线段角的轴对称性单元练习

1、第二章线段、角的轴对称性一.选择题（共10小题）1. （2016?湖州）如图，AB/ CD, BP和CP分别平分/ ABC/ DCB AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,则点P至ij BC的距离是（）A. 8 B. 6C. 4D. 22. （2016?淮安）如图，在 RtABC中，/C=90 ,以顶点 A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AG AB于点M, N,再分另1J以点 M N为圆心，大于2 MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=4 AB=15,则4 ABD的面积是（）A. 15 B. 30 C. 45D. 603. （2016?德州）如图，在 ABC中，/

2、 B=55 , / C=30 ,分别以点 A和点C为圆心，大因于2 AC的长为半径画弧，两弧相交于点M, N,作直线MN交BC于点D,连接AD,则/ BAD的度数为（）A. 65° B, 60° C. 55° D, 45°4. 如图，已知点P是/ AOB角平分线上的一点，ZAOB=60 , PD± OA M是OP的中点，DM=4cm如果点C是OB上一个动点，则 PC的最小值为（）A. 2 B, 26C. 4 D, 4735.如图，在已知的 ABC中，按以下步骤作图:1分别以B, C为圆心，以大于 工BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M N;作直

3、线 MN AB于点D,连接CD.若 CD=AC / A=50° ,贝U / ACB的度数为（）A. 90° B. 95° C. 100°D. 105°6 .如图，锐角三角形 ABC中，直线l为BC的垂直平分线，射线 m平分/ ABC l与m相交 于 P 点.若/ A=60° , /ACP=24 ,则/ ABP等于（）A. 24° B. 30° C. 32° D, 42°7 .如图， ABC中，AB边的垂直平分线交 AB于点E,交BC于点D,已知AC=5cm ADC 的周长为17cm,则BC的长为

4、（）A. 7cm B. 10cm C. 12cm D. 22cm8.三角形ABC的三条内角平分线为 AE BF、CG下面的说法中正确的个数有（）ABC的内角平分线上的点到三边距离相等三角形的三条内角平分线交于一点 三角形的内角平分线位于三角形的内部三角形的任一内角平分线将三角形分成面积相等的两部分.A. 1个B. 2个 C. 3个D. 4个9 .如图，AD是4ABC的角平分线， DF! AB,垂足为F, DE=DG ADG AED的面积分别 为50和39,则4 EDF的面积为（）A. 11B, 5.5 C. 7D.10 .如图所示，点 P为 ABC三边垂直平分线的交点，PA=6,则点P到点C的

5、距离为PC满足（）A. PCX 6B. PC=6C. PO 6D.以上都不对二.填空题（共6小题）11 .（2016?西宁）如图，。呼分 / AOB/AOP=15 , PC/ OA PDL OA 点 D, PC=4 则 PD=r12 . （2016?遵义）如图，在 ABC中，AB=BC Z ABC=110 , AB的垂直平分线 DE交AC于点 D,连接BR则/ ABD=度.13 .如图所示，已知 ABC的周长是20, OB OC分别平分/ ABC和/ ACB ODL BC于D,且 OD=3则4 ABC的面积是 .14.如图， ABC中，DE是AC的垂直平分线， AE=4cm ABD的周长为14

6、cm,则 ABC的 周长为.C15.如图， ABC中，AB=AC D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交 AG AR AB于点E、 Q F,则图中全等的三角形的对数是 .16 .如图 ABC中，/ C=90 , AD平分/ BAC DEL AB于E,给出下列结论：DC=DEDA 平分/ CDEDE平分/ ADBBE+AC=AB/ BACW BDE其中正确的是 (写序 号)三.解答题(共5小题)17.如图，在RtABC, /C=90 , AB边的垂直平分线 DE交BC于点E,垂足为D.求证: / CAB=Z AED18.如图，已知:AB/ C口 / BAE=/ DCF AC, EF相交于点 M,

7、有 AM=CM(1)求证：AE/ CF;若 AM¥分/ FAE求证：FE垂直平分 AC.19.在 ABC中，AB边的垂直平分线 l 1交BC于D,AC边的垂直平分线l2交BC于E, l1与l2相交于点O. ADE的周长为6cm.(1)求BC的长；(2)分别连结 OA OB OC若 OBC勺周长为16cm,求OA的长.20.如图，点 P为 ABC三边垂直平分线的交点，若/ PAC=20 , / PCB=30 ,求/ PAB的21.如图，AD为4ABC的角平分线，D已AB于点E, DF,AC于点F,连接EF交AD于点G.(1)求证：AD垂直平分 EF;(2)若/ BAC=60 ,猜测 D

8、G与AG间有何数量关系请说明理由.度数.参考答案一.选择题（共10小题）1. （2016?湖州）如图，AB/ CD, BP和CP分别平分/ ABC/ DCB AD过点P,且与AB垂直.若）A. 8B. 6C. 4D. 2PA=PE【分析】过点P作PE! BC于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 PD=PE 那么 PE=PA=PD 又 AD=3 进而求出 PE=4.【解答】 解：过点P作PE± BC于E,1. AB/ cq PAI AB, pd± cq.BP和CP分另1J平分/ ABC和/ DCBPA=PE PD=PEPE=PA=PD. PA+PD=AD=8PA=

9、PD=4PE=4.故选C.BC熟记性质并作辅助线是【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质, 解题的关键.2. （2016?淮安）如图，在 RtABC中，/C=90 ,以顶点 A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AG AB于点M, N,再分另1J以点 M N为圆心，大于2 MN的长为半径画弧，两弧交于 点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=4 AB=15,则4 ABD的面积是（）C.；NBA. 15B. 30 C. 45D. 60【分析】判断出AP是/ BAC的平分线，过点 D作DE!AB于E,根据角平分线上的点到角的 两边距离相等可得 DE=CD然后根据三角形的面积公式列式

10、计算即可得解.【解答】 解：由题意得 AP是/BAC的平分线，过点 D作DE! AB于E,又/C=90 , . DE=CDJJ 1_ . ABD的面积=2 AB?DE=!X 15X 4=30.故选B.熟记【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法, 性质是解题的关键.3. （2016?德州）如图，在 ABC中，/ B=55 , / C=30 ,分别以点 A和点C为圆心，大11于2 AC的长为半径画弧，两弧相交于点M, N,作直线MN交BC于点D,连接AD,则/ BADA. 65° B. 60° C. 55° D, 45°【

11、分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC根据等腰三角形的性质得到/C=Z DAC求得/ DAC=30 ,根据三角形的内角和得到/ BAC=95 ,即可得到结论.【解答】 解：由题意可得：MN AC的垂直平分线，贝U AD=DC 故/ C=z DAC /C=30 ,/ DAC=30 , / B=55° ,/ BAC=95 , .Z BAD=/ BAG- / CAD=65 ,故选A.【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键.4.如图，已知点P是/ AOB角平分线上的一点，ZAOB=60 , PD± OA M是OP的中

12、点，DM=4cm 如果点C是OB上一个动点，则 PC的最小值为（）A. 2B. 2 ： ；C. 4D. 4 ,-L/【分析】根据角平分线的定义可得/ AOP= AOB=30 ,再根据直角三角形的性质求得工PD=OP=4然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到结果.【解答】 解：.P是/ AOB角平分线上的一点，/ AOB=60 ,Z/ AOP= AOB=30 ,PD）± OA M是 OP的中点，DM=4cm .OP=2OM=8工 .PD=： OP=4 点C是OB上一个动点，二PC的最小值为P到OB距离，二PC的最/、值=PD=4故选C.【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等

13、的性质，直角三角形的性质，熟记性质并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键.5.如图，在已知的 ABC中，按以下步骤作图：分别以B, C为圆心，以大于2 BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M N;作直线 MN AB于点D,连接CD.若 CD=AC / A=50° ,贝U / ACB的度数为（）A. 90° B. 95° C. 100°D. 105°【分析】由CD=AC ZA=50° ,根据等腰三角形的性质，可求得/ADC的度数，又由题意可得：MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：CD=BD则可求得/ B的度数,继而求得

14、答案.【解答】 解：CD=AC ZA=50° , /ADChA=50° ,根据题意得：MN是BC的垂直平分线，.CD=BD / BCDh B,L./ B=2 ZADC=25 ,，/ACB=180 - Z A- /B=105 .故选D.注意垂直平分线上任意m平分/ ABC l与m相交【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质. 一点，到线段两端点的距离相等.6.如图，锐角三角形 ABC中，直线l为BC的垂直平分线，射线 于 P 点.若/ A=60° , /ACP=24 ,则/ ABP等于（）A. 24° B, 30° C. 32&

15、#176; D. 42【分析】根据角平分线定义求出/ ABP=Z CBP；根据线段的垂直平分线性质得出BP=CP求出/CBPW BCR根据三角形内角和定理得出方程3/ABPh240 +60° =180° ,求出方程的解即可.【解答】解：: BP平分/ ABC / ABP土 CBP 直线l是线段BC的垂直平分线，.BP=CP/ CBP=/ BCR / ABP土 CBP4 BCP, /A+/ ACB吆 ABC=180 , Z A=60° , / ACP=21 , 3Z ABP+?4° +60° =180° ,解得：/ ABP=32 ,故选

16、：C.【点评】 本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用， 能求出/ ABP=/ CBP=/ BCP是解此题的关键，数形结合思想的应用.7.如图， ABC中，AB边的垂直平分线交 AB于点E,交BC于点D,已知AC=5cm ADC的周长为17cm,则BC的长为（）22cm【分析】根据三角形周长求出 AD+DC=12crm艮据线段垂直平分线求出 AD=BD求出BC=AD+DC 即可得出答案.【解答】 解：.AC=5cm ADC勺周长为17cm,，AD+DC=12cm.AB的垂直平分线 DEBD=AQBC=BD+DC=AD+DC=12 cm故选：C.【点评】本题考查了

17、线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.8.三角形ABC的三条内角平分线为 AE BF、CG下面的说法中正确的个数有（）ABC的内角平分线上的点到三边距离相等三角形的三条内角平分线交于一点三角形的内角平分线位于三角形的内部三角形的任一内角平分线将三角形分成面积相等的两部分.A. 1个B. 2个 C. 3个D. 4个【分析】画出图形，设 。为/ BAC的角平分线和/ ACB的角平分线的交点，过 。作ONLAB 于 N, OML BC于 M OQL AC于 Q,求出 ON=OM=OQU断即可. 设。为/ BAC的角平分线和/ ACB的角平分线的交点，过 。作O

18、NL AB于N, OML BC于MOQL AC于 Q.ON=OQ OQ=OM，ON=OM=O Q . ABC的三个内角的角平分线的交点到三角形三边的距离相等，错误；,. ONL AB, OML BC, ON=OM .O在/ ABC的角平分线上，即。是 ABC的三个角的平分线交点，正确； 三角形的三个内角的平分线都在三角形的内部，正确；三角形的任意中线把三角形的面积分为面积相等的两部分，而三角形的任意角平分线不一定把三角形的面积分成面积相等的两部分，错误；故选B.【点评】本题考查了三角形的角平分线性质和三角形的中线性质，主要考查学生的推理能力和辨析能力.9.如图，AD是4ABC的角平分线， DF

19、，AB,垂足为F, DE=DG ADG AED的面积分别 为50和39,则4 EDF的面积为（）A. 11B, 5.5 C. 7 D.【分析】 作DM=D& AC于M彳DNL AG利用角平分线的性质得到DN=DF将三角形EDF的面积转化为三角形 DNM勺面积来求.【解答】 解：作DM=D& AC于M,彳DN! AC于点N, DE=DG.DM=DG 人口是 ABC的角平分线， DF,AB,.DF=DN在 RtDEF和 RtADMhN,rDN=DF叫二 DE, RtADEf RtADMN(HL.), ADG AED的面积分别为 50和39, ''' Samd

20、(=Saadg_ Saadi=50 39=11 ,X 11 = .L 1Sa dnmtSa ed= Samd= '"故选B.BDC解题的关键是正确地作出【点评】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质, 辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求.PA=6,则点P到点C的距离为PC满10 .如图所示，点 P为 ABC三边垂直平分线的交点, 足（）A. PCX 6B. PC=6 C. PO 6D.以上都不对【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到PC=PA得到答案.【解答】 解：二点P为 ABC三边垂直平分线的交点，PC=PA=6故选：B.【点评】此题主要考

21、查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.二.填空题（共6小题）11 . （2016?西宁）如图，OP平分/ AOB ZAOP=15 , PC/ OA PDL OA于点 D, PC=4 贝U PD=【分析】作PH OAT E,根据角平分线的性质可得 PE=PD根据平行线的性质可得/ ACP= /AOB=30 ,由直角三角形中 30。的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得 PE,即可求 得PD.【解答】解：作PE! OA于E, /AOPh BOP PDL OR PEI OAPE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）， / BOPh AOP=1

22、5 , / AOB=30 ,1. PC/ OR ./ ACP=/ AOB=30 , 1_ 工在RtPCE中，PEPC工X4=2 （在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一 半），PD=PE=2故答案是：2.【点评】此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，难度一般，作辅助线是关键.12. （2016?遵义）如图，在 ABC中，AB=BC Z ABC=110 , AB的垂直平分线 DE交AC于点 D,连接BR则/ ABD= 35 度.【分析】由已知条件和等腰三角形的性质可得/A=Z C=35 ,再由线段垂直平分线的性质可求出/ ABD=/ A,问题得解.【解答】 解：二.在 A

23、BC中，AB=BC Z ABC=110 ,/ A=Z C=35 ,.AB的垂直平分线 DE交AC于点D,.AD=BQ/ABD4 A=35 ,故答案为：35.【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，熟记垂直平分线的性质是解题关键.13.如图所示，已知 ABC的周长是20, OB OC分别平分/ ABC和/ ACB ODL BC于D,且OD=3则4 ABC的面积是 30 .B D C【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AR AG BC的距离都相等（即OE=OD=OF从而可得到 ABC的面积等于周长的一半乘以 3,代入求出即可.【解答】 解：如图，连接 O

24、A过O作OEL AB于E, OF! AC于F, BD.OR OO另1J平分/ ABC和/ACB.OE=OF=OD=3.ABC 的周长是 22, ODL BC于 D,且 OD=3工 上 工 Saabc=2 X ABX OE在 X BCX OD+ X ACX OF/ X ( AB+BC+AC X 3=220X 3=30,故答案为：30.【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键.14 .如图， ABC中，DE是AC的垂直平分线， AE=4cm ABD的周长为14cm,则 ABC的 周长为 22cm .【分析】 根据线段垂直平分线性质求出A

25、D=DC根据 ABD的周长求出AB+BC=14cm即可求出答案.【解答】 解：DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，AC=2AE=8cm AD=DC.ABD的周长为14cm,.AB+AD+BD=14c mAB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=14cm . ABC的周长为 AB+BC+AC=14cm+8cm=22cm故答案为：22cm【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能运用性质定理求出 AD=DC是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.15 .如图， ABC中，AB=AC D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交 AG AR AB于点E、O F,则图

26、中全等的三角形的对数是4 .C【分析】 由AB=AC D是BC的中点，易得 AD是BC的垂直平分线，则可证得 ACN ABD OCD OBD AO冬 AOB又由EF是AC的垂直平分线，证得 OC孽 OAE【解答】 解：.AB=AC D是BC的中点，.Z CADh BAR ADL BC, .OC=OB在 ACM 口 ABD 中，tAD=AD. .AC阴ABD (SAS;同理： CO星 BOD 在 AOC AOB 中，OA=OA OC=OB AC=AB,.OA挈 OAB (SSS ；.EF是AC的垂直平分线，.OA=OC / OEAh OEC=90 , 在 Rt OA讶口 Rt OCE,f OA-

27、OC10E=dE,RtAOAE RtAOCE(HL.).故答案为：4.【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质.注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.16.如图 ABC中，/ C=90 , AD平分/ BAC DEL AB于E,给出下列结论：DC=DEDA 平分/ CDEDE平分/ ADBBE+AC=AB/ BAC=Z BDE其中正确的是 (写 序号)【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DC=DE判断正确，然后利用“HL'证明RtAACM RtAED全等，根据全等三角形对应角相等可得/ADCh ADE，判断正确；全等三

28、角形对应边相等可得AC=AE然后求出BE+AC=AB判断正确；根据同角的余角相等求出/ BACW BDE判断正确，并得到错误.【解答】解：./C=90 , A叶分/ BAC DEI AB, DC=DE故正确；fAD=AD 在 Rt AC讯 Rt AED中， DE=DC , RtAACID RtAAEt)(HL.), /ADChADE AC=AE DA平分/ CDE故正确； BE+AC=BE+AE=A 瞅正确； / BAC+Z B=90° ,/BDE+ZB=90° , 丁./ BAC4BDE故正确； . / ADE-+Z BAD=90 ,而/ BAt> / B, . /

29、 BDg / ADE DE平分/ ADB错误，故错误；综上所述，正确的有.故答案为：.【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，是基础题，求出三角形全等是解题的关键.三.解答题(共5小题)17 .如图，在Rt ABC, /C=90 , AB边的垂直平分线 DE交BC于点E,垂足为D.求证: / CAB之 AED【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE再由直角三角形的性质即可得出结论.【解答】 证明：.DE是线段AB的垂直平分线， .AE=BE Z ADE=90 , / EAB土 B.在 Rt ABC中, /C=90 , /

30、CAB吆 B=90° .在 RtADE中， ,/ADE=90 , / AED4Z EAB=90 , / CAB4 AED【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键.18 .如图，已知： AB/ C口 / BAE=Z DCF AC, EF相交于点 M,有 AM=CM(1)求证：AE/ CF;若 AM¥分/ FAE求证：FE垂直平分 AC.【分析】(1)先根据 AB/ CD得出/ BACh DCA再由/ BAE4 DCF<知/ EAM= FCM故可 得出结论；(2)先由 AMFF分/ FAE得出/ FAM

31、h EAM 再根据/ EAMh FAMK知/ FAMN FCM 故 FAC 是等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质即可得出结论.【解答】(1)证明：AB/ C口2 .Z BAC4 DCA又 / BAE4 DCR3 / EAMh FCM4 .AE/ CF;(2)证明：.AMff分/ FAE,5 / FAMh EAM又 / EAMW FCM6 / FAMh FCM7 . FAC是等腰三角形，又 AM=CM.FM± AC,即EF垂直平分 AC【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键.19.在 ABC中，AB边的垂直平分

32、线l i交BC于D, AC边的垂直平分线12交BC于E, l i与12相交于点O. 4ADE的周长为6cm.(1)求BC的长；(2)分别连结 OA OB OC若 OBC勺周长为16cm,求OA的长.【分析】(1)先根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD AE=CE再本据AD+DE+AE=BD+DE+CE即可得出结论；(2)先根据线段垂直平分线的性质得出OA=OC=OBM由, OBC勺周长为16cm求出OC的长，进而得出结论.【解答】 解：(1) .DF、EG分别是线段AR AC的垂直平分线，.AD=BQ AE=CEAD+DE+AE=BD+DE+CE=BC. ADE的周长为 6cm,即 AD+DE+AE=6cmBC=6cm(2) AB边的垂直平分线