高等数学详细解题方法

1、北京电大开放教育本科高等数学课程入学水平测试网上辅导材料一、参考书目高等数学(上)(第一分册)(柳重堪主编，中央广播电视大学出 版社出版。、内容要求一元函数微分学、一元函数积分学两个部分，包括函数、极限与连续、 导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分及其应用等方面的知识。试题类型分为单项选择题、填空题和解答题。单项选择题的形式为四选 一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写 结果，不必写出计算过程和推理过程；解答题要求写出文字说明、演算步骤 三种题型分数的百分比大约为：单项选择题与填空题40%解答题60%水平测试试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在试卷中

2、 的比例为：4:4:2 。水平测试采用闭卷笔试形式，卷面满分为 150分，考试时间为90分钟。(一) 函数1 .理解函数的概念；掌握函数y = f(x)中符号f ()的含义；了解函数的两要素；会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等。两个函数相等的 充分必要条件是定义域相等且对应关系相同。2 . 了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性若对任意x ,有f(-x) = f(x),则f (x)称为偶函数，偶函数的图形关于y轴对称。若对任意x,有f(-x)=-f(x),则f(x)称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称。3 .熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形

3、基本初等函数是指以下几种类型：常数函数：y=c幕函数：y = xa (a为实数) 指数函数：y=ax (a>0,a=1)对数函数：y=logax (a > 0, a 1) 三角函数： sin x, cosx, tan x, cot x6) 反三角函数： arcsin x, arccosx, arctan x4 . 了解复合函数、初等函数的概念，会把一个复合函数分解成较简单的函数。如函数 y = earcta”(l4x)，可以分解 y=eu, u=v2, v = arctanw, w = 1 + x。分 解后的函数前三个都是基本初等函数，而第四个函数是常数函数和幕函数的 和。5 .会

4、列简单的应用问题的函数关系式。(二)极限与连续1. 了解极限的概念，会求左右极限lim f (x)极限f存在的充分必要条件是左、右极限存在且相等2. 了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质(1)若函数f(x)有lim f(x) =0，则称f(x)是当xt x0时的无穷小量 xx0(2)有界变量与无穷小量的乘积仍是无穷小3.掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求简单极限的常用方 法(1)极限的四则运算法则设lim f(x)=A limg(x)=B ,则lim f (x) 一 g(x) = lim f (x) 一 lim g(x) = A - Blim f (x).g (x) = l

5、im f (x). lim g(x) = A.Bf (x) lim f (x) A 小lim = 一,其中 b #og(x) lim g(x) B0(2)两个重要极限第一重要极限:第二重要极限:sin xlim二 1x 口 x1 x1lim(1+-) =e,其他变形形式 lim(1+x)X=e4.了解函数连续性的定义，会判断函数的连续性x ： xx °函数连续性的定义l i mf x( =)f %()Xxo初等函数在其定义域内连续导数与微分1 .理解导数与微分概念(微分用dy = ydx定义)，了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程，知道可导与连续的关系(1)f(x)在点x =

6、 X0处可导是指极限f (Xox) - f (Xo)存在,且该点处的导数就是这个极限。导数极限还可写成(2)f (x)在点x = Xo处的导数f '(Xo)的几何意义是曲线y = f (x)上点(Xo, f (Xo)处的切线斜率。曲线y = f (x)在点(Xo , f (Xo)处的切线方程为y = f (Xo)(x -Xo) f (Xo)函数y = f (x)在Xo点可导，则在Xo点连续。反之函数y = f (X)在Xo点连续,在xo点不一定可导。2 .熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则u、. vu - uv ,_(u_v)' =u _v (u v)

7、=vu uv() =2 (v=0)v vu、 vdu-udvd(u_v)=du_dv d(u v)= vdu udvd(-) =2 (v ； 0)v v3 .熟练掌握复合函数的求导法则dy dy du-dx du dx4 , 了解高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法d2ydx2(四)导数的应用1 .掌握洛比塔法则，能用它求“ 0”、“二”型不定式极限；02 .掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极值点(包括判别)的方法，了解 可导函数极值存在的必要条件，知道极值点与驻点的区别与联系；3 .掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主。(五)不定积分1 .理解原函数与不

8、定积分概念，了解不定积分的性质以及积分与导数(微分) 的关系；(1)若F(x)=f(x),则F(x)是f (x)的一个原函数；f(x)的全体原函数是F(x) c02 2) k1fl (x) - k2 f2 (x)dx = k1fl (x)dx 二 k2 f2(x)dx f f (x)dx = f (x) dx(4) d Jf (x)dx = f (x)dx(5) J f (x)dx = Jd f (x) = f (x)+c2 .熟练掌握积分基本公式和直接积分法；3 .熟练掌握第一换元积分法和分部积分法；(1) fg(x)g(x)dx = fg(x)dg(x) = Fg(x) c(2) udv=

9、uv- vdu(六)定积分及其应用1 . 了解定积分的性质baa f (x)dx 二一 bf (x)dxbcbf (x)dx = f (x)dx f(x)dxaac2 .会求变上限定积分的导数(x)右 G(x)=J f(t)dt,则 G，(x) = f (甲(x)评x) a3 .熟练掌握牛顿莱布尼兹公式，掌握定积分的换元积分法和分部积分法f (x)dx = F(x儿=F -F (a)bb b(2) U udv = uv 1a -f vduaa - a4. 了解无穷积分收敛性概念，会判断无穷积分的收敛性或计算无穷积分f*dx当PA1时收敛，当p<1时发散；a xpfldx当p<1时收

10、敛，当p21时发散。0xp6.会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积(直角坐标系)(1)由曲线y = f (x)和y =g(x)及直线x = a, x = b围成的面积S ,有bIS= Jf (x) -g(x)dxa.a(2)当f(x)为奇函数时有Laf(x)dx = 0aa0(3)当 f (x)为偶函数时有J a f (x)dx =2jof(x)dx = 2j af(x)dx三、综合练习答案(一)单选题1 .设函数 f (x) = loga(x +dx2 + 1) , (a>0, a1),则该函数是().A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数.既是奇函数又是偶函数2 .下列函数中，（

11、）是偶函数.A. f(x)=ax-a B , f(x)=x3 1C . f (x) = x3sin xD . f (x) = x2 sin(1 - x)3 .当xt 0时，下列变量中，无穷小量是（）.sin xB . ln(1 x2)iex1 sin 一x4 .设 f (x) =e* ,则1mf(1 x)-f(1)=(lx).A. 2eB. eC.1 -e4D.5 . J xf "(x)dx =().A . xf (x) - f(x) C xf (x) CC. 1x2f （x） C26.下列无穷限积分收敛的是(x 1) f (x) CAB- oexdxC.dxD. cosx(二)填空

12、题11，x 211.若函数 f(x) = 1,则 f(1)=.xx2,极限 limsn3x=.x0 tan5xk 3 .设驾1+k)x =e2,则 k =.4 .曲线y =x3 -1在点(1, 0)处的切线是5 .若函数 f(x) =ln(1+x),则 f"(0)=.6 .已知函数f (x) = asinx+1sin3x的驻点是x = £ .则2 =337 .函数 f (x) =x-ln(1+x)的单调减少区间是 .8 .经过点（2, 10 ）,且在每一点的切线斜率都等于 3x的曲线方程9.d f(x)dx =计算题1.求函数的极限(1),sin 2x、lim ( cosx

13、)x0 , x 1 -1lim 3-x2- 1 x x 1x2 -1_xe cosx 一 1 一x(4)cosx - 1 lim x >0ex e-x -22.求函数的导数或微分(1)已知y =2xcosx1 -x，求 y (x)sinx设厂片嬴'求yq）.(3)设 y =sin2(3x+5),求 dy .(4)设 y = Jx+exsinx ,求 dy.(5)设 y = ln(x+ Tx2+1),求 y "3).3.求函数的不定积分(1)x鼻dx1 ex(2)I 3 <ln xdxx(3)1cos一-2xdxx(4)2 - -/-,x3 4 . 、, x sin

14、 x , dxx(5)4.求函数的定积分(1)1 o2o(xxexx )dxle(2dx1 x1(3)xcos 二 xdxxsin xdx - 0(5) x Txlnxdx参考答案（一）单项选择题1. A 2. C3. B4. D5. A 6. C（二）填空题1. x - x22 12.3.14.3x-35.-16. 2. (-1 ， 0)8yix2 3 49. f(x)dx（三）计算题1.求函数的极限(1)解:sin2x lim(-x)0、,x 1 -1cosx) = lim -sin 2x1 -1网 8sx)Sin2xGx 1 1)1=lim_s叱x 2 晨 1) 1(x 1 -1)(,

15、x 1 1) x 0( .x 1)2 -12)叩0学01=2臂(.F1) 1=2 2 1=5(2)解:(% 3 - x - . 1 x)(v 3 - x， '1 1 x) (x -1)(x 1)( . 3 - x , 1 x)(.3 -x) ( 1 x)(x1)(x 1)(. 3-x J x)= lim (3-x)-(1 x)x 1 (x-1)(x 1)(.3-x .1 x)= lim 2(1 Lx)_x 1 (x -1)(x 1)( . 3 -x .1 x)=-2吧(x.1)(x+1：x/31x+JT+I)-2limx_0_Xe cos x -1 - xxxe cosx - e si

16、n x -12x:-2lim_1- :_x 1 (x 1)(/3-x ,1 x) 4,2(3)解：连续利用罗比塔法则两次cosx-1-sin x-cosxlim 一 二 lim 二 lim x)0ex e -2 x ex-ex ex+e(4)解：连续利用罗比塔法则两次一(1 - x) sin x -( T) cosx(1 -x)2xxxxe cosx -e sin x -(e sin x e cosx)2x-2e sin x 八= lim 二0x 02(5)解：利用第二重要极限公式112112 x : 1. 一x 二-x. -x -( 不lim ()x =lim(1 )x lim(1 一) =

17、lim(1一) 2 =e 2x jo2x02x_o2 x j022.求函数的导数或微分(1)解：x cosx . xx2 1n 2 一cosx-(1 -x)sin x(1 -x)2y(x)=(2 一二)=2 ln2-解:(sin x) (1 cosx) sin x(1 cosx) cosx(1 cosx) sin x( sin x)2(1 cosx)2(1 cosx)cos x 12(1 cosx) 1 cosx,ny(3) 二1 cosx| - x x=3ji1 cos 3112(3)解:y = sin 2(3x 5) = 2sin(3 x 5) sin (3x 5)=2sin(3 x 5)

18、 cos(3x 5) (3x 5) = 6sin(3 x 5) cos(3 x 5) = 3sin(6 x 10)dy = y dx = 3sin(6 x 10) dx(4)解:y = ( x ex sin x)2 xex sin x(x ex sin x)x x1 e sin x e cos x2、x ex sin xdy = y dx =1 ex(cos x sin x)dxsinx)(5)解:y =ln( x，x21)二x % x2 1x ( x2 1)12x2.x2 1I1-C,(3)2 123.求函数的不定积分(1) 解：利用不定积分的第一换元法1xxe dx =x (e +1) d

19、x1 e2x x2x1 exd(ex+1) =ln(ex+1)+C(2)解：利用不定积分的第一换元法I 3"Inx dx= In 3x 1dx = In 3x(ln x) dx = In 3xd(ln x) = ln-x C x4(3)解：利用不定积分的第一换元法cos1-xdx = x1 -1 ,1,1、,- cos dx = - cos-(一) dxx xx x111_=- cos d( ) = -sin C(4)解：先整理被积函数后，再用积分基本公式和第一换元法2 -，x 、. x sin . x 1. xdx=2 dx xx x、xsin、. xdx dxx13=2 dx -

20、 x2 dx xdx = 2ln1x - xsin、. x dx11x233=2ln x - x 2 sin、. x -= dx = 2ln x - x 2 sin . x (、. x) dx 32.x3=2ln x - 2 sin，x d( . x) = 2ln x - 332x- 2cos ' x C3(5) 解：利用不定积分的第一换元法dx =dx-112xdx 二 一2 (x2) dx2 4 x2d(x2)4,2,4 x -4d(x2)4 4 x-4d(x2) 2 4 x2 d(x2)12=2 d(x)-2 4 x2)d(4+ x2)=-2 ln( 4 x2) C4.求函数的定积分(1)解：利用到：奇函数在以原点为心的对称区间上的积分是零13x221 3(x xe x )dx =