高一数学知识点—抽象函数—教师版

1、抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开研究抽象函数首先要注意函数的定义域，尤其是在解答抽象函数对应的不等式时，通过抽象函数的单调性转变为自变量的大小关系式，不能忽视自变量的取值范围；其次抽象函数都是依据一类具体函数的性质抽象出来的，如f (x+ y) = f (x) + f (y)就是从正比例函数抽象出来的；f (xy) = f (x) + f (y)根据对数函数的性质抽象出来的；f (x + y) = f (x) f (y)根据指数函数的性质抽象出来的.因此在解决此类问题可以先类比具体函

2、数的性质研究我们要解答的抽象函数的性质，解答抽象函数问题要注意赋值法的应用，通过赋值可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口抽象函数性质的证明是一种代数推理，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可以漏掉条件，更不要臆造条件，推理过程层次分明.、抽象函数的概念抽象函数就是没有给出具体函数解析式的函数。常见的解题方法有赋值法、换元法、具体化法等。若f(x )的定义域是 a,b，则对f b(xj来说，必有g(x户kb，从而可以得 到函数f g(x»的定义域。若fJg(xp的定义域是 a,b,则b,b应作为函数g(x)的定义域， 进而求出g(x)的值域，从而得

3、到函数 f(x)的定义域。总而言之，外层函数的定义域就是内 层函数在复合函数的定义域上的值域。抽象函数的值域和最值问题，一般先根据条件确定函数的单调性，然后再求其值域或最值。对于选择、填空题也可以利用奇函数在对称区间上具 有相同的单调性、偶函数在对称区间上具有相反的单调性等结论来求解。【例1】函数f(x)对任意实数x、y ,均满足f (x + y2 )= f (x)+2【f(y旷，且f(1)#0, 贝U f 2016 =【难度】【答案】1008【解析】令 y =1,则 f(x+1 )= f(x "2【f(1 立即 f(x +1)-f(x)=2f(1)F,再令 x = 0 , y=1

4、,得 f(1)=f(0)+2【f(1)2 ,令 x=y = 0，得 f(0)=0 ,故 f(1)=,则 21_ f(x+1)-f (x)= ,累加可得 f(2016)=1008 2【例2】函数y = f (x)的定义域为(Q, 1,则函数y = f log 2(x2 2)的定义域是【难度】【答案】( .2,2 一 -2,一、2)【解析】因为log2(x?2)相当于f (x)中的x,所以log2(x2 2) E1 ,解得22 <x E2或2 Ex <V2.【例3】已知f ()=2x+1，求 f(x).x 1【难度】,1，x【答案】f(x)= 1 -x_. . _ xuu 1 - u1

5、 x【解析】设=u5Ux=-u-，f(u)=2-u-+1=. f(x)= x 11 -u1 -u1 -u1 f【例4】如果奇函数f(x )在13,7】上是增函数且有最小值为 5,那么f(x)在L7,3上是()A.增函数且有最小值为 -5B.增函数且有最大值为-5C.减函数且有最小值为-5D.减函数且有最大值为 -5【难度】【答案】B【例5】设f (x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若函数f (x) + g (x)的值域为1,3), 则f (x) - g(x)的值域为.【难度】【答案】(-3, -1【解析】在f(x)g(x)代入x,因为f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，f

6、(-x) -g(-x) = - f(x)+g(x),所以值域为(3,1,因为定义域为关于原点对称，所以值域是一样的，f(x)-g(x)值域为(3,1【巩固训练】1 .定义在 R 上的函数 f (x )满足 f (x + y )= f (x )+f (y )+2xy , f(1)=2,则 f -3 =【难度】【答案】62 .已知函数f (x -1)的定义域为2, 4,求函数f (2x)的定义域.【难度】【答案】1 3_2,23 .若函数y = f(x+1)的值域为1,1,求函数y = f (3x + 2)的值域.【难度】【答案】-1,1.【解析】函数 y = f(3x +2)中定义域与对应法则与

7、函数y = f (x +1)的定义域与对应法则完全相同，故函数 y = f (3x + 2)的值域也为1,1.4.已知f(x)为偶函数,【难度】 -1g(x)为奇函数，且有 f (x) + g(x)=,求 f (x) , g(x).f(x)=x2 -1g(x)=xx2 -1x -1抽象函数(教师版)5 / 34【解析】 f(x)为偶函数，g(x)为奇函数,f (-x) = f(x) , g( x) =fg(x),一 一 .一1一. .不妨用-x代换f (x)+g(x)=中的x,x 71 1一 f ( -x) + g(x)=即 f (x) - g(x)= -x -1x 1显见+即可消去g(x)，

8、求出函数f (x) = 21 再代入求出g(x)= 2x x -1x -15.已知函数f(x)对任意实数x, y都有f (x + y) = f (x) + f (y),且当x >0时, f(x)>0, f(-1) =-2,求 f (x)在2, 1上的值域.【难度】【答案】乂，2【解析】设x1 < x2且x1, x2 w R ,则*2-玉0,由条件当x A 0时，f(x)A0.f (x2 - x1) , 0又 f 区)= f(x2 -x1) x1=f 区-x1) f (x1). f (x1)二f(x)为增函数，令 y = -x,则 f (0) = f(x) + f(-x)又令x

9、 = y = 0得 f (0)=0 ，f (x) = f (x),故f (x)为奇函数，f (1) = -f(1) = 2, f(-2) = 2f (-1) = 4二f (x)在一2, 1上的值域为-4, 2二、抽象函数的性质1、抽象函数的单调性抽象函数单调性的求解与证明一般按照单调性的定义来解决，但由于解析式的缺乏，往往只能对题设条件中的等量关系进行适当的拼与凑，来处理f仪1 )- f(X2)与0的大小比较，如将X1变形成(X1 -x2 )+x2、上.X2等。X2【例6】函数f(X任意白实数 m、n有f(m + n尸f(m)+ f(n),且当x>0时有f(X)>0。(1)求证：f

10、(X )在R上为增函数；(2)若 f (1 )=1 ,解不等式 f log2(X2 -x-2)J<2【难度】【答案】(1)证明：取 X1,X2 w R且2 <X2 ,则 X2 -X1 >0,故 fd x1)>0,:.f(X1f (x2 )= f(X1f (x2 一 X1 + X1 f ( X2 X1 )< 0,f(xJ<f(X2 ),二函数f(x )在R上为增函数。(2) ; f(1)=1,- 2=1+1 = f(1)+f(1)=f(2),二 f log 2fx2-x-2f (2 ),由(1)知函数f (x )在R上为增函数，故log2(x2 -x -2 )

11、<2 ,2x - x - 2 02，即2<x<1 或 2<x<3,x - x - 2 ： 4.原不等式的解集是(2,1(2,3)【例7】已知f(x)是定义在1,1上的奇函数，若a,bw 1-1,1,且a+b#0有f(a) f(b) 0 a b(1) 判断f (x)在-1,1上是增函数还是减函数，并证明你的结论；(2) 解不等式 f (5x1 )< f(6x2)【难度】【答案】(1)增函数(2) x w.0,1 j 一 3【例8】已知偶函数f(x/区间0,+至)上单调递增，则满足 f (2x1)< f:的x取值范围.【难度】1 2【答案】1,23 3【解

12、析】由于f(x)是偶函数，且在区间 b,+8)上单调递增，所以在(-的,0)上单调递减.，一.112根据图像得2x 1 <-,解得一 < x < 一 . 333【巩固训练】1.已知函数f(x)的定义域是(0,也)，当x>1时，f(x) >0 ,且f(xy)= f(x) +f(y)(1)求f (1)的值(2)证明：f (x)在定义域上是增函数【难度】【答案】(1) f(1) = 0; (2)设沟 >为下0,则fd) -f(X)= f(x1x2)一f(x1)= f(x)f(上) f(xj=f (土)x1x(x1. , x2 >x1 >0 ,上 A1

13、, . . f 卢)> 0 ,即 f (x2) f (x1) >0 , f (x2) > f (x1)f (x)在(0, +*)上是增函数.2.已知奇函数f(x)的定义域为-2, 2且在区间-2, 0的单调递减，求满足f(1 -m)+f(1m2) <0的实数m的取值范围.【难度】【答案】-1 < m二1【解析】f (x)的定义域为-2,2,»-2 三1 - mw2，口,K 芯，有9 ，解得一1 wm W J3-2<1-m2<2由 f (1 m) f (1 m2)：二 021' f (1 -m) ： - f (1 -m )又由f(x)为

14、奇函数，得 f (1m2) = f (m2 1)1' f (1 -m) : f (m2 -1)又f (x)为奇函数，且在-2,0上单调递减，f(x)在-2,2上单调递减.(要证明)2 - 1 -m m -1.即-2<m<1综合，可知-1 _ m <1.3.函数f (x)对任意的a, be R,都有f(a+b) = f (a)+f (b)-1，并且当乂下0时，”刈>1 , 若 f (4) =5,解不等式 f(3m2 m2) <3.【难度】【答案】-1,4 ,3【解析】设 x1,x2WR 且 x1<x2 .f(a+b)=f(a) + f(b)1 f (x

15、1 x2 -x1) = f (x1) , f (x2 rxi) -1即 f (x2) 一 f (x1) = f (x2 - x1) -1因为 x2 -x1 >0f (x2 -x1 )>1 f(x2) -f (x1) = f (x2 -x1) -1 0f (x)在R上单调递增 f (4) = f (2)+ f (2)1 =5 . - f(2 )=3_2_ f(3m -m-2) <3-f 223m -m -2 :二 24斛得：-1 :二 m .3所以原不等式的解为-1,4 .,32、抽象函数的奇偶性抽象函数奇偶性的判断往往借助与赋值法和定义，对于已给恒等式中出现的两个或两个以上的

16、变量，利用赋值的方法将其替换成f (x ) f (- x )0出现的形式，在恒等式中仅有这两种形式或是具体函数值的形式而不会出现新的函数结构。【例9】已知函数 f(x)的定义域是 x00的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有f(x为)=f(x1)+ f(x2),试判断函数f(x)的奇偶性【难度】【答案】令 x1 =x2 =1,得 f (1) = 2f(1),f(1) = 0,令 Xi =X2=1 ，得 f(1)=0,f (-x) = f (1 X) = f (1) + f (x) = f (x),f(x)是偶函数.【例10】已知f(x)g(x班别是定义在 R上的偶函数和奇函数，且f(x)g

17、(x)=x3+2/，则f 2 g2 =【难度】【答案】-4【解析】令 x = -2, f (2)g( 2)=(2)3+22 =4= f (2)+g(2)【例11若定义在 R上的函数f(x)满足对任意x1,x2亡R者B有f (x1 +x2 )= f % )+ f区)+1,则下列说法一定正确的是()A. f(x)为奇函数B. f(x )为偶函数C. f(x)+1为奇函数D. f(x)+1为偶函数【难度】【答案】C【巩固训练】1.已知函数f(x)对一切x, y都有f (x + y) = f (x)+f(y),求证：f (x)是奇函数；若 f(-3) =a，试用 a表示 f (12)【难度】【答案】f

18、(12)=4a【解析】1.在 f (x + y) = f (x)+ f (y)中，令 y = x得 f(0) = f (x)+f(-x),又令 x = y = 0 得 f(0)= f(0)+f(0),. f(0)=0,. f(x)+f(x) = 0即f (-x) =-f(x)故f (x)是奇函数2.已知 f(3)=a 于是 f(3) = f(3) = a 在 f(x + y)= f(x) + f(y)中取 y =x 可得 f (2x) =2f (x),因此 f(12) = 2 f (6) = 4 f (3) = Ya2.设函数f (x )和g(x )分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立

19、的是()A. f收)十g(x )为偶函数B. f(x)|g(x为奇函数C. f仅b + g(x加偶函数D. f(xj-g(x )为奇函数【难度】【答案】A3.已知 f(x )是奇函数，g(x)是偶函数，且 f(1)+g(1)=2 , f(1)+g(1)=4,则 g(1) =【难度】【答案】33、抽象函数的周期性若函数f (x )满足f (x +T )= f (x ),我们就说T是函数f (x )的一个周期。抽象函数的抽象函数(教师版)21 / 34周期性的推导中大都会使用替换变量来进行迭代计算，例如将x + a替换x进行代入，这类问题的本质就是寻找 f(x+ma”f(x)间的数量关系。若函数f

20、(x融足f(x + a)= f(x),k1 ffx 一.f(x+a)= (k是不为零的常数)，f(x + a)=等，都表小f(x)是以2a为f (x )1 十 f (x )1周期的函数；若函数 f x涮足f(x+a)=1一1-f x,f(x)是以3a为周期的函数；若函数一1 f xf (x "两足 f (x +a )=,1 - f xf(x)是以4a为周期的函数；若函数f(x)满足f(x+a)=f(x )+f(x+2a), f (x )是以6a为周期的函数等。这些常见的周期函数的结论都是利用替换迭代求解出来的，这也是抽象函数求解的主要方法。还有函数既有对称轴又有对称中心的，若f(x)

21、关于两条直线x = a,x = b轴对称，或是关于(a,0),(b,0)中心对称，则f(x)是以 2a 为周期的函数，若f(x)关于两条直线 x = a,(b,0)对称，则f(x)是以4a -b为周期的函数。1 一一【例12】已知函数f(x网任意实数x都有f(x+1)=，若f(1)=8,则f(2016) = f x【难度】-1【答案】18【例13】设f (x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线 x =1对称.对任意-1x1, x2 H0, -都有 f (x1+x2) = f (x1) f (x2). 2、一,1(I)设 f(1)=2,求 f (1),2(II )证明f (x)是周期函数.【难

22、度】【答案】见解析 【解析】(I)解略.(II )依题设y = f(x)关于直线x = 1对称故 f (x) = f (2x), xwR又由f(x)是偶函数知f (-x) = f (x), x w R二 f (x)= f(2x), xwR将上式中-x以x代换，得f(x) = f(x+2), xWR这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期f(x)是偶函数的实质是f(x)的图象关于直线 x = 0对称又f(x)的图象关于x=1对称，可得f (x)是周期函数且2是它的一个周期【例14】已知f(x)是定义在 R上的函数，且满足：f(x + 2)1 f (x) = 1+f(x),f (1) =

23、1997 ,求 f(2001)的值.【难度】【答案】1997.【解析】紧扣已知条件，并多次使用，发现f(x)是周期函数，显然 f(x)#1 ,于是f (x 2)=1 f (x)1 - f (x)1 1 f(x)1f(x 2)=1 f(x)一,1 - f (x 2)1 1 f(x) f (x)-1 -f(x)一,1所以 f (x 8) = = f (x)f (x 4)故f (x)是以8为周期的周期函数，从而f (2001) f (8 250 1) = f (1)=1997【例15奇函数f(x )的定义域为R,若f(x+2 )为偶函数，且f(1)=1,则f(8)+f(9)=【难度】【答案】1【解析

24、】 因为 f(0)=0 , f(-x)=-f(x) , f(x+2)= f (x + 2),所以 f(x+4)=f (x)=f(x),所以 f(x+8)= f(x ), T =8,故 f(8)+ f(9)= f(0)+ f(1)=1【巩固训练】1 - f x 一. .一 ，一1 .已知f(x)满足f(x+1) =-,贝U f x的最小正周期是 .1 f x【难度】 【答案】22 .函数f(x )对任意实数x都满足f(x + 2)=2016 ,若f(1)=-5,则fff.f x201613 .已知函数 f (x 射足:4f (x )f (y )= f (x + y )+ f (x y (x,y

25、匚 R1若 f (1 )=,则4f 2016 =.【难度】4 .奇函数f(x )的定义域为R,若f(x-2)为偶函数，则f(2016) =【难度】【答案】0三、抽象函数的综合应用抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到函数性质，不等式，方程等多个知识点，抽象思维程度要求较高， 解题时需把握好如下三点： 一是注意函数定义域的， 二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“ f ”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“ f ” .注意定义域优先原则，赋值法(常量赋值和变量赋值)，换元法.【例16】已知定义域为 R的函数f (x )在(8,十资)上为减函数，且函数 y=f(x + 8)为偶函数，则()

26、A. f 6 f 7 B. f 6 f 9 C. f 7 f 9 D. f 7 f 10【难度】【答案】D【例17】已知函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足(1)fX1 - X2=f (Xi)|_f(X2) 1f(X2)-f(Xj(2)存在正常数a ,使得f(a)=1求证：(1) f (x)是奇函数；(2) f (x)是周期函数，并且有一个周期为4a【难度】【答案】 提示：(1)看f(X1 -X2后f(X2 -X1 )的关系;(2)赋值得到f(2a) =0,1，f(X 2a) = - - f(X)【例18】定义在R上的单调函数f(X)满足f (3)=log23且对任意x, yw R都有f

27、x y = f x f y .(1)求证f (x )为奇函数；(2)若f (k 3X )+ f (3X -9X -2 )<0对任意x£ R恒成立，求实数k的取值范围.【难度】 【答案】见解析：(2) kW，2y/21)【解析】(1)证明：令x = y=0,得f (0) = 0令 y = x ,得 f (x )十 f (x )= f (0) = 0f (x )为奇函数(2)由(1)知 f (0 )=0又f (3)=log23>0= f (0)且f (x谡定义在R上的单调函数 . f (x用R上单调递增由 f (k 3x )+ f (3x -9x -2 )<0得 f (

28、k 3x )<-f (3x -9x -2 )即 f k 3x :二 f -3x 9x 2 k 3x <3x+9x +2对任意xw R恒成立I2得 k ：二 3x - -13x因为3x +马1之2，21当且仅当3x = J2即x=log3 J2时等号成立 3所以k 22 -1.所以实数k的取值范围为(-叼2衣-1).【例19】定义在(-1, 1 )上的函数f (x)满足对任意x, y亡(-1, 1)者B有f(x) + f(y)= fxy),且当 xe(-1, 0)时，有 f(x)>0： 1 xy(1)试判断f (x)的奇偶性；(2)判断f (x)的单调性； .1. 1.11 求

29、证 f( ) + ” )+. +f(_-)> f(-).511n 3n 12【难度】【答案】（1）对条件中的x, y,令x = y= 0,再令y = -x可得f(0)f(0) = f(0) =f(x)f(-x) =0f(0) =0 f(-x) = -f(x),所以f（x）是奇函数抽象函数(教师版)25 / 34x x0(2)设1<x1 <x2 <0,则 f(x1) f(x2)= f (x1)+f (x2) = f (-) 1 - x1x2v x1 -x2 <0, 0 < x1x2 < 1 ,x xx xo巳<0,由条件(2)知f()>0,从

30、而有 f (x1) f (x2) A0 ,即1 -x1x21 f x1x2f（x1）Af （x2）,故“乂）在（-1, 0）上单调递减，由奇函数性质可知，f （x）在（0,1）上仍是单调减函数.1 J -1、1(3), f(*»11/n+1ln + 2JT = T >7l(n+1<n+2A1J 1/ 1 丫 -1 )L ln+1 人 n + 2 人f(f(1n 11n 1)f()-f(-1n 21n 2111f(-) +f (-)+ +f(-)511n 3n 1111111f(-)-f (-) + f f () + + f ()-f ()2334n 1 n 21 1f(-

31、)-f(-)2 n 211f (-) - f (2n 2111)f(-)21【例 20】设函数 f(x)在(-«,-)上满足 f(2x) = f(2 + x) , f (7 x)= f(7 + x),且在闭区间0, 7上，只有f(1)=f(3) = 0.(i)试判断函数 y = f (x)的奇偶性；(n)试求方程 f(x)=0在闭区间-2005, 2005上的根的个数，并证明你的结论.【难度】【答案】非奇非偶函数；802【解析】由f (2 x) = f(2 +x) , f (7 x)= f(7 +x)得函数y = f (x)的对称轴为x = 2和 x = 7,从而知函数y=f(x)不

32、是奇函数，f(4x) = f (14-x)f(2 x) = f (2 + x) jf (x) = f(4x) 一f(7 _x) = f (7 + x)f J(x) = f (14x)f=f (x) = f (x+10)，从而知函数y = f(x)的周期为T =10又f (3) = f(0) =0,而£(7) 00,故函数y = f (x)是非奇非偶函数(II)由7(2 -x) = f (2+x) f (7-x) = f(7 + x) ,'f(x)= f(4x) _ f(x)= f (14-x) =f (4 - x) = f (14-x)=f(x) = f (x 10)(II)

33、又 f (3) = f(0) =0, f(11) = f (13) = f (-7) = f (9) =0故f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解，从而可知函数y = f (x)在0,2005上有402个解，在-2005.0上有400个解,所以函数y = f (x)在-2005,2005上有802个解.【巩固训练】1.设函数f (x)的定义域为R+，且有：f '11 = 1 , 对任意正实数x,y都有 22)f(xy)= f( x广f( y) f(x)为减函数11.一(1) 求：f(-), f(-), f(1),f(2), f(4)的值48(2) 求证：当x亡1,也)时，f (x

34、) <0x(3) 求证：当 x, y 匚 R 时，都有 f () = f (x) - f (y)y(4)解不等式：f(_x) + f(3x)之 _2【难度】111111111【答案】(1) f(-)=f(-)=2f(-)=2, f(3)= f(M：)=fH)+f 匕)=3 42 2282 42411.f(1)= f (1>d)=2f (1)= f(1) = 0, f(1)= f(2) = f(2) + f()= f(2) = 122f(4) =2f (2) = -2.(2)因为f(1)=0且f(x)为减函数，所以当 xw1,+w)时，f (x) <0(3) f J)= f(x

35、) + fp), f(1)=f(y) = f(y)+fA)=0 = f(-)=-f(y) yyyyy所以当 x,y e R士时，都有 f(-) = f(x)- f(y) y(4) f(x) +f (3 -x)= fx(x -3), f (4) =-2,所以f(x2 -3x) > f(4),因为f(x)在定义域(0号 上为减函数，所以-x >0J3 -x >0 = -1 Ex <0x2 -3x - 42 .已知定义在 R上的函数f (x )满足：(1)值域为(1,1),且当 x>0 时，-1<f (x)<0;(2)对于定义域内任意的实数x, y ,均满足

36、:试回答下列问题:抽象函数(教师版)27 / 34(I)试求f(0 )的值;(n)判断并证明函数 f( x)的单调性;【答案】(I)在f前声n )中,令m>0,n=0，则有f fm . f (m )+f t0 ) 即: 1 f m f n1 f m f 0f m ?|1f m f 0= f m f 0也即：f (0)( f(m)f-1=0.由于函数f(x )的值域为(-1,1),所以,2(f (m) 1 #0,所以 f (0)=0.(n)函数f(x)的单调性必然涉及到 f (xf (y于是，由已知f(m+n尸f(m)*f(n),我们可以联想到:是否有f(m” f(m)fn)? (*) 1

37、 f m f n1 - f m f n这个问题实际上是： f (-n ) = - f (n发否成立？为此，我们首先考虑函数f(x)的奇偶性，也即f(-x用f(x)的关系.由于f(0)=0,所以，在 f (m+n )= f(m 广 f(n)中,令 n = m ,得 f (m )+ f (m) = 0 .所以，函数 1 f m f nf (x 为奇函数.故(* )式成立.所以，f(m)f(n)=f(m n)1 f(m)f(n)l.任 取 x1，x2 w R ,且 x1 <x2,贝u x2 x1 >0 ,故 f (x2 x)<0且1 < f 他)，f (x1)<1.所

38、以，f (x2 )- f (x1 )= f (x2 -x1 )1 - f (x2 )f (x1 )1 <0 ,所以，函数 f (x )在 R 上单调递 减.3 .已知函数f(x)对任意实数xy恒有f(x+y)= f(x)+f (y)且当x>0 , f(x)<0又 f(1) =2(1) .判断f(x)的奇偶性;(2) .求f(x)在区间 3,3上的最大值；(3) .解关于 x 的不等式 f (ax.当 0<a<2时，x = x|x> 或x<1a) 2f (x) < f(ax)+4.【难度】【答案】(1).取 x = y =0,则 f(0+0) =2

39、f(0)二 f(0)=0取 y = _x,则f (x x) = f (x) + f (x)二f (x) = -f(x)对任意xw R恒成立f(x)为奇函数.(4) .任取 xi,x2 W (-,)且 xi < x2 ,则 x2 - xi A 0f(x2)f (-x1) = f (x2 - x1) : 0.二 f (x2) < - f (-xi),又 f(x)为奇函数 二 f(xi)f(x2)f(x)在(-OO, +8)上是减函数.二对任意 x W 3,3,恒有 f(x) < f(-3)而 f(3)= f (2 i)= f (2) f (i) =3f (i) - -2 3 -

40、-6. f(3) = f (3) =6 f(x)在 3, 3上的最大值为 62(5) .f(x)为奇函数，整理原式得f (ax ) + f (2x)< f(ax) + f(2)进一步可得 f(ax2 -2x)二 f(ax -2)而 f(x)在(一00, +8)上是减函数，ax2 - 2x > ax -2 (ax -2)(x -1) > 0.二当 a = 0 时，xw (-0o,i)当 a=2时，xwx|x#i且xw R2当 a<0时，x = x|- <xd a一 一 2 ,、 一当 a A2时，xwx|x< 或x>1 a4.对于定义域为 "1

41、的函数f (x),如果同时满足以下三条:对任意的x三0,1,总有f(x)之0； f(1)=1 ；若 xi 之 0, x2 >0,xi +x2 <1 ,都有 f(xi+x2)> f(xi) + f(x2)成 立，则称函数f (x)为理想函数.(1)若函数f(x)为理想函数，求 f(0)的值； x(2)判断函数g(x)=2 1 (x = 0,1)是否为理想函数，并予以证明；(3).若函数f (x)为理想函数， 假定存在10,1，使得f (%户10,1,且f (f (x。) =x0,求证 f (x0) =x .【难度】【答案】(1).取 x1 =x2 =0可彳导 f (0)f (0

42、) + f (0)= f (0) <0 .又由条件f(0)之0 ,故f(0) =0.x(2).显然g(x) = 2 -1在0, 1满足条件g(x)20；也满足条件g(1) = 1.若 x1之0, x2 之0 , x +x2 M1,则g(x1x2)一g(x1)g(x2)=2的x2-1一(2均-1)(2x2-1)=2为加 _2x1 -2x2 +1 = (2x2 -1)(2x1 -1) >0 ,即满足条件，故g(x)理想函数.(3),由条件知，任给 m、nW0, 1,当m<n时，由m<n知n-mW0, 1,f (n) = f (n - m m) _ f (n - m) - f

43、 (m) _ f (m)若 xo <f(%),则 f(xo)<ff(xo)=xo,前后矛盾；若 xo >f(xo),则 f(Xo) >ff(Xo)=Xo ,前后矛盾.故 X0 = f(xo)关于抽象问题，考查的仍然是然函数的相关性质，比如周期性，对称性，单调性，奇偶 性等。加上本身的抽象性，所以问题众多，解题方法众多，常用的赋值法和模型法，其中以 特殊模型代替抽象函数帮助解题和理解题意，行之有效，他能解决大多抽象函数问题，有抽象函数问题的结构特征联想已学过的具有相同的相似结构的基本函数，并由基本函数的相关结构猜想抽象函数可能具有的性质，加深对题意的理解，但是不能有特殊的

44、模型去代替演绎推理，那样犯了特殊代替一般的逻辑错误，解题过程中不要忘了定义域。1 .已知f(x)的定义域为 r+,且f(x + y)= f(x) + f (y)对一切正实数 x,y都成立，若 f(8)=4,则 f(2)=.【难度】2 .已知函数f(x)对一切实数x都满足f(1+x)= f (1x),并且f(x) = 0有三个实根，则 这三个实根之和是.【难度】【答案】3【解析】由f (1+x) = f(1x)知直线x = 1是函数f(x)图象的对称轴又f (x) =0有三个实根，由对称性知 x1 二 1必是方程的一个根，其余两根x2, x3关于直线x =1 对称，所以 x2 +x3 =2 父

45、1 = 2 ,故 x1 +x2 +x3 = 3.3 .若f(x)是R上的减函数，且f(x)的图象经过点 A(0,4)和点B(3-2),则当不等式2 < f(x+t) <4的解集为( 1,2)时，t的值为.【难度】【答案】1【解析】要成功去掉 f这个外壳，不等式的左中右必须都是 f()的形式.所以，要把-2,4 转化为关于 f的表达式，由 f(x)的图象经过点 A(0,4)和点B(3,2)可知，4=f(0), 2 = f(3).所以2<f (x+t)<4 等价转化为 f(3)<f(x+t)< f(0).又 f(x)是 R 上的 减函数，所以0<x+t&l

46、t;3,解得：t <x<3t,不等式得解集为(1,2).所以t=1.24.已知奇函数f(x )是定义在(-3,3)上的减函数，且满足不等式f (x-3)+f (x -3)<0,求x的取值范围【难度】 【答案】2 :二x 63 f-3<x-3<3'0<x<6一厂【解析】由J 2 得J L L且x=0,故0<x< J6.-3 <x6.设定义域为R的函数f(x)、g(x)都有反函数，并且f(x-1)和g (x-2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5)=1999，那么f (4)=().【难度】【答案】2001 【解析】 f(x

47、1)和g(x2)函数的图像关于直线 y = x对称， -3<3-v,6 <x< V6又.f(x )是奇函数，. f (x 3)<f (x2 3)= f (3 x2 )又f (x )在(-3,3 )上是减函数，, * x - 3、3 - x解得x>2或x<3,综上得2 <x <J6,即x的取值范围是x2<x< J6>5.设奇函数f (x)的定义域为5,5,若当xw (0,5时，f(x)是增函数且f(2)=0求不等式xf (x) <0的解集.【难度】【答案】0<乂<2或2<乂<0g(x 2)反函数是f(

48、x1),而g,(x2)的反函数是：2 + g(x) ,f(x -1) = 2 +g(x)，故 f =20017 .定义在实数集上的函数f(x),对一切实数x都有f(x+1)= f (2-x)成立，若f(x)=0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为()【难度】【答案】30323【解析】由已知，函数 f(x)的图象有对称轴x=-2于是这101个根的分布也关于该对称轴对称3即有一个根就是士，其余100个根可分为23 .50对，每一对的两根关于 x=-对称 2利用中点坐标公式，这 100个根的和等于3X100 = 1502抽象函数(教师版)35 / 34所有101个根的和为”01= 3038

49、.已知偶函数y = f (x)定义域为R,且恒满足f(x+2) = f(2x),若方程f(x) = 0在0,4 1 上只有三个实根，且一个根是4,求方程在区间(8,10中的根。【答案】方程的根为-6 -4 2、0、2、46、& 10共9个根f (1) = 0 ,解不等式9.函数y = f( x)( x 0)是奇函数，且当 xW R时是增函数，若,1fx(x-“0.【答案】上近<x<0或1<x<117 424【解析】由函数y = f (x)(x =0)是奇函数且当xwR时是增函数，可得图象形状大致如1 1右图，f(1) = f(1)=0 若 x(x1)>0

50、时，. fx(x1)< f(1) 221、，1-1711.17" 0<x(x -) < 1 解得：<x<0 或 一 <x<2 42411右 x(x)<0时，f x(x -) < f (-1) 221x(x -) < -1 解得：x (j) 21 - -171117所以：<x<0 或 一 <x<42410.如果 f(a+b) = f(a) f(b)且 f (1) = 2,则f(1) , f(3) , f(5) |H . f(2005)二f (0) f (2) f (4) f (2004) 一【难度】【答

51、案】2006【解析】所求的是函数值分式的和，从已知式变形 f(a+b)=f(b)知函数值商等于自变量 f(a)值差的函数.业+型+3+ 川+f20Moiaf(0)f(2)f(4) f (2004)1：03 个= 1003 f (1) = 200611 .已知 f (x)对一切 x, y ,满足 f (0) # 0, f (x + y) = f (x) f (y),且当 x < 0时,f (x)在R上为减函数f(x)>1,求证：(1) xa0时，0<f(x)<1;【难度】【答案】丫对一切 x, y w R有 f (x + y) = f(x) ,f(y).且 f (0) # 0,令 x = y = 0 ,得 f (0) = 1,现设 x A0,则x <0, f (-x) > 1 ,而 f (0) = f (x) f (-x) =1f (-x)=1f(x)0 < f (x) <1 ,设 x1，x2 W R且 x1 <x2 ,则 0 :二 f (x2 - x1)< 1,f (x2) = f(x2 -x1)x1二 f (x2 -x1)f (x1)； f (x1)二 f (x1)> f (x2),即f (x)为减函数.x (0,1),恒有 f (x) > 0 ；对12 .设f(x)是区间(0