高一数学充分条件与必要条件2(教师)

1、学科教师辅导讲义讲义编号学员编号:学员姓名:年 级：高一辅导科目：数学课时数：学科教师：课 题四种命题形式充分条件与必要条件授课日期及时段教学目的1、理解四种命题的形式及其相互关系，能写出一个简单命题的逆命题，否命题，逆否命题2、理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，能在简单的问题情境中判断条件的充分性、必要性或充分必要性。教学内容【知识梳理】1 .什么是命题？命题的四种形式？四种命题的关系？如何写命题的否定形式?2 .什么是推出关系？3 .如何通过证明逆否命题来证明一个命题的真假？4 .什么是充分条件？什么是必要条件？什么是充要条件？5 .如何从子集的角度来理解推出关系？6 .如何从子集的

2、角度来理解充分条件与必要条件？1、判断真假的语句称为命题，通常用陈述句表述。命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题;2、四种命题：原命题，否命题，逆命题，逆否命题，记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非 p则非q"，逆命题为“若q则p "，逆否命题为"若非 q则非p 其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。3.逆命题如果，那末,互否逆否命题 如果二那末4 .在写命题的否定形式时，既要否定条件，又要否定结论。这件事也成立。推出关系可以转化为判断其逆否命5 .推出关系是数学证明中最重要的逻辑关系，表示如果 这件事成立，则可推

3、出具有传递性。如果两个命题，A,BA B,且B A,则称A,B为等价命题。6 . 一个命题和它的逆否命题等价，二者同真同假，所以当直接证明原命题的真假有困难时,题。7 .子集与推出关系指集合的包含关系与集合性质的推出关系，例如若A B,则A Bo【典型例题分析】例1、判读命题：“若 a与b的积不是有理数，则 a,b至少有一个不是有理数”的真假，并说明理由。说明：本题主要考察命题的证明(间接证明的方法)，原命题与其逆否命题的等价关系。证明：假设a, b Q,可设a m, b t(m,n, s,t Z,m 0, s 0),则ab= Q ,与条件矛盾，所以 a,bnsms至少有一个不是有理数注意：“

4、至少有一个不是”的否定是“都是”，本题不用直接证明而是证明逆否命题，其原因是：“不是有理数”不如“是有理数”容易用数学语言表达，“是有理数”即“可写成分数形式”变式练习：1 .若实数 a,b,c,d 满足 a+b=1,c+d=1,ac+bd>1,求证 a,b,c,d 必有一个负数。证明：设 a,b,c,d 都大于等于 0, a+b=1,c+d=1 得(a+c) (b+d)=1,故 ac+bd+ad+bc=1,又 ac+bd>1,得 ad+bc<0,这与 a,b,c,d都大于等于0矛盾，所以a,b,c,d必有一个负数。2 .已知两个关于x的一元二次方程 x2 2x 2 a 0,

5、 ax2 4x 1 0中至少有一个方程有实数根，求实数a组成的集合。解：假设两个方程都没有实数根，则有即4 a 1且a 01 4 4(2 a) 0a 1a 0解得：a 02 16 4a 0a 4所以符合题意的实数 a组成的集合是a a4或a0或a1例2、求“方程x2 11x 30 a 0的两根均大于5 "的一个充要条件。说明：本题考察充分、必要性的判定和证明。解：由方程两个均大于 5知：2112 4(30 a)>0,11 (X 5) (x2 5) 00 a -，所以0 a 一是方程两根均大于 5的充要条件。44x2 11x 30 a 0的两根均大于 5(x1 5)(x2 5)注

6、意：一般我们解题时所求的条件指的都是充要条件，本题若改为“求使方程的a的取值范围。”那么所得到的结论与本题的结论是一致的。 变式练习：221、已知函数f(x) (a 1)x (a 1)x 3,试写出“ f(x)>0对任意x R都成立”的一个充分不必要条件。证明：充分非必要条件：a1。因为a 1时f(x) 3,满足f (x) 0对任意x R都成立，而f (x) 0对任意x Ra2 1都成立，可推出：aa 10 或 a2 1 00(a 1)212(a2 1)13°，即一，”，)。.、.13事实上，a (,)U1,11)是函数f (x)0对任意xR都成立都成立的充要条件。必要性已证，

7、充分性证明：当 a 1时，f(x)0对任意xR都成立都成立(已证)1>1,) 时,(a 1)212(a21)0 ,又由a2 1 0知f (x) 0对任意x R都成立。综上，a13，一， ，一(,)U1,)时，函数f(x) 0对任意R成立。2、 ( 1)是否存在实数 p,使得“ 4x+p<0”是“ x2 x0”的充分非必要条件？如果存在，求出 p的取值范围。是否存在实数 p,使得“ 4x+p<0”是“ x2 x 20 ”的必要非充分条件？如果存在，求出p的取值范围。的解集证明：(1)题中“ 4x+p<0”是“ x2 x 2 0”的充分非必要条件说明4x+p<0 x2

8、 x 2 0,即4x+p<0A是x2 x 2 0解集B的子集(A B),且x2 x 2 0的解集不是4x+p<0解集的子集，所以当即p>4时A B，但对一切实数p, B都不会是A的子集。(2)条件要求B A,没有实数p满足此条件，故p不存在。x2 6x 9例 3、(1) 已知集合 M x | x 4x 4 0,集合 N= M x |2 0,则 x(x 2)2条件条件。(2)已知条件p：|x+1|>2,条件q:5x-6>x2 ,则q是p的说明：本题从子集的角度去判定充分条件与必要条件。解：对集合M,N进行化简，因为 Mx|x2 4x 4 0=(- ,-2)(2,+)

9、,N= Mx|6x 9(x 2)20=(-,-2)(2,3)(3,+)，所以N M (N是M的真子集)，于x N ”的必要非充分条件。注意：“A是B的真子集”等价于是的充分非必要条件”变式练习：1 .已知 x, y R,(1)已知：x 1且y 2, : x y 3且xy 2,判断是的什么条件？(2) :x1且y2的一个充要条件。(3) :x0且y0, ：x ( y) 0且x(-y)0,判断是的什么条件？(4)写出：x 1且y 2的一个充要条件。解：(1)充分非必要条件(2)(x 1)+(y 2)0且(x 1)(y 2) 0(3)充要条件(4) (x 1)+(2 y) 0且(x 1)(2 y)

10、0例4、已知x, y R,判断 是 的什么条件：(1) : x0且y0, : x y0且xy0(2) : xy 3,: x 1且 y 2说明：本题借助几何轨迹判定两个点集之间的包含关系。解：(1)记A= (x,y) |x 0, y 0，记B= (x,y)| x y 0,xy 0 ,易知集合A对应坐标平面上第一象限内的所以点，至于集合B, xy 0说明点(x,y)不在第三象限，即集合B也对应坐标平面上第一象限内的所有点，故A=B,于是， 是 的充要条件。说明：对于点集 A、B,如果A B,则A对应的图形的一部分，如果 A=B ,则A对应的图形与 B对应的图形 重合，如果 A与B互不包含，则 A对

11、应的图形不全在 B对应的图形上，同时B对应的图形不全在 A对应的图形上。变式练习：1 . (1)已知集合 M (x,y)|x2 y2 9,集合 N ( x, y) | 3 x y 3,x,y Z,则 x M 是x N 的 条件。(既非充分也非必要条件)(2)已知集合p:-1<m<5,条件q：方程x2 2mx m2 1 0的两根均大于-2小于4,则p是q的 条件。(必要非充分条件)2 .已知x, y R,判断 是 的什么条件？(1) x 0或 y 0,: x2 y2 0 (充要条件)(2):1, : y x 1(充分非必要条件)x 2分析：记A=(x,y)|(x,y)使得 成立，记B

12、= (x,y)|(x,y)使得 成立，借助集合 A,B在坐标平面上的几何轨迹可直观地判定这两个集合之间的子集关系，进而可判定与 之间的条件关系。例5、已知条件p：x2 3x 2 0,条件q:x2 ax b 0（a2 4b>0），若q是p的充分非必要条件，求实数 a,b的值。分析：记P=x|x使得p成立,Q=x|x使得q成立,分析依题意知，Q是P的真子集，据此可以求出参数p,q的值。解：记P=x| x2 3x 2 0 ,Q=x| x2 ax b 0 ,依题意，q是p的充分非必要条件，故Q是P的非空真子集，,a 2 , a 4由此可知，Q= 1或 2,相应于或b 1 b 4变式练习：已知关于

13、x的方程：（1） mx2 4x 4 0,（2） x2 4mx 4m2 4m 5 0,m Z ,求是的方程（1） （ 2）的根都是整数的充要条件分析：可求使得方程（1）和方程（2）的根都是整数的必要条件，然后检验其充分性， 这也是处理问题的一般性方法。4 4斛：设万程mx 4x 4 0的根xx2者B是整数，则x1x2=为整数，故m 1, 2, 4 ,考虑到x1+x2=一,于是只 mm剩下m=1为可能，这就表明 m=1是方程（1）和方程（2）的根都是整数的必要条件，另一方面，当 m=1时，方程（2）的根都是整数的必要条件，另一方面，当 m=1时，方程（2）的两根为-1和5,这就表明，m=1是方程（

14、1）和方程（2）的根都是整数的充分条件，综上，所求充要条件为m=1【课堂小练】1 .命题“棱形的对角线互相垂直且平分”的否命题是（）（A）棱形的对角线不互相垂直，也不互相平分（B）棱形的对角线不互相垂直，或不互相平分（C）如果一个四边形不是棱形，则它的对角线互相垂直，但不互相平分（D）如果一个四边形不是棱形，则它的对角线互相垂直，或不互相平分2 .如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的（）A.否命题必是真命题B.否命题鄙视假命题C.原命题必是假命题D.逆否命题必是真命题解析：一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假相同，答案为 Ao3 .设m,n是整数，则“ m,n均为偶数”是“

15、m+n是偶数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件解析：如果 m,n均为偶数，则 m+n一定是是偶数；反正，如果 m=1,n=3, m+n=4是偶数，但此时m,n均不是偶数，所以“m,n均为偶数”是“ m+n是偶数”的充分不必要条件。4 .设集合A,B 是全集 U的两个子集，则 A B（A是B的真子集）是CUA B U的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：画出韦恩图，很容易看出来。答案为 A5、用推出符号“”、“”或“ ”把、两件事联系起来：2(1) : x N _ : X2 N(2) : ab=0 :

16、 a=0 或 b=0(3) :四边形ABC比平行四边形 :四边形ABC比矩形(4) ： a 4 :方程x2 ax 4 0有实数解6 . “xy 2”是“x 1或y 2”的 条件。7 .写出命题“若 a、b都是奇数，则a b是偶数”的逆否命题： 8 .写出1 a b 10的一个充分不必要条件 9、已知：a,b Z,求证：若a-b不是偶数，则a,b不全为奇数。证明：假设a,b全是奇数，则设 a=2m+1,b=2n+1, m, n Z ,那么：a-b=(2m+1)-(2n+1)=2(m-n), 因为m, n Z ,那么(m-n) Z ,那么a-b是偶数，与a-b不是偶数矛盾，所以假设不成立，那么a

17、,b不全为零。10、若Ay|y x2 4x 6,Bx|a 1 ,试写出B A的一个充分非必要条件，并说明理由。x答案：答案不唯一，如 a 52_11、.求关于x的方程ax 2x 10至少有一个负实数根的充要条件“，,1 ，=4 4a>0解：当a=0时，x=- -满足条件 2当a 0时，若方程两根一正一负，则=4 4aA 0若方程两根均为负，则综上：a 112 .将下列命题改成“若 p则q”的形式，写出逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假。(1)负数的平方是正数；(2)四条边相等的四边形是正方形。2均大于1的什么条件?13 .设、 是方程x -ax+b 0的两个实根，试分析：a>

18、;2且b>1是两根2 2a x14、.已知命题p:方程a xax 20在-1,1上有解；命题q:只有一个数学x满足不等式x2 2ax+2a0,若不等式p和q中至少有一个是假命题，求 a的取值范围。15.设:2a 1 x 3a 2,:1 x 8,若 是 的充分非必要条件，求 a的取值范围。16.判断“ba 0 ”是“对于任意0x1,使一次不等式ax b 0恒成立”的什么条件，并说明理由【课堂总结】1、思考回顾：1 .如何写一个命题的否定形式？要注意的问题是什么？如何用逆否命题来证明原命题的真假？2 .理解什么是充分不必要条件，什么是必要不充分条件，什么是充要条件，既不充分也不必要条件。3

19、.如何从子集的角度来理解推出关系，如何从子集的角度来理解充分条件与必要条件。【课后练习】1、判断命题“两个奇数的平方差是8的倍数”的真假，并给出证明。真命题证明：设任意的两个奇数为 2m 1、2n 1, m Z,n Z22则(2m 1)(2n 1)4(m n)(m n 1)若m与n同为奇数或偶数，则(m-n)为偶数所以(2 m1)2(2n1)2 4( mn)(mn 1)是 8 的倍数若m与n为一奇数一偶数，则(m+n+1)为偶数所以(2 m1)2(2n1)2 4(mn)(mn 1)是 8 的倍数综上可知：(2m1)2(2n 1)24(mn)(m n 1)是8的倍数，所以命题为真命题d c2、 命题甲：ax b cx d(a,b,c,d R)；命题乙：x ,试判断命题甲与命题乙的推出关系。a c一 . d c 证明：当x ,有ax b cx d ,故命题甲命题乙；但当a=c,b=d时，有ax b cx d成立,而x可取一切实数，故命题甲不能推出命题乙23、 求证：二次方程ax bx c 0有一根为1的充要条件是a+b+c=0。证明：(1)充分性 若a b c 0将x 1代入方程得a?12 b?1 c a b c 02所以x 1是二次万程ax bx c 0的一个根。(2)必要性 若x 1是二次方