十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题11平面解析几何解答题(新课标Ⅰ卷)(解析版)

1、专题11平面解析几何解答题历年考题细目表题型年 份考占P八、试题位置解答题2018抛物线2018年新课标1文科20解答题2017抛物线2017年新课标1文科20解答题2016抛物线2016年新课标1文科20解答题2015圆的方程2015年新课标1文科20解答题2014圆的方程2014年新课标1文科20解答题2013圆的方程2013年新课标1文科21解答题2012抛物线2012年新课标1文科20解答题2011圆的方程2011年新课标1文科20解答题2011圆的方程2011年新课标1文科22解答题201 0椭圆2010年新课标1文科20历年高考真题汇编1.【2018年新课标1文科20】设抛物线C:

2、 y2=2,点A (2, 0), B ( - 2, 0),过点A的直线l与C交于M, N两点.(1)当l与轴垂直时，求直线 BM的方程；(2)证明：/ ABM = / ABN.【解答】解：(1)当l与轴垂直时，=2,代入抛物线解得 y= 2,所以 M (2, 2)或 M (2, - 2),直线BM的方程：y= - + 1 ,或：y二一亨-1.(2)证明：设直线 l 的方程为 I： = ty+2, M(1, y1) , N (2, y2),联立直线I与抛物线方程得口，消得y2- 2ty-4=0,即 y1+y2= 2t, y1y2= - 4,贝U有 BN+BM=一-注J-I金 片n+M所以直线BN

3、与BM的倾斜角互补, ./ ABM = / ABN.2.【2017年新课标1文科20设A, B为曲线C:尸石上两点，A与B的横坐标之和为 4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线 AB平行，且AM BM ,求直线AB的方程.【解答】解：(1)设A(1,B (2,工)为曲线C: y二条上两点，44年怎J .则直线AB的斜率为=4一 =：(1+2)=?0)于点P, M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.（I）求lH|。族(n)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.t3【解答】解：(I)将直线l与抛物线方程联立，解得 P (，t),加.M关于

4、点P的对称点为N,初.产两士货吟, ; 二 丁，- =3222产 N （一，t） P，ON的方程为y=专,与抛物线方程联立，解得2taH （一， 2t）直线MH的方程为y务+t,与抛物线方程联立，消去可得y2-4ty+4t2=0,16t2- 4X 4t2=0,直线MH与C除点H外没有其它公共点.4.【2015年新课标1文科20已知过点A (0, 1)且斜率为的直线l与圆C: (-2) 2+(y - 3) 2= 1 交于点M、N两点.(1)求的取值范围;(2)若0W?dW=12,其中O为坐标原点，求|MN|.【解答】(1)由题意可彳导,直线l的斜率存在, 设过点 A (0, 1)的直线方程：y

5、= +1,即：-y+1 =0.故由|2e-J4-1|Vfca+147故当44万V一过点A (0, 1)的直线与圆C: ( - 2)2+ (y - 3) 2= 1 相交于 M,N两点.(2)设 M(1, y1) ； N (2, y2),由题意可得，经过点 M、N、A的直线方程为y=+1,代入圆C 的方程(2) 2+ (y 3)2=1,可得(1+2) 2-4 (+1) +7 = 0,4口4冷1-1+2 1+/1?年匚甲- y1?y2=(1+1)(2+1) =212+(1 + 2)+1?2+?1由触?仆=1?2+y1?y2= 解得 =1故直线l的方程为y= +1,即 -y+1=0.圆心C在直线l上，

6、MN长即为圆的直径.所以 |MN|= 2.5.【2014年新课标1文科20已知点P (22),圆C: 2+y2- 8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A, B由已知可得圆 C的圆心C的坐标(2, 3),半径R= 1 .的面积.2+ (y-4) 2=16,两点，线段AB的中点为M, O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时，求l的方程及 POM【解答】解：(1)由圆C: 2+y2-8y=0,得圆C的圆心坐标为(0, 4),半径为4.设M (, v),则品二 与，苏二2一工，2-y) 由题意可得：讶*蒯尹=0.即(2 ) + (y4) (2 y) =0.整理得：(T) 2+

7、 (y-3) 2 = 2.，M的轨迹方程是(-1) 2+ (y-3) 2=2.(2)由(1)知M的轨迹是以点N (1, 3)为圆心，值为半径的圆,由于 |OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONLPM.i ON=3,直线l的斜率为-1 直线PM的方程为y - 2 (就一？)，即+3y - 8 = 0.则O到直线1的距离为行又N至ij l的距离为1X1 + 3X3-S( VTSipmi -5 .小萼乂等音6 .【2013年新课标1文科21】已知圆M: ( + 1) 2+y2=1,圆N: (-1) 2+y2=9,动圆P与圆M外切并与 圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(

8、I )求C的方程；(n) l是与圆P,圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A, B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.【解答】解：(I)由圆 M: ( + 1) 2+y2=1,可知圆心 M (1, 0);圆 N: ( 1) 2+y2=9,圆心 N (1, 0), 半径3.设动圆的半径为 R,.动圆 P与圆 M外切并与圆 N内切，|PM|+|PN|=R+1+ (3-R) =4,而|NM|=2,由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M, N为焦点，4为长轴长的椭圆，a=2, c= 1, b2=a2-c2=3.JF* J5曲线C的方程为 -H- - = I (w - 2).(II)设曲线C上任意一点P

9、 (, y),由于|PM|-|PN|=2R-2W3-1 = 2,所以R0)的焦点为F,准线为l, ACC,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B, D两点；(1)若/ BFD = 90 , ABD的面积为比泛，求p的值及圆F的方程；(2)若A, B, F三点在同一直线 m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m,n距离的比值.【解答】解：(1)由对称性知： BFD是等腰直角,斜边|BD|=2p点A到准线l的距离d = 1FA = |FB=退学, ABD的面积Saabd=期依， .一 x BD x d = - x 却 x yflp = 4d5,解得p = 2,所以F坐标为(0

10、, 1),圆F的方程为2+ (y-1) 2=8.(2)由题设月(孔，却”1叫,则啊与,. A, B, F三点在同一直线 m上，又AB为圆F的直径，故A, B关于点F对称.由点A, B关于点F对称得:4M整 7 P坐标原点到m, n距离的比值为 h T = 38 .【2011年新课标1文科20】在平面直角坐标系 Oy中，曲线y=2-6+1与坐标轴的交点都在圆 C上.(I )求圆C的方程；(n)若圆 C与直线-y+a=0交与A, B两点，且 OALOB,求a的值.【解答】解：(I)法一：曲线y=2-6+1与y轴的交点为(0, 1),与轴的交点为(3+2 2, 0), (3-2.1,0).可知圆心在

11、直线=3上，故可设该圆的圆心C为(3,t),则有32+(t-1)2=(2.2)2+t2,解得t=1,故圆C的半径为J前而二于二 所以圆C的方程为(-3) 2+ (y- 1) 2=9.法二:圆 2+y2+D+Ey+F=0=0, y= 1 有 1 + E+F = 0y=0,6+1=0 与？+d+F = 0 是同 方程，故有 D= - 6, F = 1, E= - 2,即圆方程为2+y2- 6 - 2y+1 = 0(n)设A(1, y1), B(2, y2),其坐标满足方程组m3r备7.消去y得到方程22+ (2a - 8) +a22a+1 = 0,由已知可得判别式=56 16a- 4a20.在此条

12、件下利用根与系数的关系得到c-二自一11+2=4- a, 12，由于 OA_LOB 可得 12+y1y2= 0,又 y1 = 1+a, y2= 2+a,所以可得 212+a (1+2) +a =03)由 可得 a= - 1,满足 = 56 - 16a - 4a2 0.故 a = - 1.9 .【2011年新课标1文科22如图，D, E分别为 ABC的边AB, AC上的点，且不与 ABC的顶点重合.已 知AE的长为m, AC的长为n, AD, AB的长是关于的方程 2 - 14+mn= 0的两个根.(I )证明：C, B, D, E四点共圆；(n)若/ A = 90，且 m=4, n=6,求C,

13、 B, D, E所在圆的半径.【解答】解：(I)连接DE,根据题意在 ADE和 ACB中,ADX AB= mn=AEX AC,AD A即A.C又/ DAE = /CAB,从而 ADEA ACB因止匕/ ADE=/ ACB.C, B, D, E四点共圆.(n) m=4, n=6 时，方程 2- 14+mn = 0 的两根为 1 = 2, 2= 12.故 AD= 2, AB = 12.取CE的中点G, DB的中点F,分别过G, F作AC, AB的垂线，两垂线相交于 H点，连接DH .C, B, D, E四点共圆，1 -2(122) =5.C, B, D, E四点所在圆的圆心为 H,半径为DH.由于

14、/ A=90 ,故 GH/AB, HF/AC. HF=AG =故C, B, D, E四点所在圆的半径为 5，.历gZ H：E2Lf b10.【2010年新课标1文科20设F1, F2分别是椭圆E： 25=1 (0bb。）经过点（0 ,J3）,点F是椭圆的右焦点，点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等.过点F的直线l交椭圆于M N两点.22x。 3y。(2)当M已2FN时，求直线l的方程；(3)若直线l上存在点P满足PM- PN= PF2,且点P在椭圆外，证明：点 P在定直线上.22【答案】(1) y- 1；显2y居 0； (3)见解析.43【解析】(1)设椭圆的截距为 2c,由题意，b= 33

15、,2由点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c= c,c又 a2= b2+c2,联立解得 a=2, c=1.22.椭圆c的标准方程为 巳 L 1 ；43(2)当直线l与轴重合时，M( - 2, 0), N (2, 0),此时MF= 3NF,不合题意；当直线l与轴不重合时，设直线l 的方程为=my+1, M(1, y。，N (2, y2),x联立 x2my 1y2，得(3m2+4)13y2+6my- 9=0. = 36m2+36 (m2+4) 0.y1丫26m3 m2 4D, y1y 2MF= 2FN,彳# v1=-2y2,联立得,y112m3m2 4 72m26m代入得,3m2 4 2

16、(3)当直线,y223m9T23m解得mR5. .直线方程为J5x 2y J5 0； 5l的斜率为0时，则M (2,0), N ( 2, 0),设 P (% y。)，则 PM?PN |(0-2)(0+2) | ,二点 P在椭圆外，0-2, 0+2 同号,P 2225又 PF Xo 1 ,Xo 2 Xo 2 Xo 1 ,解得 Xo 一 .293m2 4当直线l的斜率不为o时，由(2)知，y1 y26m , y1y23m 4PF # m2 yo2yy2yo yy2yoPM Ji m2 M yo ,PN 71 m2 |y2 yo点P在椭圆外，y 1-y。, y2-yo同号, 1 PM?PN ( 1+

17、n2) (yyo) (y?yo) = 1 m26m9223m2 4 3m2 4 355整理得yo ，代入直线方程得 Xo -.，点P在定直线x 上.2m223.已知抛物线C： y2 4x的焦点为F,直线l与抛物线C交于A, B两点，O是坐标原点.(1)若直线l过点F且AB 8 ,求直线l的方程;(2)已知点E( 2,o),若直线|不与坐标轴垂直，且 AEO BEO，证明：直线l过定点.【答案】(1) y x 1或 y x 1 ； (2) (2,o).【解析】解：(1)法一：焦点F(1Q),当直线l斜率不存在时，方程为 X 1 ,与抛物线的交点坐标分别为(1,2), (1, 2),此时AB 4,

18、不符合题意，故直线的斜率存在.设直线l方程为y k(x 1)与y2 4x联立得2 k2 2 xk2 O当k 。时，方程只有一根，不符合题意，故k2X2抛物线的准线方程为x 1 ,由抛物线的定义得| AB | | AF | | BF | X,X22 k22 8,所以l方程为y x 1或y x 1.法二：焦点F(1,O),显然直线l不垂直于x轴，设直线l方程为x my 1,y2 4x 联立得 y2 4my 40,设 A(Xi,y3 B(x2,y2), yi y2 4m, vm|AB |XiX22yiV221m2vViy221m2、ViV2 24丫佻4由AB 8 ,解得m i,所以l方程为y x i

19、或y x i.(2)设 A(xi,yi), B(x2,y2),设直线l方程为x my b(m 0)与y2 4x联立得：y2 4my 4b 0,可得 yi V 4m , yiy24b.yiy2由 AEO BEO 得 kEA kEB ,即 .xi 2 x2 2整理得 yix22yixiy22y20,即yi(my2b)2yi(myib)y22y20,整理得 2myiy2 (b 2)( yi y) 0,即 8bm 4(b 2)m 0,即 b 2.故直线l方程为x my 2过定点(2,0).224.已知椭圆与当 i(aa bb 0), A 2,0是长轴的一个端点，弦 BC过椭圆的中心 O，点C在第一象u

20、ur uuir 限，且AC BCuur uuu uur uuin0, |OC OB| 2|AB BC |.(i)求椭圆的标准方程;(2)设P、Q为椭圆上不重合的两点且异于A、B,若 PCQ的平分线总是垂直于 x轴,问是否存在实数，使得PQ AB?若不存在，请说明理由；若存在，求取得最大值时的PQ的长.【答案】 H i (2) 2 443【解析】uuur uum(i) AC BC 0,ACB 90，uuur |OCuur uuuOB | 2|ABuuinuurBC | 即|BC | 2|uuurAC|， zAOC是等腰直角三角形,A 2,0，.一 C 1,1 ,而点C在椭圆上， 1 , a 2,

21、，b2 -, a b322.所求椭圆方程为 -3-1.44(2)对于椭圆上两点 P , Q , PCQ的平分线总是垂直于 x轴，. PC与CQ所在直线关于x 1对称, C 1,1，.一PC的直线方程为y k x 11,QC的直线方程为y k x 11 ,22将代入 x- 3y- 1 ,得 1 3k2 x2 6k k 1 x 3k2 6k 1 0, 44 C 1,1在椭圆上，x 1是方程的一个根,_ 2 一xp3k 6k 11 3k23k2 6k 13k2 1k xpxq2kACB. A 2,0xPxQ90oA 2,01, 11,1 ,弦BC过椭圆的中心O,kPQkAB , PQ/ abuuru

22、uur存在实数，使得PQ ABuur|PQ|12k1 3k24k 21 3k21602.30当9k21二时，即 k2-3时取等号, 3uur| PQ |max2、. 3053uuu又 | AB |max2 30_Z分,103取得最大值时的25.已知抛物线y2216x,过抛物线焦点F的直线l分别交抛物线与圆（x 4）2 y216 于 A,C,D,B (自上而下顺次）四点.(1)求证：| AC | BD |为定值;(2)求| AB | | AF |的最小值.【答案】（1）见证明；（2）108（1）有题意可知，F （4,0）可设直线l的方程为xmy4, A(x1, y1),B(x2,y2)联立直线和

23、抛物线方程16x所以 y1 y2 16m,由抛物线的定义可知,my2 16my 64 0,yy264| AF | x1x14,|BF| x24,又|AC| |AF | 4,|BD| |BF| 4,所以 |AC | | BD | (| AF | 4)(| BF | 4)22xx 必x1x2 16 16胃16,所以|AC | |BD|为定值16.2x1 x1x2 12x1 4x2 32 ,由x1x2 16 ,可得x216x1(2)由(1)可知，|AB | | AF | | BF | x1 x2 8, |AF | x1 4, |AB| |AF | (xi X2 8)(x1 4)64x48 (其中 x

24、1 0 ),2所以 |AB | | AF | x112x12令 f (x) x2 12x - 48, f (x) 2x 12 粤 2(x * 4), xxx)时，f (x)。，函数单调递增,当x (0,2)时，f (x) 0,函数单调递减，当x (2,所以 f(x) f (2) 108.所以|AB| |AF|的最小值为108._ uuu uuu6.已知O为坐标原点，点A 2,0 , B 2,0 , AC AD 2瓜 CB CD 01 ,过点B作AC的平行线交 AD于点E.设点E的轨迹为 .(I)求曲线 的方程；(n)已知直线l与圆O:x2 y2 1相切于点M ,且与曲线 相交于P, Q两点，P

25、Q的中点为N ,求 三角形MON面积的最大值.【答案】(I)土 y2 1 y 0 ； (n)虫.55【解析】(I)因为 AD AC ,EB/ AC,故 EBD ACD ADC,所以 |EB I ED ,故 EA EB EA ED AD 2展,2由题设得A 2,0 , B 2,0 , AB 4,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为： y2 1 y 0 .5(n)由题意，直线l的斜率存在且不为0,设直线1的方程为y kx因为直线1与圆O相切,| m |所以1k2,X11,消去y得_ 225k x 10kmx25m 5 0.kxm,P Xi, yi,Q X2,y2 ,由韦达定理知:10kmX22，y15k

26、y2k x1 x22m2m2 .5k所以PQ中点N的坐标为5km m5k21 5k2所以弦PQ的垂直平分线方程为y 1 5k25km5k2 ，即x ky4km1 5k20.所以MNMN4km1 5k21 k24km1 k2代入4 km1 5k21 k2所以三角形MON综上所述，三角形MN4k1 5k2的面积为1 5k2 得1 k2|k|5|k|2. 1 5|k| |k| 1 120上，且点P的横坐标为2,以P为圆心，PO为半径的圆(O为原点)，与抛物线C的准线交于 M N两点，且 MN 2.(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线的准线与y轴的交点为H.过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A,B

27、,且AB HB ,求AF BF的值.【答案】x2 4y (2)4(1)将点P横坐标xP2代入x22 py中，求得yp2-24 P (2, -), OP 4, PP2 p点P到准线的距离为d 上，P 22.|OP|2* d2,22,22p2 21，p2p解得 p2 4 , p 2 ,.抛物线C的方程为：x2 4y;(2)抛物线x2 4y的焦点为F (0, 1),准线方程为y设 A xi , yi , B x2 , y2 ,直线AB的方程为y kx 1,代入抛物线方程可得 x2 4kx 4 0 ,x x2 4k , x1x24 ,由 AB HB ,可得 kAB %b1，又 kABkAF, kHB为

28、y2 1X2y1 1 y 1xX2y1 1 y2 120,1212即一为1x21x1x20 ,4412 212. x1 x2 x11642X21x1x20 ,把代入得，x2 x2 16 ,则 |AF | |BF | yi1 y2 1 - X12 xf413.已知抛物线方程4x , F为焦点,P为抛物线准线上一点， Q为线段PF与抛物线的交点，定义(1)当 P( 1, 8)时, 3求 d(P);(2)证明存在常数a ,使得 2d(P) PF(3) P,P2,E为抛物线准线上三点，且PP2 P2P3,判断d(P) d(P3)与2d(P2)的关系.8 一.一【答案】(1) ； (2)证明见解析；(3

29、) d P d R 2d P2 3(1)因为y 4(x 1).3联立方程4y 3(x 1)y2 4x1xQ一，4PF则QF10354d(P) 3.3(2)当 P 1,0 ,易得 a 2d(P) PF不妨设 P 1,yP , yP 0,直线 PF :x my 1 ,则 myP2 ,、x my 12联立 2， y 4my 4 0,y 4x4m 、(4m)2 16yQ2m 2 , m2 12d(P) | PF | 2-yP、,1 m2yP 2yQ2,2m 2m 2 m2 121 m2m(3)设 Pl,yi ,P2 1逸,P3 l,y3 ,则2 d P d P34d P2PFP3F 2 P2Fy： 4 y32 4 2 y22 4K g 2j - 2 44v： 4 Jv3 4 v yi y32 16，因为、.v； 4 v； 4yi y3 2 162jy； 4匹2 4 2yiy2 8,又因2.2, /2,22yi 4 y3 4yiy3 44 yiy38y1y3 0,所以 d P d R 2dB.2i4.已知抛物线C:x 2py(p 0)的焦点F到准线距离为2.(i)若点E(i,i),且点p在抛物线C上，求|