九年级数学中考第二轮复习—观察归纳问题北师大版

1、九年级数学中考第二轮复习一观察归纳问题北师大版【本讲教育信息】1 .教学内容：专题一：观察归纳问题2 .知识要点：通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并能对所作出的猜想进行验证，能 进行一些简单的严密的逻辑论证，并有条理地表达自己的证明.它是近几年各地中考所展示的一种新题型，这类试题形式多样，取材广泛，可增加试题的灵活性和趣味性，其发展前景 非常广阔，分析题中提供的信息，有利于提高学生分析、解决实际问题的能力.3 .考点分析：在近几年的中考试题中，图表信息的规律性问题又有所增加，涉及的范围也更广泛， 提供的信息除文字表述外，往往还辅以图形，图像和表格，是如今中考命题的热点题型.【典型

2、例题】题型一观察数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律.一般解法是 先写出数式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比 较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征，改写成所要求的格式。例1.观察按下列顺序排列的等式：9X0+1=1; 9X1 + 2=11; 9X2+3=21; 9X3 + 4=31; 9X4+5=41;猜想：第 n 个 等式(n为正整数)用n表示，可以表示成 .解析：根据以上各等式所呈现出来的特征，可以猜想这个等式的基本结构形式为：9X一个数+另一个数=结果.其中，“另一个数”就是等式的序号 n； “一个数”

3、比它小1,即为 n1;结果的个位为1,个位以前的数字等于“一个数”n1,所以结果表示为10 (n1)+ 1.因此，这个等式为： 9 (n1) +n=10 (n 1) +1.这个猜想的结果是否正确，还可 以用整式运算的知识加以验证.等式的左边=9n9 + n=10n9;等式的右边二10n10 +1=10n-9.所以，等式的左边=等式的右边.说明所列等式成立.例2.如下表所示，是按一定规律排列的方程组和它的解的对应关系，若方程组自左至右 依次记作方程组 1、方程组2、方程组3、方程组n.(1)将方程组1的解填入表中.方程组x+ y= 1x y= 1x+ y= 1x 2y = 4x+ y= 1x 3

4、y= 9对应方程组 的解x =x= 2y=- 1x= 3y=- 2x=y =y=(2)请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入表中;(3)若方程组x+y1的解是x10 求m的值，并判断该方程组是否符合 (2)x my= 16y= 9中的规律？分析：对于(1)直接解方程组即可；(2)中既要观察归纳方程组的规律，又要观察归用心 爱心专心纳方程组的解的规律.解：(1)x= 1y= 0 '(2)x+ y= 12 ，x ny= n(3)因为方程组x+ y = 1x my= 16的解是x= ny= 1 nx= 10y = 9所以有10+9m=16,解得m=2.3显然该方程组不符合

5、(2)中的规律.题型二观察图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律.其中，以图形为载体的数字规律最为常见.猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来， 再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论.例3.观察下图所示的点阵图和相应的等式，探究其中的规律: 1 = 12； 1+3= 22; 1+3+5= 32; (1)在和后面的横线上分别写出相应的等式；(2)通过猜想写出与第 n个点阵相对应的等式.分析：(1)本题图形中所反映出来的数字关系式已经列出三个，以它们为例，填写后两个.易得 1+3+5+7=42; 1 + 3+5 + 7+9=52. (

6、2)可以猜想：1 + 3 + 5+ + ( 2n1) = n2.解：(1) 1+3+5+7=42; 1 + 3+5+7+9=52.(2) 1 + 3+5+ + ( 2n1) =n2.题型三猜想数值结果当在一些条件改变的前提下，结果的数值不变，或者其变化呈现出某种特征时，可以猜想在新条件下，数值仍然不变，或者仍然按照原来的特征变化，依此猜想到结果的数值.例4.完成下列两题：(1)如图所示，直线 y=x+ 1与y轴相交于点A1，以OA1为边作正方形 OA1B1C1,记 作第一个正方形；然后延长C1B1与直线y=x+ 1相交于点A2,再以C1A2为边作正方形C1A2B2c2,记作第二个正方形；同样延

7、长C2B2与直线y=x+1相交于点A3,再以C2A3为边作正方形c2A3B3c3,记作第三个正方形；依此类推，则第n个正方形的边长为 .分析：首先计算前几个正方形的边长，然后再寻找、总结规律， 推测第n个正方形的边 长.根据题意点 Ai的坐标是（0, 1）,即第一个正方形的边长 OAi=1;当x （OCi） =1时， y=2,则点A2 （1, 2）,即第二个正方形的边长 CiA2=2,当x （OC1+C1C2） =3时，y=4,所 以点A3 （3, 4）,即第三个正方形的边长 C2A3=3,，依此类推，第n个正方形的边长是 n.解：n（2）下面是按第1个数:第2个数:第3个数:121314定规

8、律排列的一列数:1(1 + 7);一 1(1 + 7)一 1(1 + 三)(1 +(1 +(-1)3(-1)32一）2一）(1 +(1 +(-1) 4(-1) 43一）；3一）（1 +(-1)4(1)5-)(1+膏）；第n个数:一 1(1 + -2-) (1 +(1)2(1)3(- 1)2n 1(1+T)(1+y-).那么，在第10个数、第11个数、第A.第10个数 B.第11个数12个数、第13个数中，最大的数是（C.第12个数 D.第13个数分析:通过观察发现，第 n个数的表示题目已给出，代入得第10个数是:(1)2(1)3(-1)191十 3)(1+ 一)(1+一)(1+室)=111(1

9、_工)=± _1x4x5x.x20x=11'20， 11 2 3 4 5 619 20 11 2-(1-1) (1 + 1)(1-1) 234- 1 1 10+ 11(1+在9 1©依照这一规律，第11个数是：工1024会第12个数是:13 2春第13个数是:111214 2287再比较这4个数的大小即可.解：A评析：本题规律明显，但计算时技巧性较强，在比较四个数的大小时，用常规的比较方法，像通分、把分子变得相同等都会带来大量繁杂的计算.比较4、工-1、J、T7-11 2 12 2 13 2 1412更快捷.例5.已知直线In： y=nn/x+n （n是不为零的自然

10、数）.当n=1时，直线11： y=-2x+1与x轴和y轴分别交于点 A1和B1,设4A1OB1 （其中O是平面直角坐标系的原点）的面积 、，一31 一为Si;当n=2时，直线l2： y= 2x+ 2与x轴和y轴分别父于点 A2和B2,设A2OB2的面积为S2,，依此类推，直线In与x轴和y轴分别交于点 An和Bn,设 AnOBn的面积为Sn.（1）求 AiOBi的面积s；（2）求 S1+S2+S3+ S6 的值.1解：（1）令 x=0,贝 U y=1 ;令 y=0,贝 U x=2.SiJx 1x 1=1.2 24-1 1S6=2X6X二7'一1 1 11 1 1(2)同(1), S2=

11、1x-x-, S3=1x-x-,2 2 32 3 4-Si + S2+S3+-+ S=1 （lUEx1+1X1）2223346 711、/ 11、/ 11、/ 1 1、=2（2）+（2-3）十（3-4）+（ 67）11=1（7）3=.7评析：一次函数的图像及性质是中考的一个重要考点，熟记相关性质是正确解题的关键.本考题巧妙地借助一次函数与两坐标轴围成的图形面积，将分数技巧计算寓于其中， 在考查一次函数基本性质的同时，也考查了学生发现规律、巧妙计算的能力，一举三得.题型四：归纳数量关系数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式.在猜想这种问题时，通常也是根据题目给出

12、的关系式进行类比，仿照猜想数式规律的方法解答.例6. (1)如图，在梯形 ABCD中，AB /CD, AB=b, CD=a, E为AD边上的任意一点， EF / AB ,且EF交BC于点F,某学生在研究这一问题时，发现如下事实：当器=1时，有EF=，;当器=2时，有EF=%2b；当DE=3时，有EF=%3b.当D1=k时，参照2 AE3AE4 AE上述研究结论，请你猜想用k表示DE的一般结论，并给出证明；(2)现有一块直角梯形田地 ABCD (如图所示)，其中AB/CD, AD ±AB , AB=310 米，DC=170米，AD=70米.若要将这块地分割成两块，由两农户来承包，要求这

13、两块地均 为直角梯形，且它们的面积相等.请你给出具体分割方案.分析：猜想的东西未必完全正确，鉴于此，本题按照“猜想一一证明一一应用”的思路 来设计题目，体现了知识的产生过程、科学论证和应用价值.解：(1)猜想出关系式：EF=a±b.1 + kH.证明：过点E作BC的平行线交 AB于G,交CD的延长线于. AB/CD, AGE DHE ,，碧二器，又 EF/ AB / CD, CH=EF=GB , DH=EF -a, AG= b-EFG(2)在AD上取一点E,作EF/ AB交BC于点F,、几DE 皿设第=k,贝U EF=AE170+310kDE=70k1 + k'若S 梯形DC

14、FE=S梯形ABFE ,贝U S梯形ABCD =2S 梯形DCFE,70k1Tk'梯形ABCD、DCFE为直角梯形,170+ 310X 70=2x1 (170+2L210b X2 21 k化简得 12k2- 7k- 12=°,解得：ki=4, k2=4（舍去）,70kDE=1 k=40所以只需在 AD上取点E,使DE=40米，作EF / AB （或EFXDA）,即可将梯形分成 两个直角梯形，且它们的面积相等.【方法总结】解观察归纳问题，应根据已有的图像与文字提供的信息或解题模式，进行适当的正向迁移和归纳推理，并通过计算或证明解决实际问题.解题步骤一般是：（1）观察图像和所给出

15、的数据，获取有效信息；（2）对已获信息进行加工整理，理清各变量之间的关系；（3）选取适当的数学工具，通过合理建模解决实际问题.【预习导学案】（专题二：实验操作问题）.预习导学1 .已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm, 一个内角为40° .（1）请你借助下图画出一个满足题设条件的三角形；（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由；（3）如果题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm, 一个内角为40。”那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有 个.友情提醒：请在你画的图

16、中标出已知角的度数和已知边的长度.“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹.2 .小华将一直角边长为 1的一个等腰直角三角形纸片（如图 1）,沿它的对称轴折叠 1次后得到一个等腰直角三角形（如图2）,再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形 （如图3）,则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为 n次后，所得到的等腰直角三角形（如同上操作，若小华连续将图1的等腰直角三角形折叠图n+1）的一条腰长为第n次折叠-图n+1.反思1 .裁剪、折叠、拼图等动手操作问题和图形变换有何关系?2 .常见的尺规作图有哪些？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一.选择题1.如图，小陈从。点出发，

17、前进5米后向右转20° ,再前进5米后又向右转20° , 这样一直走下去，他第一次回到出发点。时一共走了（）A. 60 米B. 100 米 C. 90 米D. 120 米O20°- 202.某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，请你推测第 n组种子数（）A. 2n+1B. 2n1C. 2nD. n+2，一-， 9 2n +11 一 /十 A一,*3.对于每个非零自然数n,抛物线y=x2-n（n + 1）x+n（n+1）与x轴父于An、Bn两点，

18、以A nBn表示这两点间的距离，则 A 1B1 + A2B2+ A2009B2009的值是（）A 2009B 2008C 网D 20092008200920092010*4.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作是两个相邻的“三角形数”之和.下列等式中，符合这一规律的是（）A. 13=3+10 B. 25=9 + 16 C. 36=15 + 21 D. 49=18 + 311.下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中代表窗纸上所贴的剪纸，则第4 = 1+39=3+

19、616=6+10.填空题n个图2 .用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都 比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n个图案中正三角形的个数为.（用含n的代数式表示）3 .如图，图，图，图，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第 5个“广”字中的棋子个数是 ,第n个“广”字中的棋子个数是4 .观察下列等式：(1)4212=3X5;(2 )52 22=3 X 7;(3)62-32=3 X 9；(4)72-42=3X11；则第n (n是正整数)个等式为 .5.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有

20、10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，依此规律，第个图形有 个小圆.。O。O。 。OOO O O Oo o o 0O O O OOOOO。O。OO O O O O。O Q。OO第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形*6.正整数按下图的规律排列.请写出第20行，第21列的数字第一列第二列第三列第四列第五列第一行1251017!tII第二行4361118III第三行9871219I I第四行1615141320第五行25242322 21*7.如图，已知 RtAABC中，AC=3 , BC=4,过直角顶点 C作CA1，AB,垂足为 A1,再 过A1作A1CBC,垂足为C1,

21、过C1作C1A2，AB,垂足为 A2,再过A2# A2C2XBC,垂 足为C2,，这样一直作下去，得到了一组线段 CA1, A1C1, C1A2,，则CA1=, C4A 5_A5C5=-A*8.把一张纸片剪成 4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止.那么2007, 2008, 2009, 2010这四个数中，可能是剪出的纸片数.三.解答题1.观察下列等式：1X1=1-1 2X2=2 2 3X3=3 3,223344(1)猜想并写出第n个等式；(2)证明你写出的等式的正确性.2.已知x为实数，v、z与x的关系如表格所示:Xyz330X 3+702

22、X1X8430X4+702X2X9530X 5+702X 3X 10630X6+702X 4X 11根据上述表格中的数字变化规律，解答下列问题:(1)当x为何值时，y=43? (2)当x为何值时，y=z?*3.在下图中，每个正方形由边长为1的小正方形组成:n=1n=2n=3(1)观察图形，请填写下列表格:止方形边长1357n (奇数)监色小止方形个数止方形边长2468n (偶数)监色小止方形个数(2)在边长为n (n> 1)的正方形中，设蓝色小正方形的个数为P1,白色小正方形的个数为P2,问是否存在偶数n,使P2=5P1?若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由.1. C1小陈的行走路

23、线是一个外角为20°的正多边形，360° +20° =18, 5X 18=90 (米)】2. A，11所以AnBn=i一不_ , c 2n+11-113. D【当 y=0 时,x nnnx+rnnr=0, 解倚 x1=n' x2=nzi=(-7),所以 A1B1+A2B2+ A2009B2009= ( 1 4) + ( ) + ( -) + (。二门n n+ 122 33 420092010=1 12009,=】 2010 20104. C【"三角形数”的排列规律是1, 3=1+2, 6=1 +2+3, 10=1 + 2+3 + 4,.第n个-1

24、为1 + 2 + 3+ n)n (n+1). “正方形数”的排列规律是：1=12, 4=22, 9=32, 16=42,.第1n个是n2.依此验证，显然选项 A不正确；当n=5时，52=25,第5个“三角形数”是2*5 X (5+1) =15,第4个“三角形数”是10,即52=10+15,所以选项B不正确；同理，62=15 + 21, 72=21+28,所以选项C正确】二.填空题1. 3n+22. 2n+ n3. 15, 2n+51图中棋子个数是 1 + 2X3=1 + 2 (1+2),图中棋子个数是 1 +2X4=1 + 2 (2+2),图中棋子个数是 1 + 2X5=1+2 (3+2),，按照这种规律，第 n个图中棋 子个数是1 + 2 (n + 2) =2n + 5,所以第5个图中棋子个数是 15】4. (n + 3) 2n2=3X ( 2n+3)5. 46【通过观察得出规律：第1个：4+1X2;第2个：4+ 2X3;第3个：4+3X4;第4 个：4 + 4X5;；第 6 个：4+6X7=46 个】6. 420【要解此题方法较多，较简单的规律是：第1行，第2列的数字是2=1 X 2;第2行,第3列的数字是6=2X3;第3行