选修空间向量知识点归纳总结

1、精心整理第三章空间向量与立体几何1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量(2)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2.空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。uuuruuuuuirrvuuruuruuurrruuurOBOA ABab ； BAOA OBa b ; OPa(R)运算律：加法交换律：abba加法结合律：(a b) c a (b c)数乘分配律：(a b) a b3.共线向量。(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，

2、那么这些向量也叫做共线向量或 平行向量，a平行于b ,记作a/b 。当我们说向量a、b共线(或a b )时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线, 也可能是平行直线。i (X y' 'i I产：¥ i £ /1(2)共线向量定理：空间任意两个向量 a、b ( b w 0 ), a/ b存在实数入，使a =入b c 4.共面向量(1)定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。 rr(2)共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数x,y使r r J p xa yb o5 .空间向

3、量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有 序实数组x, y, z ,使p xa yb zC。若三向量a,b,c不共面，我们把a,b,&叫做空间的一个基底，a,b,r叫做基向量，空间任意三个x,y,z,（两个向不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设O,A, B,C是不共面的四点，则对空间任一点 P,都存在唯一的三个有序实数 uuiruuu uuu uuur使 OP xOA yOB zOC。6 .空间两向量的夹角：已知两个非零向量石，在空间任取一点0,作发二晨 通二量的起点一定要相同)，则叫做向量G与上的夹角，记作,且父兄8 >=<

4、;；$、07 .空间向量的直角坐标系:(1)空间直角坐标系中的坐标:在空间直角坐标系O xyz中，对空间任一点A,存在唯一的有序实数组(x, y,z),使 OA xi yi zk ,有序实数组(x, y,z)叫作向量 A在空间直角坐标系O xyz中的坐标，记作A(x, y, z) , x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标 (2)右手直角坐标系：右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以90°角度转向正向y轴时，大拇 指的指向就是z轴的正向；r r r(3)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1,这个基底叫单包正父基底，用i,j,k精心整理表示。(4)空间向量的直州坐标运算律:若 a

5、 (a1,a2,a3) , br ra b (现片总 b2,a3 r ra b (a1 b1,a2 b2a r ra b a1bl a2b2 a3 b3,(bb,h),则b3), rb3) , a ( aa2, a3)(R)，r ra/br ra bab1,a2b2,a34( R)或会bia2 a3b2 b3a1bl a2b2 a3b3 0。 uujr若 A(x1,y1，Z1) , B(x2,y2, Z2),则 AB (x? x1，y? NS z1)。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 rr(5)模长公式：若a (科，b (b1,b2,b3),则

6、|a| a aa； a22 a32 , |b | , b bJb； b22 42r r'(6)夹角公式：cos(a b) 金J2b2屋祗_1a| |b| - a； a22 a32. b： b22 t(7)两点间的距离公式：若 A(x1, y1, z1) , B(x2, y2, z2),则 1ABi JABT 叔 x1)2 (y2 y1)2 (x Z1)2 ,或 dA,B;(x2 x1)2 (y2y1)2 (Z24)2空间线段*,*2-22)的中点M(x，y，z)的坐标：，一，中(9)球面方程：x y z R在空间任取一uuu一点。，作OAr uuu r a,OB b ,r r显然有 a

7、,br rb,a ;若r b8 .空间向量的数量积。(1)空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a 一一 r , r , 一 、 ， r r 则aob叫做向量a与b的夹角，记作a,b ；且规定r rr rr ra,b ,则称a与b互相垂直，记作：a b o2uuu rurnrr(2)向量的模：设oa a,则有向线段oa的长度叫做向量a的长度或模，记作：内|。rrrrr r(3)向量的数量积：已知向量a,b ,则|a| |b | cos a, b叫做a,b的数量积，记作a b ,即 r r r r r r a b |a| |b| cos a,b 。(4)空间向量数量积的性质：a e |a|cos

8、 a,e 。a b a b 。1a， a a=(a)2, a ，2(5)空间向量数量积运算律：r rr r r r(a) b(a b) a ( b)。r r r ra b b a (交换律)。a (b C) a b a c (分配律)9、空间向量在立体几何证明中的应用:(1)uuu uuur证明AB/CD ,即证明AB/CD ,也就是证明ala2a3abi, a2b2, a3b3 或bib2b3(2)(3) 共面;证明AB证明AB/uur uuurCD ,即证明AB CD 0 ,也就是证明aibi a2b2 a3b3 0uuuuur(平面)(或在面内)，即证明AB垂直于平面的法向量或证明 AB

9、与平面内的基底uuuuur(4)证明AB 对应的向量；(5)证明两平面 个平面；(6)证明两平面,即证明AB平行于平面的法向量或证明 AB垂直于平面内的两条相交的直线所/ (或两面重合)，即证明两平面的法向量平行或一个面的法向量垂直于另一,即证明两平面的法向量垂直或一个面的法向量在另一个面内。10.运用向量的坐标运算解题的步骤：(1)建坐标系，求相关点的坐标(2)求相关向量的坐标(3)运用向量运算解题11 .用向量方法来解决立体几何中的空间角的问题:(1)两条直线的夹角：r r设直线l ,m的方向向量分别为a,b,cos=cos a, b两直线l , m所成的角为(0w w),2(2)直线与平

10、面的夹角：直线l与平面所成的角为(0w < -), sin au=cos a, u设直线l的方向向量分别为a,平面 的法向量分别为u au(3) 二面角：0方向向量法：法向量法：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角12 .利用“方向向量”与“法向量”来解决距离问题(1)点与直线的距离:(2)点到平面的距离：d=uuu r| PA n|-uu1|n|如图A ，空间一点P到平面分析：过P作POL 于O,连结 uuuruuu则 d=| PO |= | PA | cos APO.uuu r uuir rv PO 1 , n,. PO / n.uuu

11、r . cos / APO=|cos PA, n |.r uuu r的距离为d,已知平面 的一个法向量为n,且AP与n不共线,OA.uuuuur rd=| PA 11cos PA, n | =uuu| PA uur- |n|r n|CDn AB角为(2)AB与AC所成的2,与二面角的棱(3)异面直线间的距离:已知a,b是异面直线，CD为a,b的公垂线，n是直线CD的方向向量，入b分别在直线a,b上(4)其它距离问题：平行线的距离(转化为点到直线的距离) 直线与平面的距离(转化为点到平面的距离) 平面与平面的距离(转化为点到平面的距离)13.补充：(1)三余弦定理设AC是a内的任一条直线，且 B

12、C±AG垂足为G又设AO与AB所成的角为2, AOW AC所成的角为.则 cos cos 1cos 2.三射线定理一；1若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是(3)2 2 2所成的角是9,贝m sin sin sin| 12 |180( 12) (当且仅当,21 sin 2 2sin sin90o时等号成立).点Q到直线l距离h 1 (|a|b|)2 (a b)2|a|(点P在直线l上，直线1的方向向量2 cosuuu a=PA ,uur向量b=PQ).(4)异面直线上两点距离公式,h2 m2 n2 m2mncos .-22uur uuu',h m n

13、2mncos EA , AF :Jh2 m2 n2 2mncos ( E AA' F)(两条异面直线a、b所成的角为8 ,其公垂线段AA的长度为 _ 'F, AE m, AF n, EF d).(5)三个向量和的平方公式(6)长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 则有h.在直线a、b上分别取两点E、l1、l2、l3,夹角分别为1、2、32222222222ll1l2 l3cos 1 cos 2 cos 3 1 sin 1 sin 2 sin(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).(7)面积射影定理(S旦cos.'一.(平面多边形及其射影的面积分别是 S、S，它们所在平面所成锐二面角的为).(8)斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别是 S"侧和V斜棱柱，它的直截面的周长和面积分别 是c1和S1,则S斜棱柱侧 cilV斜棱柱Sil(9)欧拉定理(欧拉公式)V F E 2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F). E二各面多边形边数和的一半.特别地，若每个面的边数为n的多边形，则面数F