五种方法求二面角与练习题

1、五种方法求二面角及练习题定义法:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。1 .如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD-AiBCD 中，求：(1)二面角 GBD-C 的正切值(2)二面角 B BBCDBCD2 .如图，四棱锥 SABCDSABCD 中，底面 ABCDABCD 为矩形，SDSD二、三垂线法：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.通常当点 P P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二

2、面角的大小。1 .如图，在直四棱柱 ABCD-ABiCiDi中，底面 ABCM 等腰才!形，AB/CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、E1、F 分别是棱 ADAA1、AB 的中点。(1)证明：直线 EE1平面 FCC;(2)求二面角 B-FC1-C 的余弦值。底面 ABCDABCD, ,ADAD金金DCSDDCSD2,2,点 M 在侧棱 SCSC 上，(1)(1)求二面角 SAMBSAMB 的余弦值。ABMABM=60,M 在侧棱 SCSC 的中点2 .如图，在四棱锥 PABCDPABCD 中，底面 ABCDABCD 是矩形.已知ABAB3,3,ADAD2,2,PAPA2,2,PD

3、PD2yp2,PABPAB6060. .(I)证明 ADAD 平面 PABPAB; ;(n)求异面直线 PCPC 与 ADAD 所成的角的大小；(出)求二面角 PBDAPBDA 的大小.本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线(称为补棱)，然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决1 .已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1的棱长都是 a,侧棱与底面成 60的角，侧面 BCGB底面 ABC(1)求证：ACXBC;(2)求平面 ABC 与平面 ABC 所成的二面角(锐角)的大小。2 :如图 5,

4、E 为正方体 ABCID-AB1C1D 的棱 CG 的中点，求平面 ABE 和底面 ABCD 所成锐角的余弦值.3 如图所示，四棱锥 P P-ABCDABCD 勺底面 ABCABC边长为 1 的菱形，/BCD=BCD=60。，E E 是 CDCD 的中点,PA1PA1 底面 ABCDPA=ABCDPA=2.(I)证明：平面 PBELPBEL 平面 PABPAB(n)求平面 PAPA 于口平面 PBPB 即成二面角(锐角)的大小角的平面角(锐角)P分析平面 ABE 与底面 AiBCiD 交线即二面角的棱没有给出，要找到二面角的平面角,四、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法

5、，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。1 如图，在五面体 ABCDE 叶,FA 平面 ABCD,AD/BC/FE,ABAD,M 为 EC 的中点，1 1AF=AB=BC=FE=AD2 2(I)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小；(II)证明平面 AMD 平面 CDE 求二面角 A-CD-E 的余弦值。2、如图，在直三棱柱 ABCAB1C1ABCAB1C1 中，平面 ABCABC 侧面 A A1 1ABBABB1 1.(I)(I)求证：ABBC;ABBC;

6、(n)(n)若直线 ACAC 与平面 ABCABC 所成的角为，二面角 ABCAABCA 的大小为，试判断与的大小关系，3 .如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD-AiBCD 中，求:(1)二面角 C-BD-C 的正切值(2)二面角 BiBCBiBC14 .过正方形 ABCD 勺顶点 A 作 PAPAA平面 ABCDABCD, ,设 PA=AB=a(1)求二面角 B-PC-DB-PC-D 的大小；(2)求二面角 C-PD-A5 .如图所示， 四棱锥 P PABCDABCDJ J 底面 ABABC C 史边长为 1的菱形,.下载可编辑./BCD=/BCD=60,E E 是 COWCOW 中点，

7、PA1PA1 底面 ABCDPA=ABCDPA=“.(1)证明：BEBE，平面 PABPAB(2)求二面角 A-BE-PA-BE-P 的大小(3)PB 与面 PAC 的角6 如图，在底面为直角梯形的四棱锥 PABCDPABCD 中,ADADBC,ABCBC,ABC90,90,PAPA 平面 ABCDABCD,PA3,AD2,AB2V3PA3,AD2,AB2V3,BC=6求证：BDBD 平面 PAC;PAC;(2)求二面角PBDA的大小.(3)求二面角 B-PC-A 的大小8.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形.已知AB3,AD2,PA2PDPD2 2 侦/PAB600(I)证明AD平面PAB；(n)求异面直线PC与AD所成的角的大小;7.如图，直二面角 DAB-E 中，四边形点