向量加法、减法的运算，并理解 其几何意义.掌握向量数乘的运算及其几何意义， 理解两个向量共线的含.了解向量线性运算的性质及其几何意 义.向量的数乘C两个向量共线B平向向量的基本定理A了解平面向量的基本定理及其意义.

2、掌握平向向量的正交分解及其坐标表示.会用坐标表示平向向量的加法、减法与数乘运算. 理解用坐标表示的平面向量共线的条 件.平向向量的正父分解及 其坐标表小B理解平面向量数量积的含义及其物理 意义.了解平面向量的数量积与向量投影的 关系. 掌握数量积的坐标表达式，会进行平 面向量数量积的运算.能运用数量积表示两个向量的夹角， 会用数量积判断两个平面向量的垂直关 系.用坐标表小平向向里的 加法、减法与数乘运算C用坐标表小的平向向里 共线的条件C数量积Cr数里积的坐标表小C会用向量方法解决某些简单的平面几 何问题.会用向量方法解决简单的力学问题与 其他一些实际问题.用数量积表示两个向量 的夹角B用数量

3、积判断两个平面 向量的垂直关系C用向量方法解决简单的 问题B目皿 知识内容 向量的概念：在高中阶段，我们把具有大小和方向的量称为向量.有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点.例如，力就是既有大小和方向，又有作 用点的向量.有些量只有大小和方向，而无特定的位置.例如，位移、速度等，通常把后一类向量叫做自由向量.高中阶段学习的主要是自由向量，以后我们说到向量，如无特别说明,指的都是自由向量. 是可以任意平行移动的.向量不同于数量，数量之间可以进行各种代数运算，可以比较大小，两个向量不能比较大小.向量的表示：几何表示法：用有向线段表示向量， 有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度.

4、 字母表示法：AB ,注意起点在前，相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量. 可根据右图的正六边形，或根据下题平行四边形讲解相等向量.已知E、F、G、H分别是平行四边形 ABCD边AB、DC、BC、AD的中点，O为对角线AC与BD的交点，分别写图中与 DF , BH , NO相等的向量.解:DF =FC =GO =OH =AE =EB+ +t IBH =HC =AG =GD(4)向量共线或平行：通过有向线段 AB的直线，叫做向量AB的基线.如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行.向量a平行于向量b ,记作a / b .说明：共线向量的方向相同或相反，注意：这里说向

5、量平行，包含向量基线重合的情形， 与两条直线平行的概念有点不同.事实上，在高等数学中，重合直线是平行直线的特殊情形. 零向量：长度等于零的向量，叫做零向量.记作:0.零向量的方向不确定，零向量与任意向量 平行.(6)用向量表示点的位置：任给一定点O和向量a ,过点O作有向线段OA；：,则点a相对于点O位置被向量a所唯一确定，这时向量 OA又常叫做点A相对于点O的位置向量.AB AC =3.1 .向量的加法:C向量加法%F形法则：T彳 T .已知向量a,b,在平面上任取一点a,作tBj，bc=b ,再作向量AC ,则向量AC444 44 44叫做a和b的和(或和向量)，记作a+b,即a+b=AB

6、+BC=AC . 向量求和的平行四边形法则：* 已雪个不共线的向量 a,之，作品=a, 7D=b，则A, 匕 D三点不共线， 以NB ,品为邻边作平行四边形 ABCD ,则对角线上的向量 AC = a +b ,这个法 则叫做向量求和的平行四边形法则.向量的运算性质：，.向量加法的交换律：a b =b a向量加法的结合律：(a b) c = a (b c)关于 0 ： a +0 =0+a =a向量求和的多边形法则：已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第 n个向 量的终点为终点的向量叫做这 n个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.2 .向量的减法:d相反向

7、量：与向量a方向相反且等长的向量叫做 a的相反向量，记作 -a.零向量的相反向量仍是零向量.差向量定义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点%量.一推论：一个向量BA等于它的终点相对于点 O的位置向量OA减去它的始点相对于点:O的位置向量OB ,或简记“终点向量减始点向量”.一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量3 .数乘向量：定义：实数九和向量a的乘积是一个向量，记作高，且焉的长,之=r 判断正误：已知 A, Nwr .4 444444 Ma+b） =Aa+7年；（，）（九 十N）a =a+Na ;（，）_ ,4/、/ W ,

8、4/、 MNa）=（*）a；（，） Ka + Nb =（九+ N）（a+b） . （x）4.向量共线的条件平行向量基本定理：如果 a =j,则3 / b ;反之，如果a / b ,且b#0 ,则一定存 在唯一的一个实数九，使a=4.单位向量：给定一个非零向量a,与a同方向且长度等于i的向量，叫做向f 2的单 位向量.如果a的单位向量记作不，由数乘向量的定义可知ajas或”=1.1.平面向量基本定理：如果:和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ,存在q & t唯一的一对实数 a1, a2,使 a = a1e1 +a2e2 .基底：我们把不共线向量el , e2叫做表示这一

9、平面内所有向量的一组基底，记作:,e2. a?+a2?叫做向量a关于基底?,1的分解式.说明： 一定理中ei, e2是两个不共线向量；a是平面内的任一向量，且实数对a1, a2是惟一的;平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底. 平面向量基本定理的证明：在平面内任取一点 O ,作OE1 =e1 , OE2 =e2 由于el与e不平行，可以进行如下作图：过点A作OE2的平行（或重合）直线，交直线 过点A作OEi的平行（或重合）直线，交直线 于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数H IT分别有 OM =a1e , ON =a2e2 ,4 T TTy 使 OA = xe + ye ,则如果*一

10、2与丫-22中有所以 a =OA =OM ON =ae azQ证明表示的唯一性：如果存在另对实数x+ a2e2= xe+ ye.H T 彳 T -即(x-ajei +(y-a2)e2 =0 ,由于 e 与 e2不平行,个不等于0,不妨设y -a2 00 ,则金ei , y2由平行向量基本定理，得 ei与e2平行，这与假设矛盾，因此 xq =0 , 丫一比=0, 即 x =a1 , y =a2.证明A, B, P三点共线或点在线上的方法：已知A、B是直线l上的任鹤点，O是l外一点，驾线l上任意一点P , 存在实数t,使oP关于基底oa,ob的分解式为 T TOP =（1 t）OA +tOB ，并

11、且满足式的点P 一定在l上.证明：设点P在直线l上，则由平行向量定理知，存在实数t ,使 AP 亍tAB =t(OB -OA),OP =Oa Ap =Oa tOB _tOA =(i _t)OA tOB设点p满足等式 Op =(1 _t)QA+tOB ,贝u AP= tAB，即P在 l上.其中式可称为直线l的向量参数方程式，当t 时,2点M是AB的中点，则OM =q(OA+OB),这是向量TB的中点的向量表达OAB中，若M为边AB中点,1 一 则有 OM =a（OA+OB）存在.2.向量的正交分解与向量的直角坐标运算： 向量的直角坐标：如果基底的两个基向量 底.在正交基底下分解向量，叫做正交分解

12、.向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点 定.设点A的坐标为(x,y),由平面向量基本定理，有 的坐标(x, y),e , e2互相垂直，则称这个基底为正交基A的位置被点 A的位置向量 OA所唯一确OA = x： +y =(x, y),即点A的位置向量OA式.可推广到也就是点A的坐标；反之，点 A的坐标也是点 A相对于坐标原点的位置向量 OA的坐 标.教师备案,教师备案 在直角坐标系xOy内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量 el时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底这个基底也叫做直角坐标系xOy的基底.对于平面内的一个向量只有一对实数 ai , a2,使得a =a1e1 +a2e2a

13、 ,由平面向量基本定理可知，有且这样，平面内的任一向量 a都可由d ,a2唯一确定，我们把有序数对(a1,a2)叫做向量a的坐标，记作a=(ai,a2).其 中a1叫做a在x轴上的坐标，a2叫做a在y轴上的坐标，式叫做向量的坐标 表本.向量的直角坐标运算:设 a =(& , a?) , b =(bi, d),则小 O.，、公，、，、 a +b =(a +bi, a? +b?)； a b =(a bi , a2 d); 儿a =?.,a?) =(?.a ,九a?)说明：两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差； 数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积. T T T教师备案若 A(

14、xi,yi), B(X2,y2),则向量 AB =OBOA =(x2-为。？yj ；一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标.3 .用平面向量坐标表示向量共线条件：4 4一设a=0,a2), b=(,b?),则aib2a2bi =0就是两个向量平行的条件.若向量b不平行于坐标轴，即 匕*0, b2=0,则两个向量平行的条件是，相应坐标成比 例. 根据力与功的计算，引入向量的数量积运算.一个力F作用于一个物体，使该物体位移 s,由于图示的力 F的方向与位移方 向有一个夹角0 ,真正使物体前进的力是F在物体唯一方向上的分力，这个分力与物体位移距离的乘积才是力F做的功.即力F使物体惟一 s所

15、做的功W可以用W = s F cos 1计算.i.向量数量积的物理背景与定义两个向量的夹角：已知两个非零向量a , b,作OAJ, OB=b，则ZACB称作向量a和向量b的夹角，记作,I -并规定0w n ,在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有 .当a,b=一时，我们说向重a和向重b互相垂直，记作 alb.2向量物数量个.(内积)定义 .4 4,a b；cos叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a b ,即 a b i a (bo s a b 可通过下*,讲解意量的数量,曰概念及应用.已知 a； =5, E=6, a, b =i35。求 a b,已知 a b = -9 ,国 |b

16、； =i8 ,求 .4 4 Hi44 4. 4 4解：a b=|a|bcosa, b =5X6Xcosi35 s = -i5V2 , a b = -i5/2 a b |a|bcos , cos = 一；，日二 i20口 若两个向量是首尾相接，需要注意向量所成的角：求 ab+b c+ca.如图，a与b、b与c、a与c夹角为120,g9 -4444，原式 二|a| |b| cos120 |b| |c| cos120 |a| |c| cos1201二2M2 M5 |x3 =-6 .向量内积的性质.，e是单位向量，贝u a e=e ,aacos；a b =0 ,且 a b =0= a b ;aa2，即

17、a =I a a 4 a，bS 7a a ; cos a, b a 4-; a b alb1 可通过以下判断题，检验学生关于向量垂直条件的掌握情况_ T T2 T c对任意向量a,有a Z|2.(，)若a#0,田可任一非零量，若二 0 , a b =0, 则 b = 0 ; (x) 若ab=0,则a,b至少有一个为零向量；(X)若a b =a c,则b =c当且仅当1盛时成立；(x)I IW b ,有 a b#0; (x)2.向量数量积的运算律交换律：a b =b a ;分配律:(a b)c = a c b cMa b)=(Za)，b = a，(Kb).4 4 4 根据向量数量积的性质及运算律

18、，可得到以下公式：4 2.424 4 I It 2 完全平方公式：(a+b)2=|a +2ab,b；、444442 2 平方差公式：(a +b)(a -b) - a b13.向量数量积的坐标运算与度量公式向量内积的坐标运算：建立正交基：口小，已知：=(&,%) , b=(b1, b2),I 4a b = a1n a2b2一一44 用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：a J_ bu a1n +a2b2 =0向量的长度、距离和夹角公式已知a= , %),则a =JaF22 ,即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平 方根.如果 A(x , y), B(x2, y2),则 AB =1国一为了 +(y2 yf .两个向量夹角余弦的坐标表达式：cosa br-* aQ呼. a2 a22；b；