线性代数综合练习题(20211202224344)

1、线性代数综合练习题时间：120分钟、选择题(每小题 3分，共15分)1 .设A是三阶矩阵，将A的第一列与第二列交换得B,再把B的第二列加到第列得C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q为(0 1 0(A)10 0;1 0 10 1 0(C) 100；0 1 1)。0 1 0(B)10 1;0 0 10 1 1(D) 100o0 0 12.设A、B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有()(A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关；B的列向量组线性相关;B的行向量组线性相关;B的列向量组线性相关。(B) A的列向量组线性相关, (C) A的行向量组线性相关, (D) A的行向量组线性相关,3,下

2、列向量集按Rn的加法和数乘构成R上一个线性空间的是()(A) Rn中，坐标满足X1+X2+Xn = 0的所有向量；(B) Rn中，坐标是整数的所有向量；(C) Rn中，坐标满足X1+X2+Xn=1的所有向量；(D) Rn中，坐标满足X1 = 1, X2,X n可取任意实数的所有向量。4.设入=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵(A2) -1有一个特征值等于3()。(A) 4;(B)(C)(D) - o34245.任一个n阶矩阵，都存在对角矩阵与它()。(A)合同；(B)相似；(C)等价； (D)以上都不对。二、填空题(每小题3分，共15分)1 .设矩阵A= 12 0 ,矩阵B满足：ABA*=

3、2BA*+E,其中A*为A的伴随矩阵，E是三阶单位矩阵，则|B|=。121X112.已知线性方程组23a2X23无解，则a =1a2X30a3.若 A= b01212 000为正交矩阵，则a=14.设A为n阶矩阵，且|A|w0, A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。若A 有特征值入，则(A*) 2+E必有特征值。5 ,若二次型f= 2xl2+X22+X32+2 x1 X2+t x2 X3是正定的，则t的取值范围是、(15 分)(1 a)x1X2X3X40设后齐次线性方程组：2x1(2 a)x22X32x403x13x2(3 a)x33x404x14x24x3(4 a)x40试问a取何值时，该

4、方程组有非零解？并用一基础解系表示出全部的解。四、(10分)设R3的两组基为：1(1,0,1)T, 2(HQ)13 (0,1,1)T 和 1(1,1,1):2 (1,1,2)T,3 (1,2,1)T,向量 a = (2, 3, 3) T(D求基1,2,3到基1,2 .3的过渡矩阵；(2)求a关于这两组基的坐标。五、(15分)设三阶实对称矩阵A的特征值为入1=-2,入2= 1 (2重)，a1=(1, 1, 1) 是属于入1 = -2的特征向量。试求：(1)属于入2 = 1 (2重)的特征向量;(2) A的伴随矩阵A 。六、(10分)设二次型 f x12 x22 x32 2axix2 2x1x3

5、2bx2x3X1通过正交变换 x2X3y1P y 化为：f y22 2y32 ,求a、b。y3七、(10分)已知A , B为n阶可逆方阵，且满足2A-1B=B-4E,其中E是n阶单位矩阵, 试证：A-2E可逆。并求出(A-2E) -1=?八、 （ 10 分）设A为n阶矩阵，且r（A） n 1, A11 A22Ann 1,其中Ai是A中元素a.的代数余子式（i=1, 2,，n）0试证：A的伴随矩阵A的特征值是0和1, 并说明各个特征值的重数。线性代数综合练习参考答案、选择题:1. (D); 2 (A); 3.(A); 4. (B); 5. C);、填空题:1. 1; 2. -1; 3. 94.2

6、|A|1; 5. -2 t 221 a 111、解：A=2 2a 233 3 a2a a 0 03a 0 a 04a 0 0 a(1)当a=0时，r(A)=14,故齐次线性方程组有非零解，其同解方程组为:X1+X2+X3+ X4=0由此得一基础解系为:y1(1,1,0,0)Ty2(1,Q1,0)T,故全部解为：XC1y1C2y2C3y3y3(1,0,0,1)T(其中C1C2C3为任意常数)(7分)(2)当 aw0 时，B1 a 1 1 12 10 03 0 104 0 0 1a 10000210030104001当a=-10时，r (A) =34,故齐次线性方程组也有非零解，其同解方程组为:2

7、x1x203x1x30 ,解之，可得一个基础解系为:4x1x40y= (1, 2, 3, 4) T,故全部解为：X=ky (其中k为任意常数)(15分) 备注：此题也可另解v |A|= (a+10) a3当|A|=0时，即a=0或a=-10时，齐次线性方程组有无穷解。110111四、解：(1)记 B= ( 1,2,3)=011, C= ( 1, 2 , 3)=1121011211则有：01从而，由基3到基3的过渡矩阵为:1 2(5分)A=B-1C= 1 21 2(2)设a关于基3的坐标为(y1， y2 ,丫3)即:y1y2 2y3 3由此可得:y1y1y1y2y22 y2y32 y3y3y10

8、, y21, y31,故a关于基3的坐标为(0, 1, 1),又二即a关于基X1X2X3y1y2y31212123的坐标为(1,1,2)(10 分)X2, X3)T ,五、解：(1)设A的属于特征值入2=1 (2重)的特征向量为(X1,则:A是实对称矩阵,1X1 , X2, X3)T 与 a 1 正交，即有：(X1, X2, X3) 1 =0,1也即：X1+X2+X3=0,解之：a2=(-1 ,1,0)Ta3=(-1,0,1)T一.A的属于入2=1的全部特征向量为：ki a 2+ k2 a 3（ki, k2不同时为0）(5分)(2)v A*=|A|A-1.A的特征值为：冏（-1）, |A| 1

9、 （2重）2又|A|=-2.A的特征值为:1,-2 （2重）10分)1A (a1, a2, a3)=(a1, a2, a 3)2210*A=(a1, a 2, a 3)020000( a 1, 2 2, a 3)21-111110=110021010011133312133311233310002000211111010111113331213333112333111= 111111(15 分)六、解：f的正交变换前后的矩阵分别为：1a1000Aa1b和B0101b1002于是，A、B相似，从而有相同的特征多项式即：|入E-A|二|人E-B| 分）也即:入3-3入2+ （2-a2-b2）入+ （a-b） 2=入3-3入2+2入，比较上式等号两边的人各幕次项系数有： （a2 b）：2 a2 b2a 0b 010分）七、证明：= 2A1B=B-4E左乘 A,得：2B=AB-4A （5 分）即：AB-2B-4A=0（A-2E） （B-4E） =8E故A-2E可逆，且（A-2E） -1 = 1 （B-4E） （ 10 分）8八、证明：= r （A） =n-1. .r （A*） =1