中值定理的证明题

1、错品第五讲 中值定理的证明技巧一、考试要求1、理解闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理，有界性定理，介值定 理)，并会应用这些性质。2、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理(泰勒定理)，了解并会用柯西中 值定理。掌握这三个定理的简单应用(经济)。3、 了解定积分中值定理。二、内容提要1、介值定理(根的存在性定理)(1)介值定理 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m±问的任何值.(2)零点定理设f(x)在a、b连续，且f(a)f(b)<0,则至少存在一点，c (a、b), 使得f=02、罗尔定理若函数f(x)满足：(1) f(x)在a，b上连续(2) f(x)在

2、(a,b)内可导 f(a) f(b)则一定存在(a,b)使得f'() 03、拉格朗日中值定理若函数f(x)满足：(1) f (x)在a，b上连续(2) f(x)在(a,b)内可导则一定存在b)，使得ff(a) f'( )(b a)4、柯西中值定理若函数f(x), g(x)满足：(1)在a，b上连续(2)在(a，b)内可导(3) g'(x) 0f(b) f(a) f'()则至少有一点(a，b)使得g(b) g(a) g'()相品用口"-5、泰勒公式如果函数f(x)在含有x0的某个开区间 (a,b) 内具有直到n 1阶导数 则当X在(a,b)内时f

3、(x)可以表示为x %的一个n次多项式与一个余项R(x)之和，即f(x) f(xo) f (xo)(x xo) 1f (x0)(x xo)2- f (n)(xo)(x %)n R(x)2!n!f(n 1)()(介于x0与X之间)Rn(x) -(x xo)n 1其中(n 1)!在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：1 .展开的基点；2 .展开的阶数；3 .余项的形式.其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公 式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式.而基点和阶数，要根据具体的问题来确定.6、积分中值定理若f(x)在a、b上连续，则至少存在一点c6a、b,使得bf(x)d

4、x=f(c)(b-a)a三、典型题型与例题题型一、与连续函数相关的问题(证明存在 使f( ) 0或方程f(x)=0有根)方法：大多用介值定理f(x) 满足：在a,b上连续；f(a)f(b)<0.思路：1)直接法2)间接法或辅助函数法xnb, Ci0(i 1,2, ,n),证明存例1、设f (x)在a,b上连续，ax1x2在 a,b,使得f( )C#(x1)c2f12)C1c2Cn f (% )Cn例2、设b a 0, f (x)在a,b上连续、单调递增，且f(x) 0 ,证明存在 (a,b) 使得 a2f(b) b2f(a) 2 2f()例3、设f (x)在a,b上连续且f (x) 0

5、,证明存在 (a,b)使得b1 bf (x)dx f (x)dx 一 f (x)dx oa2 a例4、设f (x), g(x)在a,b上连续，证明存在bg( ) a f (x)dx f( ) g(x)dxa(a,b)使得例5、设f(x)在0,1上连续，且f(x)<1.证明:x2xQf (t)dt1在(0,1)内有且仅有一个实根。例6、设实数a1,a2, ,an满足关系式a1曳3(1)n1F 0,证明方程a1cosx a2 cos3xan cos(2n 1)x 0 ,在(0-)内至少有一实根。相品用口仪例 7、(0234, 6 分)设函数f(x),g(x)在a,b上连续，且g(x)>

6、0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点 a,b使得bbf(x)g(x)dx f ( ) g(x)dxaa例8、验证函数f(x)3 x221, x题型二、验证满足某中值定理x 1,在0, 2上满足拉格朗日中值定理，并求x 1满足定理的题型三、证明存在，使f(n)( ) 0(n=1,2,) 方法：思路：例9、设f(x)在a,b上可导且f (a)f (b) 0,证明至少存在一个 (a,b)使得 f ( ) 0例 10、设 f(x)在0,3上连续，在(0,3)内可导，且 f (0) f(1) f(2) 3, f(3) 1,证明存在一个(0,3)使得f() 0例11、设f(x)在0,2上连续，在(

7、0, 2)内具有二阶导数且lim fxL 0,2 1 f(x)dx f (2),证明存在 (0,2)使得 f ( ) 0x 18s x 2题型四、证明存在，使G( ,f ( ), f ( ) 0方法：思路：(1) 用罗尔定理1) 原函数法： 步骤：g( ) g(b) g ()例12、设f (x), g(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且g (x) 0(x (a, b),求证 存在(a,b)使彳3f(a) f( )上相品用口"-例13、(0134)设f(x)在0,1上连续，(0,1)内可导，且 1f (1) k 0k xe1 x f (x)dx, k 1证明：在(0,1)内至少

8、存在一点，使f ( ) (11)f().a b例 14、 设 f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且 f(a)f(b)>0,f(a) f ()0, g(x) 2在a,b上连续，试证对 (a,b),使得f ( ) g( )f ().>>,1“一 11例 15、设 f(x)在0,1上连续，在(0,1)内一阶可导，且 o f(x)dx 0, oxf(x)dx 0.试证： (0,1)，使得 f ( ) (11)f().x证 令 F(x) 0 f (t)dt ,则 F(0)=F(1)=0.又1 1111o xf (x)dxoxdF(x)xF (x) oo F (x)dxo F

9、(x)dx0 c, F(c) 0.于是 1(0,c), 2(c,1),使 F ( 1) F ( 2) 0,即 f( 1) f( 2) 0.1设 (x) -exf(x),则(1)( 2) 0( 1, 2)(0,1),使得x()0,即 f ( )(11)f().2)常微分方程法：适用：步骤：例16、设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(a) f(b) ,证明存在 (a,b)使得 f ( ) f()f(1)=1,例17、设f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0, 证明：对任意实数，必存在(0, 1),使得f ( ) f (2)直接用拉格朗日或柯西中值定理例18、f(

10、x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，求证存在(a,b)，使得bf(b) af(a)f ( ) f()例19、f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导，求证存在(a,b)，使得例20、bnnab a f(a) f (b)n 1nf ( ) f ( ),n 1f (x)在a,b上连续，在(a,b)内可导(0 a b),求证存在(a,b),使得 f (b) f (a) ln - f () a例21、设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导(0 a b),求证存在 (a,b),便正 f(b) f(a) 22、f()便行 (a ab b )钎b a3 2题型五、含有f ()(或更高阶导数)的介

11、值问题 方法：例22、设f(x)在0,1上二阶可导，且f(0)=f=0,试证至少存在一个(0,1),使f ()乎1例23、(012, 8分)设“刈在a,a(a 0)上具有二阶连续导数，f(0)=0(1)写出f(x)的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。(2)证明在a, a上至少存在一个使得3 aa f ( ) 3 f (x)dxa相品用口仪例24、设f(x)在1, 1上具有三阶连续导数，且f(-1)=0, f(1)=1, f (0)=0,证明：在 (-1,1)内存在一点，使得f ( ) 3.x例25、设f(x)在a, a上具有三阶连续导数，且满足f (x) x2。tf (x t)dt ,4 af (

12、0)=0,证明：在-a, a内存在一点，使得 a4f ( ) 12 Jf(x)dx. exex证由 f (x) x o tf (x t)dt x o (x u)f(u)du2 xx=x x 0 f (u)du ° uf (u)du ，x知 f (0) 0, f (x) 2x 0 f (t)dt, f(0) 0.根据泰勒公式，有1-_21-31 -3f(x) f(0) f (0)x - f (0)x- f ( )x -f ( )x2!3!6其中 介于0与x之间，x 1,1.4Ma124.工日 ma a a /、i a 1 ' /、i 3 于是 f (x) dx f ( ) x

13、dx12 aa6其中M、m为f (x)(由题设可推知f(x)在-a,a上连续)在-a, a上的最大值、a最小值.进一步有m 12-a4 af (x)dx M12 a故存在 a,a,使得f () :a af (x) dx ,即 a4f ( ) 12 . f(x)dx.题型六、 双介值问题F( , , ) 0 方法：例26、设f (x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，0 a b ,求证存在,(a,b)使 得 f ( ) -f2(-(a b)例27、(051, 12分)已知函数f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(0) 0, f(1) 1证明：(1)存在 (0,1),使得f( ) 1

14、(2)存在两个不同的点，(0,1)使得f ( )f ( ) 1题型七、综合题例 28、 (011, 7 分)设函数f(x)在(-1,1)内具有二阶连续导数，且f (x) 0,试证(1)对于(-1,1)内的任意x 0,存在唯一的(x) (0,1)使得f(x) f (0) xf ( (x)x)成立 lim (x) 1x 02例29、试证明若f(x)在a,b上存在二阶导数，且f (a) f (b) 0,则存在.一4(a,b)使得 f ( )2 f(b) f(a)(b a)例30、设e<a<b,求证：在(a,b)内存在唯一的点上,使得a e aln ab ebInb 0ae aln a证F

15、(b) 0F(x)be bInb ,F(a)xexIn x为证唯一性，再证F (x) 0ab_xbe aeF (x) e bln a a In b 2x人. In x令 f (x) f (x) 0(x e) f (a) f (b) xxg(x) xe g (x) 0 g(b) g(a)F (x) 0, F (x)唯一性.题型八、有关介值证明的几类特殊处理问题1 )反证法例30、设f(x)在-2,2上连续，在(-2,2)内二阶连续可导，且f (x)1,f (0) 1,.求证存在 (2,2),使f ( ) 0证反证 若对x ( 2,2), f (x)不变号1 -21) f (x) 0,f(2)=f(0)+ f (0) 2 -f ( 1) 2 , 1 (0,2)21-(f (2) f(0) f (0) f ( 1) 1,与左端小于等于1矛盾.21 ,22) f (x) 0,f(-2)=f(0)- f (0) 2 2 f ( 2) 2 , 2 ( 2,0)1 -2f ( 2) f (0) f (0) f ( 2),同理矛盾 f (x)变号，从而结论成立.2 )隐含问题 1例31、(2000年)设f