三年级奥数教程

1、目录第一讲速算与巧算 1（一）加减法中的计算 2（二）乘除法中的计算 3第二讲找规律 6（一）竖列规律 6（二）图形规律 8第三讲数字谜 9（一） 横式字谜 9（二）竖式字谜 12（三）趣味九宫格 15第四讲图解法解应用题 17第五讲列方程式解应用题 20第六讲植树问题 21第七讲 鸡兔同笼问题 25第八讲移多补少平均数 27第九讲归一问题 29第十讲倒推法 33第十一讲列举法 36第十二讲奇数与偶数 40第十三讲 周期性问题 44第十四讲 有趣的几何图形 46第十五讲逻辑推理 50第十六讲一笔画 52第十七讲火柴棍游戏 55(一)摆图形游戏 55(二)移动火柴，变换图形游戏 56(三)去掉火

2、柴，变换图形游戏 57第一讲速算与巧算计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计 算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻 炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自 己的最好水平。台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。由于他们对每个选 手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着 更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。观众的情绪也影响着两位分数统计者。只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了 答

3、案。等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和 小白兔是一样的。小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出了答案，有什么决窍吗？”小白兔说：“比如2号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91,去掉最高分98,去掉最低分87,剩下的都接近90为基准数，超过90的表示成90+ 零头数，不 足 90 的表示成 90-零头数'。于是(93+95+96+88+89+91+93+91 +8=90+ (3+5+6-2 1+1+3+1) +8=90+2=92 你可以试一试。”小熊照着小白兔说的去做，果然既快又对。这下小熊明白了，掌握了速算的技巧， 在工

4、作和生活中的作用很大。它不仅可以节省运算时间，更主要的是提高了我们的工作效 率。我们在进行速算时，要根据题目的具体情况灵活运用有关定律和法则，选择合理的方 法。下面介绍在整数加减法运算中常用的几种速算方法。(一)加减法中的计算一、例题与方法指导：例1、用简便方法计算下面各题：(1) 63+48+173+37+52(2) 9+99+999+9999+4例2、用简便方法计算计算下面各题：(1) 1000 90- 80-20-10(2) 1508-561 + 61例3、用简便方法计算计算下面各题：(1)576+ (432-176)(2)1689+ 999-689例 4、计算( 22+24+26 +

5、28+30+32) (21 + 23+25+ 27+29+31)二、训练巩固1 .用简便方法计算计算下面各题：(1)1362+973+ 638+272 .下面各题，怎样简便就怎样计算:(1)1886+19983 .计算：(1)1088+988+88+364 .计算： 7443+ 2485+ 567+ 245 5426- 2995(2)49999+ 4999+ 499+ 49+ 4(1) 103+ 99+ 103+ 97+ 106+ 102+ 98+ 98+101+102三、拓展提升1 .用简便方法计算下面各题：(1)9+ 99+999+ 9999 4996+ 3993+ 2992+ 1991

6、+ 982 .下面各题，怎样简便就怎样计算：(1)93+ 92+ 88+ 89+ 90+ 91 + 88 + 87+ 94+89(2)20+19- 18-17+16+ 15- 14-13+12+11-10-9+8+7-6-5 + 4+3-2-13 .计算下面各题：(1) (38+42 + 46+50+54+58+62+66+70) ( 37+41 + 45 + 49+53+57+61 + 65 + 69)(2) ( 1999+1997+1995+ 3+1) ( 1998+ 1996+ 1994+4+2)(二)乘除法中的计算一、例题与方法指导：两个数之和等于10,则称这两个数 互补。在整数乘法运

7、算中，常会遇到像 72X78, 26 X 86等被乘数与乘数的十位数字相同或互补，或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情 况。72X 78的被乘数与乘数的十位数字相同、 个位数字互补，这类式子我们称为“头相同、 尾互补”型；26X86的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同，这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。例 1 (1) 76X74=?(2) 31X39=?思路导航：本例两题都是“头相同、尾互补”类型。(1)由乘法分配律和结合律，得到76X74=(7+6) X (70+4)=(70+ 6) X 70+ (7+

8、6) X 4二 70X70+6X 70+70X4 + 6X4= 70X (70 + 6 + 4) +6X4= 70X (70+10) +6X4=7X (7+1)义 100+ 6X4。于是，我们得到下面的速算式：(2)与(1)类似可得到下面的速算式：由例1看出，在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数 的个位数之积(不够两位时前面补0,如1X9=09),积中从百位起前面的数是被乘数 (或 乘数)的十位数与十位数加1的乘积。“同补”速算法简单地说就是：积的末两位是“尾x尾” 前面是“头X (头+1)”。我们在学到的15X15, 25X 25,，95X 95的速算，实际上就是“

9、同补”速算法。例 2 (1) 78X38=? (2) 43X 63= ?思路导航：本例两题都是“头互补、尾相同”类型。(1)由乘法分配律和结合律，得到78X38=(70+ 8) X ( 30+ 8)=(70+ 8) X 30+ (70+ 8) X 8=70 X 30+8X 30+ 70X8+8X8= 70X30+8X (30+ 70) + 8X8= 7X3X100+ 8X 100+ 8X8=(7X3+8) X 100+8X8。于是，我们得到下面的速算式：(2)与(1)类似可得到下面的速算式：由例2看出，在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数 的个位数之积(不够两位时前面

10、补 0,如3X 3= 09),积中从百位起前面的数是两个因数 的十位数之积加上被乘数(或乘数)的个位数。“补同”速算法简单地说就是：积的末两位数是“尾x尾”，前面是“头x头+尾”。例1和例2介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。当被乘数 和乘数多于两位时，情况会发生什么变化呢？我们先将互补的概念推广一下。当两个数的和是10, 100, 1000,时，这两个数互为补数，简称互补。如43与57互补，99与1互补，555与445互补。在一个乘法算式中，当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，这个算式 就是“同补”型，即“头相同，尾互补”型。例如 70 77 X70 23

11、,因为被乘数与乘数的 前两位数相同，都是70,后两位数互补，77+ 23=100,所以是“同补”型。又如1 48 X 1 52 , 23 8 X23 2等都是“同补”型。当被乘数与乘数前面的几位数互补， 后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同” 型，即“头互补，尾相同”型。例如， 73 4X27 4, 98 26X 2 26, 6 81 X4 81等都是“补 同”型。在计算多位数的“同补”型乘法时，例 1的方法仍然适用。例 3 (1) 702X708=? (2) 1708X1792=?解：(1)(2)计算多位数的“同补”型乘法时，将“头X (头+1)”作为乘积的前几位，将两个互补数之积作为

12、乘积的后几位。注意：互补数如果是n位数，则应占乘积的后2n位，不足的位补“ 0”。在计算多位数的“补同”型乘法时，如果“补”与“同”，即“头”与“尾”的位数相同，那么例2的方法仍然适用(见例4);如果“补”与“同”的位数不相同，那么例 2 的方法不再适用，因为没有简捷实用的方法，所以就不再讨论了。例 4 2865X 7265=?解:二、训练巩固计算下列各题:2.93 X97;4.79 X39;6.603 X607;8.4085 X 6085。1.68 X62;3.27 X 87;5.42 X 62;7.693 X 607;第二讲找规律(一)竖列规律按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。如自然

13、数列：1、2、3、4；双数列:2、4、6、8。我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规 律来填写空缺的数。按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，那么就可以知道其 余所有的数。寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考 虑。善于发现数列的规律是填数的关键。一、例题与方法指导例1在括号内填上合适的数。(1) 3, 6, 9, 12,(),()(2) 1, 2, 4, 7, 11,(),() 2, 6, 18, 54,(),()及监导朋；(1)在数列3, 6, 9, 12,(),()中，前一个数加上3就等于后一个数，相邻两 个数的差都

14、是3,根据这一规律，可以确定()里分别填15和18;(2)在数列1, 2, 4, 7, 11,(),()中，第一个数增加1等于第二个数，第二个 数增加2等于第三个数，也就是相邻两个数的差依次是 1, 2, 3, 4这样下一个数应为 11增加5,所以应填16;再下一个数应比16大6,填22。(3)在数列2, 6, 18, 54,(),()中，后一个数是前一个数的3倍，根据这一规 律可知道()里应分别填162和486。例2先找出规律，再在括号里填上合适的数。(D 15, 2, 12, 2, 9, 2,(),();(3) 21, 4, 18, 5, 15, 6,(),();思一路导航.；(1)在15

15、, 2, 12, 2, 9, 2,(),()中隔着看，第一个数减3是第三个数，第三 个数减3是第五个数，第二、四、六的数不变。根据这一规律，可以确定括号里分别应填 6、2;(2)在21, 4, 18, 5, 15, 6,(),()中，隔着看第一个数减 3为第三个数，第 三个数减3为第五个数。第二个数增加1为第四个数，第四个数增加1是第六个数。根据 这一规律，可以确定括号里分别应填 12和7。二、训练巩固1,在括号里填数。(1) 2, 4, 6, 8, 10,(),()(2) 1, 2, 5, 10, 17,(),()2,按规律填数。(1) 2, 8, 32, 128,(),() 1, 5, 2

16、5, 125,(),()3,先找规律再填数。(D 2, 1, 4, 1, 6, 1,(),() 3, 2, 9, 2, 27, 2,(),()(3) 12, 1, 10, 1, 8, 1,(),()4,在括号里填数。答(D 18, 3, 15, 4, 12, 5,(),()(2) 1, 15, 3, 13, 5, 11,(),()(3) 1, 2, 5, 14,(),()(二)图形规律一、例题与方法指导例：根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。及跄目航；(1)横着看，右边的比左边的数多 5,竖着看，下面的数比上面的数多 4。根据这一 规律，方格里填18;(2)通过观察可以发现，前两个图形

17、三个数之间有这样的关系：4X8+2=16, 7X8+ 4=14,也就是说中心数是上面的数与左下方数的乘积除以右下方的数。根据这个规律， 第三个图形空格中的数为9X4 + 3=12;(3)横着看，第一行和第二行中，第一个数除以 3等于第二个数，第一个数乘3等于 第三个数。根据这一规律，36X3=108就是空格中的数。2.训练巩固1 .根据规律，在空格内填数。(1) 187, 286, 385, (),()；思路导航：(1)在187, 286, 385,(),()中，十位上的数字8不变，百位上的数字是 1, 2, 3依次增加1,个位上的数字是7, 6, 5依次减少1,并且百位上的数字与个 位上的数

18、字的和为8。根据这一规律，括号里应填 484, 583;(2)通过观察可以发现，前两个图形之间有一定联系：左上数十位上的数字和右上数个 位上的数字分别与下面数的千位、个位上的数字相同；左上数与右上数十位上的数字之 和为下面数的百位上的数字,左上数与右上数个位上的数字之和为下面数的十位上的数 字。根据这一规律，空格内应填 3594。第三讲数字谜小朋友们都玩过字谜吧，就是一种文字游戏，例如“空中码头”(打一城市名)。谜底你还记得吗？记不得也没关系，想想“空中”指什么？ “天”。这个地名第1个字可能是 大。“码头”指什么呢？码头又称渡口，联系这个地名开头是“天”字，容易想到“天津” 这个地名，而“津

19、”正好又是“渡口”的意思。这样谜底就出来了：天津。算式谜又被称为“虫食算”，意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了无法辨认， 需要运用四则运算各部分之间的关系，通过推理判定被吃掉的数字，把算式还原。“虫食算”主要指横式算式谜和竖式算式谜，其中未知的数字常常用口、等图形符号或字母表示。文字算式谜是前两种算式谜的延伸，用文字或字母来代替未知的数字，在同一道 算式中不同的文字或字母表示不同的数字，相同的数字或字母表示同一个数字。文字算式 谜也是最难的一种算式谜。在数学里面，文字也可以组成许许多多的数学游戏，就让我们一起来看看吧。(一)横式字谜一、例题与方法指导例1 口，口8, 口97在上面的3个方

20、框内分别填入恰当的数字，可以使得这 3个数的 平均数是150。那么所填的3个数字之和是多少？阳趴号航；150*3-8-97-5=340所以3个数之和为3+4+5=12例2在下列算式的口中填上适当的数字，使得等式成立：(1) 6口口4+56=口0口，(2) 7口口8+37=口 1口，(3) 3口口3+2口二口 17,(4) 8口口口+ 58=口口6。分析：(1) 6104/56=109(5) 7548/37=204(6) 3393/29=117(7) 8468/58=146例3 在算式40796+口口口 = 9998的各个方框内填入适当的数字后，就可以使 其成为正确的等式。求其中的除数。分析：4

21、0796/102=39998 。例4 我学数学乐X我学数学乐=数数数学数数学学数学在上面的乘法算式中，“我、学、数、乐”分别代表的4个不同的数字。如果“乐” 代表9,那么“我数学”代表的三位数是多少？例5 + (-) =24在式中的4个方框内填入4个不同的一位数，使左边的 数比右边的数小，并且等式成立。思昼导顼.：这样，我们可以先用字母代替数字，原等式写成：a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b,(a<b<c<d)当 a=1 时，有 6*8/2=24 , 8*9/3=24 ;当 a=2 时，有 4*9/3=12 , 6*8/4=12 , 8*9/6=12 ;所

22、以，满足要求的等式有：1+ (2+6+8) =24, 1+ (3+ 8+9) =24, 2+(3+4+9) =24, 2+ (4+ 6+8) =24, 2+ (6+8+9) =24。例6 口乂口=5口；12+ =,把1至9这9个数字分别填入上面两个算式的各个方框中，使等式成立，这里有 3个数字已经填好。分析：根据第一个等式，只有两种可能：7*8=56, 6*9=54;如果为7*8=56,则余 下的数字有：3、4、9,显然不行；而当6*9=54时，余下的数字有：3、7、8,那么，12+3-7=8 或12+3-8=7都能满足。二、训练巩固1 .迎迎X春春=杯迎迎杯，数数X学学 吸赛赛数，春春X春春

23、=ffl迎赛赛在上面的3个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。如果这3个等式都成立，那么，“迎+春+杯+数+学+赛”等于多少？分析：考察上面三个等式，可以从最后一个等式入手：能够满足：春春x春春=迎迎赛赛的只有88*88=7744,于是,春=8,迎=7,赛=4;这样，不难得到第一个为：77*88=6 776,第二个为：55*99=5445;所以，迎 + 春 + 杯 +& + 学 + 赛=7+8+6+5+9+4=392 .迎+春X春=迎春，(迎+杯)乂 (迎十杯)=迎杯在上面的两个横式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。那 么“迎+春+杯”等于

24、多少？分析：同样可以从第二个算式入手，发现满足要求的只有(8+1) * (8+1) =81,于是， 迎=8;这样，第一个算式显然只有：8+9*9=89;所以，迎+春+杯=8+9+1=18三、拓展提升1 .在下列各式的口中分别填入相同的两位数：(1)5 乂口=2口；(2)6 乂口=3口。2 .将39中的数填入下列各式，使算式成立，要求各式中无重复的数字：(1) 口 + 口 =口+ 口；(2) 口 + 口口+ 口。3 .在下列各式的口中填入合适的数字：(1)448 +口口 =口；(2)2822 +口口 =口口；(3)13 X 口口 = 4口6。4 .在下列各式的口中填入合适的数：(1) 口 + 3

25、2=831;(2)573 +32=口29;4837 + 口 = 7427。答案与提示？练习224.(1)287 ; (2)17 ; ()65 。(二)竖式字谜例1在图4-1所示的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字.那么“喜欢”这两个汉字所代表的两位数是多少？分析：首先看个位，可以得到“欢”是 0或5,但是“欢”是第二个数的十位， 所以“欢”不能是0,只能是5。再看十位，“欢”是5,加上个位有进位1,那么，加起来后得到的“人”就应该是偶数，因为结果的百位也是“人”，所以“人”只能是 2;由此可知，“喜”等于8。所以，“喜欢”这两个汉字所代表的两位数就是85。例2在图4-2所

26、示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数 字.如果：巧+解+数+字+谜=30,那么“数字谜”所代表的三位数是多少？分析：还是先看个位，5个“谜”相加的结果个位还是等于“谜”，“谜”必定 是5（0显然可以排出）；接着看十位，四个“字”相加再加上进位2,结果尾数还是“字”， 那说明"字”只能是6;再看百位，三个“数”相加再加上进位2,结果尾数还是“数”， “数”可能是4或9;再看千位，（1）如果“数”为4,两个“解”相加再加上进位1, 结果尾数还是“解”，那说明"解”只能是9;5+6+4+9=24,30-24=6, “巧”等于6与“字” 等于6重复，不能；（

27、2）如果“数”为9,两个“解”相加再加上进位2,结果尾数还 是“解”，那说明"解”只能是 8; 5+6+9+8=28, 30-28=2,可以。 所以“数字谜”代表 的三位数是965。例3在图4-3所示的加法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同 的数字.请把这个竖式翻译成数字算式.分析：首先万位上“华” =1;再看千位，“香”只能是8或9,那么“人”就相 应的只能是0或1。但是“华” =1,所以，“人”就是0;再看百位，“人” =0,那么， 十位上必须有进位，否则“港”+ “人”还是“港”。由此可知“回”比“港”大 1,这样就说明“港”不是9,百位向千位也没有进位。于是

28、可以确定“香”等于9的；再看十位， “回” + “爱”="港”要有进位的，而“回”比“港”大 1,那么“爱”就等于8;同时， 个位必须有进位；再看个位，两数相加至少12,至多13,即只能是5+7或6+7,显然“港” =5, “回” =6, “归” =7。 这样，整个算式就是：9567+1085=10652例4图4-4是一个加法竖式，其中E, F, I , N, O, R S, T, X, Y分别表示从0到9 的不同数字，且F, S不等于零.那么这个算式的结果是多少？分析：先看个位和十位，N应为0, E应为5;再看最高位上，S比F大1;千位上 O最少是8;但因为N等于0,所以，I只能是

29、1, O只能是9;由于百位向千位进位是2, 且X不能是0,因此决定了 T、R只能是7、8这两个；如果T=7, X=3,这是只剩下了 2、4、 6三个数，无法满足S、F是两个连续数的要求。所以，T=8、R=7;由此得到X=4;那么， F=2, S=3, Y=&所以，得到白算式结果是 31486。二、训练巩固1 .在图4-5所示的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数 字.那么D+第于多少？分析：先从最高位看，显然A=1, B=0, E=9;接着看十位，因为E等于9,说明个 位有借位，所以F只能是8;由F=8可知，C=7;这样，D G有2、4, 3、5和4、6三种 可能

30、。所以，D+ G就可以等于6, 8或10。2 .王老师家的电话号码是一个七位数，把它前四位组成的数与后三位组成的数相加得 9063,把它前三位数组成的数与后四位数组成的数相加得2529.求王老师家的电话号码.分析：我们可以用abcdefg来表示这个七位数电话号码。由题意知， abcd+efg=9063, abc+defg=2529;首先从第一个算式可以看出，a=8,从第二个算式可以看出，d=1；再回到第一个算式， g=2,掉到第二个算式，c=7;又回到第一个算式，f=9,掉到第二个算式，b=3;那么，e=6o 所以，王老师家的电话号码是 8371692。3 .将一个四位数的各位顺序颠倒过来，得

31、到一个新的四位数.如果新数比原数大7902, 那么在所有符合这样条件的四位数中，原数最大是多少？分析：用abcd来表示愿四位数，那么新四位数为 dcba, dcba-abcd=7902；由最高为看起，a最大为2,则d=9;但个位上10+a-d=2,所以，a只能是1;接下来看百位, b最大是9,那么，c=8正好能满足要求。所以，原四位数最大是 1989。三、拓展提升1 .已知图4-6所示的乘法竖式成立.那么 ABCD是多少？分析：由 1/7 的特点易知，ABCDE=42857142857*3=428571。2 .某个自然数的个位数字是4,将这个4移到左边首位数字的前面，所构成的新数恰 好是原数的

32、4倍.问原数最小是多少？分析：由个位起逐个递推：4*4=16,原十位为6; 4*6+1=25,原百位为5; 4*5+2=22, 原千位为2;4*2+2=10,原万位为0; 1*4=4 ,正好。所以，原数最小是102564。3 .在图4-7所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数 字.则符合题意的数“迎春杯竞赛赞”是多少？分析：同第10题一样，也是利用1/7的特点。因为每个字母代表不同的数字，因 此“好”只有3和6可选：好=3,贝142857*3=428571;妤=6,则:142857*6=857142;两个都能满足，所以， 符合题意的数“迎春杯竞赛赞”可能是 428571

33、或857142。(三)趣味九宫格九宫格型数字推理即在九宫格中已知 8个数，根据已知数之间的关系，求出未知的项 此种类型的观察角度为横向、纵向、对角线，考查最多的是横向，一般考查三个数之间的 线性关系，可从大数入手考虑。有时，会整体考，比如行列各个数之和的关系。1.A. 7【答案】。2.A . 27【答案】D=3.A. 14.【答案】A 4.D. 920, (30), 40,是等差数列。D. 183等于第三个数。(63-9) +3= (18)B. 5C. 3解析：每行三个数字之和依次是B. 8C. 21解析：每行前两个数字之差除以2B. 16. 4 C. 18. 6 D. 15解析：每行第一个数

34、字加1等于后两个数字之和A. 6. 1 B. 5. 3C. 4D. 2【答案】D=解析：从每行来看,第一个数字加 2,再乘以第三个数字等于中间数字。5.A. 20. 4 B. 18. 6C. 11. 6 D. 8. 6【答案】B。解析：每行第三个数字减去第二个数字，再乘以2等于第一个数字。第四讲图解法解应用题一、例题与方法指导例1小明早晨起床，要完成这几件事：起床穿衣5分钟，刷牙洗脸6分钟，在火炉上烧水煮面要16分钟，整理房间8分钟，为了尽快做完这些事，最少要 分钟.例2 ”队员p加植树劳制;每人植树2棵，如果一个人挖坑，一个要25分，运树苗一 趟（最多可运4棵央28期见、桶用（啰 4棵树）要

35、10分,栽好一棵树要10分.现以两个 人为一小组合作,颤扁而逾少扁二:脸分钟.思路导航：所以f夕5用即85例13 W两地相距6千米，小品从甲地、小、75 分，.，地往返行走，九 , 一 一 种1棵树'红从同时叫而/出发后40分钟，两人第一次相遇.小红到达甲村后以M完低高甲村2千米处,两人第二次相遇,求小品和小丑的速度各是思路导航运苗*提水*挖1个坑.二栽3棵树&扁5千米/小将阐、红4千米254才监定1 4全程要40澄,3 4应是40X3 + 60=2（小时）晶晶:（6 + 4） +2=5（千米/小将>红：（6+2） +2=4（千米/小腕例4早，108 J）,小明坡学回家，

36、8行午中唐,周老师骑车追他，在离学校4千米的地方 追上了他，然后用老师立即回校，回到校后又追小明，第二次追上时刚好离家8千米，求这时 是 时 分.理监导航；早工10点8分放学，小明从学校回家，8分钟后，周老师骑车追他，追上时离校4千米, 后来老师马上回校后又追他，追上时小明也只走了 4千米，从下图可知，照后来速度算，周老 师前面应走4X3=12（千米）.因为少走8分钟，所以少走12-4=8千米.所以现在时间应 是:10:08+0.08+0.16=10:32.校1二、巩固训练 4千米,4千米1. A，B, C,3, E五位同孑如邓单循环比赛，已知A, B, C D已经赛过的盘数依次为4,3,2,

37、1 盘，的寸|3赛了 /盘.2 .有号码为1,2,3,4 危言 ,在一次比赛中获得了前4名，已知：每个运动员的 号码都与自己的名次不符；某运动员的名次是第四名运动员的号码，而此人的号码又是2 号运动员的名次.3号运动员不是第一名，那么1号得 一名，二号得 名，三号得 名，四号得 名.3 .四名棋手进行循环比赛，胜一局得2分，平一局得1分，负一局得0分.如果各人得的 总分不同，第一名不是全胜，那么，至多有 局平局.4 .京华小学五年级学生采集标本，采集昆虫标本的有25人，采集植物标本的有19人, 两种标本都采集的有8人,全班共40人,没有采集标本的有 人. 答案：1. 两盘.用连线表示两人已赛过

38、一场，A应画四条线，B应画3条，但不能连D,又有一条AB所 以，B只画BC BE从C出发应有两条，已有.所以E只赛了两盘.2. 1号第三,2号第一 ,37四,4号第二.由、可知，还噩4,依题意画图如下：V 4-3" / /1-2- 32缸I C D4 <34L 4 1-3 o- 1福以上六种情况中，符合题意的只有方案.3. 3 局.四名棋手应赛4X3 + 2=6（局），应决出2X 6=12（分）又各人得分不同，且第一名不是全胜，可知他们得分只有：12=5+4+2+1或 12=5+4+3+0 两种.再由“平局最多”可决定甲5分，乙4分，丙2分，丁 1分.这样应：4. 4 人.甲十

39、理丙作下图：胜/.40-（25+19-8）=4（人赎任由物标本三、拓展提升I1 .有100名旅客，25 A0仪为9却又不懂俄语，有75人懂英语,83人懂俄语，既懂 英语又懂俄语的有a. V/ y2 .某班数字、英语的期注汴杀绩如* ，英语得100分的有12人,数学得100分的有 10人，两门功课都得100剂粕呼时两门功课都未得100分的有26人,这个班有学生 人.答案：9. 68人 作下图：不强83人10人5+83-(100-10)=610. 45 1獴人作12+<W10人.第五讲列方程式解应用题、例题与方;得100曰r312人例1买:irf推00果26W幼儿园大班的小朋友，如果每人分3

40、个，那么还剩32个.如果 每人卬8个，还肯看个小朋友小不到苹果.这批苹果的个数是多少个？苹果数不变（抓不变量）、间接设未知数例2 一条鲨鱼，头长3米，身长等于头长加尾长，尾长等于头长再加上半个身长，这 条鱼全长多少米？间接设未知数设鲨鱼身长x米。身长二头长十尾长，尾长= x +2+ 3 身长=3+ x + 2+ 3,例3鸡、兔共60只，鸡脚比兔脚多60只。问：鸡、兔各多少只？解答：假设60只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚120只，而兔的脚数为零。这样鸡脚 比兔脚多120只，而实际上只多60只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多 120-60=60（只）。现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少 2只

41、，兔脚增加4只，即鸡脚比兔 脚多的脚数中就会减少4+2=6（只），而60+ 6=10,因此有兔子10只，鸡60-10=50（只）。 二、巩固训练1.有一些糖，每人分5块多10块；如果现有的人数增加到原人数的1.5倍，那么每 人4块就少2块.问这些糖共有多少块？解，等量关系为两种分法的糖总数不变设开始共有x人,5x+10=4X 1.5x-2 ,解得x=12,所以这些糖共有12X5+10=70块.2.甲、乙、丙、丁四人今年分别是16、12、11、9岁。问：多少年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍？解答：这是一道年龄问题，也可以用方程来解决。等量关系为：多少年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2

42、倍。关键：在相同的时间内，每个人增加或减少的年龄是相同的。设x年前，甲乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍.16+12-2x=2 X （11+9-2x）,解得x=6.所以，6年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍.第六讲植树问题不封闭T封闭只要我们稍加留意，都会看到在马路两旁一般都种有树木。细心观察，这些树木的问 距一般都是等距离种植的。路长、间距、棵数之间存在着确定的关系，我们把这种关系叫 做“植树问题”。而植树问题，一般又可分为封闭型的和不封闭型的（开放型的） 。蜂封闭型的和不封闭型的植树问题，区别在于间隔数（段数）与棵数的关系：1、不封闭型的（多为直线上），一般情况为两端植树，如下图所示，其

43、路长、间距、棵数的关系是:棵数=艘+1=路长+间距+i u但如果只在一端植树，如右图所示，这时路长、间距、棵数的关系就是:如果两端都不植树，那么棵数比一端植树还要再少一棵，其路长、间距、棵数的关系 就是：棵敷二段数一 1二路长：间距一12、封闭型的情况（多为圆周形），如下图所示，那么：植树问题的三要素：总路线长、间距（棵距）长、棵数.只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个.植树问题的分类：直线型的植树问题 封闭型植树问题 特殊类型的植树问题 一、例题与方法指导例1有一条公路长1000米，在公路的一侧每隔5米栽一棵垂柳，可种植垂柳多少棵 ？ 思路导航：每隔5汞栽一棵垂柳，即以两棵垂柳

44、之间的距离 5米为一段。公路的全长1000米，分 成5米一段，那么里包含有1000+ 5=200段。由于公路的两端都要求种树，所以要种植的 棵数比分成的段数多1,所以，可种植垂柳200+1=201棵。例2某一淡水湖的周长1350米，在湖边每隔9米种柳树一株，在两株柳树中间种植2 株夹枝桃，可栽柳树多少株？可栽夹枝桃多少株？两株夹枝桃之间相距多少米？思路导航：在圆周上植树时，由于可栽的株数等于分成的段数， 所以，可栽柳树=1350+ 9=150株； 由于两株柳树之间等距离地栽株夹枝桃，而间隔数（段数）为150,所以栽夹枝桃的株数=2X 150=300株；每隔9米种柳树一株，在两株夹枝桃之间等距地

45、栽2株夹枝桃，这就变成两端都不植树的情形，即2株等距离栽在9米的直线上，不含两端，所以，每两株之间 的距离=9+ （2+1）=3（米）。例3 一条街上，一旁每隔8米有一个广告牌，从头到尾有16个广告牌，现在要进行 调整，变成每12米有一个广告牌。那么除了两端的广告牌外，中间还有几个牌不需要移 动？ 思路导航：16个广告牌，每相邻的两个广告牌的间隔为 8米，则共有16-1=15个间隔，这条街的 总长度为8X15= 120（米）；现在要调整为每12米一个广告牌，那么不移动的牌离端点的 距离一定既是8的倍数，同时也是12的倍数；8X3=12X 2=24,也就是说，每24米及其 倍数处的广告牌可以不需

46、要移动；120+ 24=5,即段数为5个，但要扣除两端的2个，所 以，中间不需要移动的有5-1=4个。事实上，所谓植树问题只是我们对这一种类型问题的总称，并不单指植树问题。例如， 与之类似的还有爬楼（梯）问题、队列问题、敲钟问题、锯木头问题的等。所以，植树问 题又称上楼梯问题。二、巩固训练1某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电梯停开。如果他从1层走到4层需要48秒，请问以同样的速度走到八层，还需要多少秒？思路导航：要求还需要多少秒才能到达，必须先求出上一层楼梯需要几秒，并且知道从4楼走到8楼共需要走几层楼梯。从1层走到4层，事实所爬的层数只是4-1=3层，所以上一层楼 梯需要的时间是4

47、8+ （4-1） =16 （秒）；又，从4楼走到8楼共需走8-4=4层楼梯，所以 还需要的时间是16X4=64秒。2光华路小学三年级学生有125人参加运动会入场式，他们每 5人一行，前后每行间 隔为2米，主席台长42米，他们以每分钟45米的速度通过主席台需要多少分钟？ 思路导航：125人参加运动会入场式，每5人一行，共排了 125+ 5=25行，那么这里25行就相当 于直线上的25棵树，所以，这列队的长度为两端植树的路的长度，全长是 2X （25-1）=48 米；这列队伍通过主席台，所走的总路程应该是队伍长度与主席台长度之和，即：48+42=90米，所以，他们通过主席台的时间是 90+45=2

48、分钟。3下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形，它的长度是多少？十个这样的铁环连 在一起有多长？M-+! J4- 14厘米E亳米思路导航：根据上图所示，要求出它的总长度是多少，关键是求出重叠部分需要扣除的长度。每 一个铁环的厚度为6毫米，注意到重叠部分，后面连上的铁环将有 2个厚度是重叠的，也 就是说实际每加一个铁环所延伸的长度为 4厘米-2X6毫米=40毫米-12毫米=28毫米；根 据我们前面所讲的植树问题，五个铁环连在一起，“环扣”数为5-1 =4(个),所以，五个大小相同的铁环连在一起时，总长度为40+4X 28= 152(毫米)。同理，十个铁环连在一起的长度为 40+ (10- 1)

49、X 28=292(毫米)。4 一个木工把一根长24米的木条锯成了 3米长的小段，每锯断一次要用5分钟，共需 多少分钟？思路导航：要求需要的时间，我们就要弄清楚共需锯几次。 24米长的木条里面包含有 24+ 3=8个3米，8段有8-1=7个间隔，即木工只需锯7次，那么，每次5分钟, 一共需要用时5X7=35分钟。三、巩固训练1 一个街心花园如下图所示，它由四个大小相等的等边三角形组成。已知从每个小三 角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有 9棵花。问大三角形边上栽有多少棵花？整个花 园中共栽多少棵花？思路导航：由题意可知，大三角形的边长是小三角形边长的 2倍，因为每个小三角形的边上均匀 栽9株，而

50、大三角形的每条边由两个小三角形的边重叠一个顶点而成，所以，大三角形 的每条边上栽的棵数为：9X 2 -1=17棵；又大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条 边公有的，所以，大三角形三条边上共栽花：(17-1) X3=48棵；再看图中间的阴影小三 角形，每边所栽花的棵数就是一个两端不种树的植树问题，所以小三角形每条边上栽花的 棵数为9-2=7棵，中间共栽花：7X3=21棵，所以，整个花坛共栽花：48+21=69棵。2时钟4点敲4下，用12秒敲完。那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？思路导航：4点钟敲4下，共12秒，而4下中间有3个间隔，说明每一个间隔的秒数为 12+ (4 -1) =4秒；12点敲1

51、2下，中间有11个间隔，所以一共需要4X (121) =44秒敲完。3铁路旁每隔50米有一根电线杆，某旅客为了计算火车速度，测量出从经过第1根电 线杆起到经过第37根电线杆止共用了 2分。火车的速度是多少？思路导航：从第1根电线杆起到第37根电线杆，共有37-1=36个间隔；每隔50米有一根电线杆， 也就是说间隔为50米；那么，行使的总路程为：50X (37 1) =1800米；2分钟=2X60 秒=120秒，共行1800米，所以，火车速度为：1800+120= 15米/秒。第七讲鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题是指鸡与兔同在一个笼中，已知鸡与兔的总头数以及鸡与兔的总足数， 求鸡和兔各是多少只的应用题

52、。这种类型题是古代趣题，在现实生活和生产中应用广泛， 有着十分重要的使用价值。鸡兔问题，也叫简换问题。解答时，一般采用假设法，即假定全部的只数都是鸡或者 是兔，算出假定情况下的足数和实际上的足数和、足数差，然后推算出鸡和兔的只数。 计算时的主要数量关系是：1 .如果假定全部是兔，则鸡的只数=（每只兔的足数X总头数总足数）一 （每一只鸡与兔足数的差）简单理解就是：鸡的只数=（4 X总头数一总足数）+ 2兔的只数二总头数一鸡的只数2 .如果假定全部是鸡，则兔的只数二（总足数-每只鸡的足数X总头数）一 （每一只鸡与兔足数的差）简单写就是兔的只数二（总足数一2 X总头数） +2鸡的只数二总头数一兔的只

53、数一、例题与方法指导例1.鸡兔同笼，共有100个头，320只脚，问鸡和兔各是多少只？思路导航：鸡有2只脚，兔有4只脚，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，当成一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，当成一只脚，那么兔子和鸡一样，都是 2只脚。鸡和兔的总脚数就 是100X 2=200 （只），但比实际320只脚要少320-200=120 （只），为什么会少了 120只 脚呢？是因为每只兔子只算一只前脚，一只后脚，而少算了一只前脚和一只后脚。也就是说每只兔子都少算了两只脚，一共少算了120只脚，所以兔子应该有120+ 2=60 （只）。解法二：4X 100=400 （只）400 320=80 （只）80+2

54、=40 （只）100 40=60 （只）解法一：2X100=200 （只）320 200=120 （只）120+ 2=60 （只）100 60=40 （只）答：鸡有40只，兔有60只。例2. 5元纸币和2元纸币总张数是200张，已知它们的总面值是940元，这两种纸 币各多少张？思路导航.：（1）的设200张纸币完全是2元，共化2X 200=400 （元）（2）比实际少：940- 400=540 （元）（3） 2元换成5元，每张增加：5-2=3 （元）（4） 5元纸币有：540+3=180 （张）（5） 2元纸币有：200180=20 （张）答：有180张5元、20张2元纸币。例3.鸡兔同笼，鸡

55、比兔多25只，脚数共176只，鸡、兔各多少只？思路导航假设去掉多的25只鸡，则一共去掉2X25=50 （只）脚，那么17650=126 （只）脚 是鸡和兔一样多的脚的总数量，而一对鸡兔共有 2 + 4=6 （只）脚，可以求出去掉25只鸡 以后一共多少对鸡和兔，然后再加上去掉的 25只鸡。2X25=50 （只）17650=126 （只）2 + 4=6 （只）126+6=21 （对）鸡、兔各 21只21+25=46 （只） 鸡的只数答：鸡有46只，兔有21只。二、巩固训练1 .鸡兔同笼，共有头90只，脚252只。鸡兔各多少只？2 .鸡兔同笼，共有头80只，鸡的脚数比兔的脚数多40只，鸡兔各多少只？

56、3 .30枚硬币由2分和5分组成，共值9角9分，两种硬币各多少枚？三、拓展提升1.鸡兔共100只，鸡的脚数比兔少40只，鸡兔各多少只？2.46人去划船，一共乘坐10条船，其中大船坐7人，小船坐4人，大、小船各多少条？3.某车棚共停放三轮车和自行车共 39辆，两种车轮总和96个，三轮车和自行车各多少辆？第八讲移多补少平均数在日常生活中，我们经常遇到这样的情况：有几个杯子，里面的水有多有少。要想使 杯中的水一样多，就得把水多的杯子里的水倒一些到水少的杯子里。反复几次，直到几个 杯子里的水一样多。这就是我们经常驻遇到的“移多补少”也就是求平均数问题。一、例题与方法指导例1.小刚有5个抽屉，分别有图书33本，42本，20本，53本和32本，平均每个抽 屉里有图