等比数列前n项和高考解答题试题精选

1、等比数列前n项和高考解答题试题精选一.解答题(共30小题)1. (201774匕京)已知等差数列an和等比数列bn满足ai=bi=1, a2+a4=10, b2b4=a5.(I )求2的通项公式；(H )求和：bl+b3+b5+, +b2n 1 .2. (2017渐课标I )记Sn为等比数列an的前n项和.已知&=2, 9=-6.(1)求an的通项公式；(2)求与，并判断Sn+1, Sn, 3+2是否成等差数列.3. (2017渐课标出)设数列an满足 a+3a2+ + (2n- 1) an=2n.(1)求an的通项公式；(2)求数列 % 的前n项和.4. (2017?山东)已知an是

2、各项均为正数的等比数列，且 a1+a2=6, a1a2=a3.(1)求数列an通项公式;(2) bn为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn,已知 S2n+1=bnbn+1,的前n项和Tn.5. (2017渐课标II)已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn, ai=1, bi=1, a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求bn的通项公式；(2)若 T3=21,求及.6. (2017以津)已知an为等差数列，前n项和为Sn (nCN+), bn是首项为2的等比数歹1, 且公比大于 0, b2+b3=12, b3=a4 - 2a1, Sn=11b4.(I )求an和bn的通

3、项公式；(n )求数列J a2nb2n-1的前 n 项和(n C N+).7. (2017以津)已知an为等差数列，前n项和为S (nN*), bn是首项为2的等比数歹1, 且公比大于 0, b2+b3=12, b3=a4 - 2a1, Sn=11b4.(I )求an和bn的通项公式；(n )求数歹U a2nbn的前n项和(nC N*).8. (2016渐课标 H )等差数列an中，a3+a4=4, a5+a7=6.(I )求an的通项公式；(n )设加=2m，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=0,2.6=2.9. (2016?山东)已知数列an的前n项和&

4、;=3n2+8n, bn是等差数列，且an=bn+bn+i.(I )求数列bn的通项公式；(日 +) /1(H ) 令Cn= -,求数歹U Cn的前n项和 Tn.10. (2016?新课标n ) Sn为等差数列an的前n项和，且ai=1, $=28,记bn= lgan,其中x 表示不超过x的最大整数，如0.9 =0, lg99 =1.(I )求 b1, bn, b101；(II )求数列bn的前1000项和.11. (2016?新课标I )已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足b1=1,b2=，anbn+1+bn+1=nbn.(I )求an的通项公式；(n )求bn的前n项和.12. (2

5、016前江)设数歹U an的前 n 项和为 Sn,已知 S2=4, an+1=2$+1, nCN*.(I )求通项公式an；(n )求数列| an- n- 2|的前n项和.13. (2016?新课标出)已知数列an的前n项和&=1+入应，其中 后0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5啜，求人14. (2016?新课标出)已知各项都为正数的数列an满足a二1, an2- (2+1-1)2an+1=0.(1)求 a2, a3；(2)求an的通项公式.15. (2016?北京)已知an是等差数列，bn是等比数列,且b2=3, b3=9, a尸b, a4=b4.(1)求an

6、的通项公式；(2)设Cn=an+bn,求数歹1Cn的前n项和.16. (2016?天津)已知an是等比数列，前n项和为Sn (nC N*),2a3S6=63.(1)求an的通项公式；(2)若对任意的n C N*, bn是log2an和log2an+i的等差中项，求数列 (T) nb工的前2n项和. II17. (2015?四川)设数列an (n=1, 2, 3)的前 n 项和 Sn,满足 Sn=2an-ai,且 ai, a2+1, a3 成等差数列.(I )求数列an的通项公式；(n )设数列山的前n项和为Tn,求Tn .18. (2015?山东)设数歹an的前n项和为Sn,已知2Sn=3n+

7、3.(I )求an的通项公式；(H )若数列bn,满足anbn=log3an,求bn的前n项和Tn .19. (2015?湖北)设等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,等比数列bn的公比为q,已知 b1=a1, b2=2, q=d, So=100.(1)求数列an, bn的通项公式(2)当d>1时，记Cn=,求数列cn的前n项和Tn.20. (2015?安徽)已知数列an是递增的等比数列，且ai+a4=9, a2a3=8.(1)求数列an的通项公式；(2)设&为数列an的前n项和，bn二己血，求数列bn的前n项和Tn. snsm-i21. (2015?新课标I ) Sn为数列a

8、n的前n项和，己知an>0, an2+2an=4$+3 求an的通项公式：(H )设bn= ,求数列bn的前n项和.22. (2015加江)已知数列an和bn满足 a=2, b1=1, an+1=2an(n N*), dgb23b3+bn=bn+1 23 n-1 (nC N*) (I )求 an 与 bn；(n )记数列anbn的前n项和为Tn,求Tn.23. (2015?山东)已知数列an是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为2nfl '(1)求数列an的通项公式；(2)设bn= (an+1) ?2 > 求数列bn的前n项和Tn.24. (2015?天津)已知数歹！J

9、an满足 an+2=qan (q 为实数，且 q*1), nC N*, ai=1, 82=2,且 a2+a3, a3+a4, a4+a5成等差数列(1)求q的值和an的通项公式；(2)设bn=l41a2n , nC N*,求数歹Ibn的前n项和.a2rrl25. (2015?福建)等差数列an中，a2=4, a4+a7=15.(I )求数列an的通项公式；(H )设 bn=2 %+n,求 b1+b2+b3+b10 的值.26. (2015?北京)已知等差数列an满足a+a2=10, a4- a3=2(1)求an的通项公式；(2)设等比数列bn满足b2=a3, b3=a7,问：b6与数列an的第

10、几项相等?27. (2015?天津)已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1二b1=1, b2+b3=2a3, a5 3b2=7.(I )求an和bn的通项公式；(H )设cn=anbn, n N*,求数列cn的前n项和.28. (2014?福建)在等比数列an中,a2=3, a5=81.(I )求 an;(H )设bn=log3an,求数列bn的前n项和Sn.29. (2014?新课标I )已知an是递增的等差数列，a2, a4是方程x2 - 5x+6=0的根.(1)求an的通项公式；(2)求数列4的前n项和.30. (2014?北京)已知an是等差数列，满足ai=3, a4

11、=12,等比数歹bn满足bi=4, b4=20.(1)求数列®和bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和.等比数列前n项和高考解答题试题精选参考答案与试题解析一.解答题(共30小题)1. (2017?|匕京)已知等差数列an和等比数列bn满足a尸b1二1, a+a4=10, b2b4=a5.(I )求4的通项公式；(H )求和：b1+b3+b5+, +b2n 1 .【解答】解：(I)等差数列an, a二1, a2+a4=10,可彳$ 1+d+1+3d=10,解得 d=2,所以an的通项公式：an=1+ (n-1) X2=2n-1.(H )由(I )可得 a5=ai+4d=9,等比数

12、列bn满足b1=1, b2b4=9.可得b3=3,或-3 (舍去)(等比数列奇数项符号相同).-q2=3,b2n-l是等比数列，公比为3,首项为1.bl+b3+b5+b2n 1 =1-q£2. （2017渐课标I ）记Sn为等比数列an的前n项和.已知&=2, 9=-6.（1）求an的通项公式；（2）求并判断Sn+1, Sn, 8+2是否成等差数列.【解答】解：（1）设等比数列an首项为a1,公比为q,贝Ua3=$S2= 6- 2=- 8,则 aL： 一一° , a2=&3 =", J q Q由 a1+a2=2, -+-=2, 整理得：q2+4q+

13、4=0,解得：q=- 2, q? Q则 a1 = - 2, an= ( - 2) ( 2) n 1= ( 2) n,an的通项公式an= (-2) n；(2)由(1)可知：S=%> J0-'?)” =* (2+ (-2) n+1),1 -q3贝U &+1=(2+ (-2)n+2), &+2=-=(2+(-2) n+3),由 Sn+1+Sn+2=二(2+ (-2) n+2)一方(2+ (-2) n+3)=一二4+ (2) 乂 (2) n+1+ ( - 2) 2x+ (-2) n+1,-4+2 (-2) n+1=2X 77 (2+ ( 2) n+1),=29,即 S+

14、1+Sn+2=2Sn,.Sn+1, Sn, Sn+2 成等差数列.3. (2017渐课标出)设数列an满足 a1+3a2+- + (2n-1) an=2n.(1)求an的通项公式；(2)求数列二1_的前n项和.【解答】解：(1)数歹Uan满足 a1+3a2+ (2n 1) an=2n.n2 时，a1+3a2+ (2n3) an 1=2 (n1).I p(2n 1) an=2. an=.2n-l当n=1时，a1=2,上式也成立.*C2n-1)(2n+l) 2n-l一击;数歹U己由的前 n 项和=(i)+-L-)+ +(1=)=1 -= 口2n+l3，匕 5，3-1 2n+l > 2n+l

15、2n+L4. (2017?山东)已知an是各项均为正数的等比数列，且 ai+a2=6, aia2=a3.(1)求数列an通项公式；(2) bn为各项非零的等差数列，其前和Tn.n项和为sn,已知 S2n+1=bnbn+1,求数列的前n项【解答】解：(1)记正项等比数列an的公比为q,因为 a1+a2=6, a1a2=a3,所以(1+q) a1=6, qaj=q2a1,解得：a1=q=2, 所以an=2n;(2)因为bn为各项非零的等差数列, 所以 S2n+1= (2n+1) bn+1,又因为 S2n+1=bnbn+1 ,所以 bn=2n+1,n=2n-H所以 Tn=3?-+5? 122+ (2

16、n+1)Tn=3?-Jv+5?Jv+- + (2n-1) *+ (2n+1)222232n(2n+1)12 rL5. (2017渐课标n)已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn, a1二1, b1=1, a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求bn的通项公式；(2)若 T3=21,求桎.【解答】解：(1)设等差数列由的公差为d,等比数列bn的公比为q,ai= - 1, bi=1, a2+b2=2, as+b3=5,可得-1-Kd+q=2, - 1+2d+q2=5,解得 d=1, q=2 或 d=3, q=0 (舍去)，则"的通项公式为bn=2n 1, nN*

17、;(2) bi=1, T3=21,可得 1+q+q2=21,解得q=4或-5,当 q=4 时，b2=4, 32=2 - 4= - 2,d=- 2- ( - 1) =- 1, S3=-1-2-3=-6;当 q= -5 时，b2= - 5, 32=2- ( - 5) =7,d=7- (- 1) =8, S3=- 1+7+15=21.6. (2017以津)已知an为等差数列，前n项和为$ (nN+), bn是首项为2的等比数歹山 且公比大于 0, b2+bs=12, bs=a4 - 2ai, Sn=11b4.(I )求a和bn的通项公式；(n )求数歹U a2nb2n_1的前 n 项和(n N+).

18、【解答】解：(I)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由已知 b2+bs=12,得 bi (q+q2) =12,而 bi=2,所以 q+q2 - 6=0.又因为q>0,解得q=2.所以，bn=2n.由 bs=ai - 2ai,可得 3d - ai=8®.由 Sn=11b4,可得 ai+5d=162),联立，解得ai=1, d=3,由此可得an=3n - 2.所以，数列an的通项公式为an=3n-2,数列bn的通项公式为bn=2n.(II)设数列a2nb2n-1的前PI项和为Tn,由 a2n=6n 2, b2n X4n,有 a2nb2n-1= (3n 1) 4n,&

19、gt; Tn=2X4+5X 42+8X43+-+ (3n- 1) 4n,4Tn=2X 42+5 X 43+8 X 44+- -+ (3n - 1) 4n+上述两式相减,得-31n=2 X 4+3 X 42+3 X 43+- - +3 X 4n - (3n-1) 4n+1jx (丁)令(3产二一(3n-2) 4n+1 - 8IT得Tn二警父所以，数列a'i的前n项和为警X47. （2017以津）已知an为等差数列，前n项和为S （nCN*）, bn是首项为2的等比数列， 且公比大于 0, b2+b3=12, b3=a4 - 2ai, Sn=11b4.（I ）求 a和bn的通项公式;（n

20、）求数歹U a2nbn的前n项和（nC N*） .【解答】（I ）解：设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由已知b2+b3=12,得 b（q+q2）二12,而b1=2,所以q2+q 6=0.又因为q>0,解得q=2.所以，b目二由 b3=a4- 2a1,可得 3da1二8.由Sn=11b4,可得aI+5d=16,联立，解得a二1, d=3,由此可得an=3n-2.所以，an的通项公式为an=3n- 2, bn的通项公式为 又二2”（H ） 解：设数列a2nbn的前 n 项和为 Tn ,由 a2n=6n - 2 ,有二4乂2+10丈 22-+1,6X 23+-' +（

21、6n-2）乂 2n，2Tn=4 X 22+10X 23+l&X 2.+（6n-&）火 2，（6n-2）乂 2nH，上述两式相减，得-（-+ ,+：, 卜 L > -="告-4T6n-2） 乂旬 2M得1口二CSnY） 2吟46.所以，数列a2nbn的前n项和为（3n-4） 2n+2+16.8. （2016渐课标 H ）等差数列an中，a3+a4=4, a5+az=6.（I ）求an的通项公式；（II ）设加二口同，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=0,2.6=2.【解答】解：（I ）设等差数列an的公差为d,a3+a4=4, a5+

22、a7=6.(H ) - bn= an,二 bi=b2=b3=1,b4=b5=2,b6=b7=b8=3,b9=bi0=4.故数列bn的前 10 项和 So=3X 1+2X2+3X3+2X4=24.9. (2016?山东)已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n, bn是等差数列，且an=bn+bn+i.(I )求数列bn的通项公式；人Qji严(H )令Cn= 丁，求数列cn的前n项和Tn.Cbn+23n【解答】解：(I ) S=3n2+8n,. n2 时，an=Sn - Sn 1=6n+5,n=1 时，a=S=11, .an=6n+5;, an=bn+bn+1 , an - 1=bn- 1 +b

23、n, an an -1 =bn+1 bn 1 . .2d=6,. .d=3,a1=b1+b2, .11=2b1+3,;b1=4, - bn=4+3 (n1) =3n+1;一?|T 1 I.&= 卜I-3人口+1) 口(2乂 3X646)on+L)C6n+6)n+1Cn=(bn+2)n(3n+3)r(3n+3)n311=6 (n+1) ?2n, Tn=62?2+3?22+ + (n+1) ?2n，二 2Tn=6 2?22+3?23+n?2n+ (n+1) ?2n+1,-可得-Tn=6 2?2+22+23+- - +2n - (n+1) ?2n+1=12+6x”V)- 6 (n+1) ?2

24、n+11-2=(-6n) ?2n+1=-3n?2n+2 .Tn=3n?2n+2.10 . (2016?新课标n ) Sn为等差数列an的前n项和，且ai=1, Sz=28,记bn= lgsh,其中x 表示不超过x的最大整数，如0.9 =0, lg99 =1.(I )求 b1，bn , b101 ；(II )求数列bn的前1000项和.【解答】解：(I ) Sn为等差数列an的前n项和，且a1=1, Sz=28, 7a4=28.可得a4=4,则公差d=1.an=n bn=lgn,则 b1 = lg1 =0,bn= lg11 =1,b101=lg101 =2.(H ) 由(I ) 可知：b1=b2

25、=b3=- - =b=0, b10=b11=b12= =b9=1.b100=b101=b102=b103=- =b99=2, b10,00=3.数列bn的前 1000 项和为：9X0+90X1+900X2+3=1893.11 .(2016?新课标I )已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足b1 = 1, b2= ,anbn+1+bn+1=nbn. J(I )求an的通项公式；(n )求bn的前n项和.【解答】解：(I) ; anbn+1+bn+1=nbn.当 n=1 时，ab2+b2=b1.- b1 = 1 b2=77, 3二 a1=2,又:an是公差为3的等差数列，二 an=3n- 1,

26、(H )由(I)知：(3n 1) bn+1+bn+1=nbn.即 3bn+1=bn .即数列bn是以1为首项，以二为公比的等比数列，Jbn的前n项和Sn=7(1-312. (2016加江)设数歹 U an的前 n 项和为 Sn,已知 S2=4, an+1=2$+1, nCN .(I )求通项公式an；(n )求数列| an - n - 2|)的前n项和.【解答】解：(I) .S=4, an+i=2S+1, nCN*.二 ai+a2=4, a2=2S+1=2ai +1,解得 ai=1, m=3,当 n2 时，an+1=2S+1, an=2$1+1,两式相减得 an+1 - an=2 ($-$-1

27、) =2an,即 an+1=3ai,当 n=1 时，a1=1, a2=3,满足 an+1=3an,.±±二=3,贝U数歹Ian是公比q=3的等比数列，则通项公式an=3n(H ) an - n - 2=3n 1 - n - 2,设 bn=| an n _ 21 =| 3n 1 - n - 2| ,贝U b1=| 30-1 - 2| =2, b2=| 3- 2- 2| =1,当 n3 时，3n1一 n 2>0,则 bn=| an n - 21 =3n 1 - n - 2,n-Srrbll止匕时数歹U | an-n-2|的前n项和Tn=3+ 勺一饼", ”2) 式n=l口)22.3, 则 Tn=., F13. （2016?新课标出）已知数列an的前n项和Sn=1+入n.,其中 后0.（D证明an是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5碟，求人【解答】解：（1） =$=1+入m,后0. an * 0 .当n2时，an=Sn