多项式插值的震荡现象

1、苹南洛隶大率数值分析课程设计多项式插值的震荡现象指导教师学院名称专业名称提交日期问题的提出在一个固定区间上用插值逼近一个函数。显然，拉格朗日插值中使用的节点越多， 插值多项式的次数就越高。而插值多项式增加时， Ln(X)是否也更加靠近被逼近 的函数。下面就这个问题展开实验。实验容I .设区间-1,1上的函数I 1对其等距划分，写出其拉格朗日插值LQ)=： fl一多项式为“。通过不断增加分点数n=2,3,。并：I.画出原函数f(x)及插值多项式函数Ln(x)在-1,1上的图像；II .给出每一次逼近的最大误差；III .比较并分析实验结果。h(x = .2 .选择其他函数，如定义在区间-5,5上

2、的函数 i + /W(x)= t;inx, 重复上述I、II、III三个步骤看其结果如何。3 .区 间 a,b 上 切 比 雪 夫 点 的 定 义 为 *=三十三笃而下),k=1,2,n+1。以马，？，/+为插值节点 构造上述各函数的Lagrange插值多项式，比较其结果。三、实验结果及分析I . I.画出函数f(x)及其插值多项式函数Ln(x)在-1,1上的图像，如下图,(程序代码1.1.1多项式插值的震荡现象-0.610.00 6040.2-0.2欠欠欠次彼次 5 7 9 1r 1 1-1-0 8-0 40 200 204 U 6081II .由于fminbnd函数的不可靠性，先通过编程绘

3、出每次逼近在定义区间上 的误差如下图，(程序代码1.1.2 )逼近心刿与原的数在区间上的误差n百-1J守岁空-$次 7次4 9次 一方I.1七次15次1-1 -11.5 ,9ii-1-0.8 -0.6心 4Q2 00.20.40 60.81观察图像可知每次逼近的最大误差在哪个区间，再通过编程缩小区间，得到 其每次逼近最大误差为(截图如下，程序代码1.1.3 ),Kinin -0.0000 O.iOOOO -0.9273-0.9445-0.9566-0.9631=-0.4327-0.2474-0.3003-0.5568-1.0701-2.1076III .比较并分析实验结果：(1)在同一个坐标系

4、中绘制f(x)及5次、7次等多次插值后的图像。从图 中可以很清楚的看出，在卜0.4,0.4的区间，随着插值次数的增加插值图像 越来越逼近f(x),然而当|x|0.8以后，插值曲线围绕原函数曲线发生剧烈 震荡现象，尤其是插值次数越多时震荡越强烈。(2)在同一个坐标系中绘制每次插值后的误差图像。从图中可以看出较大 误差主要出现在中心及两段，而就每次逼近的最大误差分析。可以观察到：1.当插值次数在一定区间上增多时，其最大误差变小，即吻合度增高(5次插值最大误差是0.437 , 7次插值最大误差是0.2474) ; 2.而超过一定区间， 随着插值次数增加其最大误差越大，而且其最大误差x的取值越趋向于两

5、端， 于是发生了震荡现象。2.h(x)：I.画出函数h(x)及其插值多项式函数Ln(x)在-1,1上的图像，如下图(程序代码2.1.1 ):II.同理先通过编程绘出每次逼近在定义区间上的误差如下图(程序代码2.1.2逼近陶数与原团数在区间上的误差L 二Fk u t LJ一欹4r nr! ! -他欠m15次：bIi9120次.iA _ .= *；111hn111C _ . 1 产 4以后，插值曲线围绕原函数曲线发生 剧烈震荡现象，而无论插值次数多少，震荡都很强烈。不过插值次数越多偏 离越远，误差越大。(2)就每次逼近的最大误差分析。可以观察到：随着插值次数的增加，在 区间-4,4,插值函数的吻合

6、度越大，甚至可以忽略误差。而在两端却误差 增大许多，而且越趋向于两端点。g(x)：I.画出函数g(x)及其插值多项式函数Ln(x)在-1,1上的图像，如下图(程 序代码2.2.1A 多项式插值的震荡现象111111原困数A1 _ _ _ _5次110次词欠O _ Z20次:一-1ii11y1 iiirI -n _ i - -.- -i ?K :I 1UkT1111v.iii.JLi i i i i i-G 3l -3-2-1012345II.同理先通过编程绘出每次逼近在定义区间上的误差如下图(程序代码 2.2.2 ),逼近函数与原函数在区间上的误差0 r-n c -，一二一一姒/1。次15-2

7、。次-U-3-P 1-15-一/Ij1J1JI-54 J 2-1012345再通过缩小区间，编程计算每次逼近最大误差如下(截图如下，程序代码2.2.3 ):sunn -4.2673-4.6869-4.8215-4. 8f23 yin 二-0.32S4-0.2025-2.4624-2.6527III.比较并分析实验结果：(1)在同一个坐标系中绘制g(x)及5次、10次等多次插值后的图像。从图 中可以看出：与第1、2个函数不同，这里的10次插值函数整体拟合程度最 好，在两端并没有发生较剧烈的震荡现象；而插值次数到了 15或20次时, 震荡非常强烈。(2)就每次逼近的最大误差分析。其结果与上两个函数

8、大致一样，就不做 详细说明了。3.以切比雪夫点为插值点构造上述 3个函数的拉格朗日插值公式，并画图, f(x)(程序代码3.1.1 ):h(x)(程序代码3.2.1 ):多项式插信的震荡现象-OS -0.& -0.4-0.200.20.40.60.81原函数5次7次9次11次13次多项式插值的震荡现象-0.5原函数5次10；女15次20次15次g(x)(程序代码3.3.1 ):多项式插值的震荡现象1 51原函数5次10次15次20次I/L口0-0.5ifJ _ 一 _ _ _ _/一 , /-If15 -5-3-2-101234先通过画图并观察，缩小区间得到每次逼近的最大误差:f（x）（程序代

9、码3.1.2 ）:11I :1 111 4 n 1 ii i| ii1E次7次9次11次13次15次*,- 1II11 !1 1_ _il_1H j111r.V1111UrI 11=)1 1 I1T 11ri111ILi11L逼近船数与原由物在区间上的误差-0 1-0.2-0.3-0 4-0.5-1-0.0-0 60.4-Q.200 20.40.60 8（程序代码3.1.3 ）KlLllFL1.Oe-C15 坐-0.01390.041t?0- 02080.07630.0416L.29Uyiiiiri =-0.5559-0.3917-0- 2692-0.1928-0-1234-0,0931h（x

10、）（程序代码3.2.2 ）:啰1B- B * -*i（ B ,m %! 丁 /姒1。次15次2。次，_ M_ J1:J1s. / 1 /1 XI1：/!J1;LJ1!/ /t J1LiLk11 i1 i 11 1I1 11v 11I 1i i逼近闲却与原因刿在区间上的误差-0.05-0 1-0.15-0.2-0 250.3-0.3545-4.-3-2-1012-0.4（程序代码3.2.3 ）Hnin -0. 67LH -0. 6825-1. 9074-0. 3085yum =-0.3514-0,3431-0. OfiOO -0.0:逼近图数与原因数在区间上的误差l/X/TXT- J产V .fi

11、K 7T-T工Jg， 11*MSB37-E次1-0 02 -b.j.n i/v.L -1。次 ；彳-欠I：I ； 20次-0 04 ：J A.iJ! Iu-0.06 -,i：.-JjaJLV: -4d.A1 11r /：-0.08 -j； i；V!r i；-.XL1! ;1I卜rljvn 1A .I u ii111I# _543-21Q123445（程序代码3.3.3 ）Kihin -2.4196-0. 5959-D. 9944-0. 347Symin =。-0. 0522一Q.Q1Q2-0. 0Q57通过观察3个原函数及插值函数图象，可以看出随着插值次数的增加插值图 象越来越逼近原函数，围绕

12、着原函数图像来回波动，并且在两端并没有出现 震荡现象；而分析其3个函数的每次插值函数的误差图像及每次插值的最大 误差。可知：较大的误差主要出现在区间的中心附近，越靠近两段，误差反 而越小，而且插值次数越多，其最大误差越小，即拟合度更高。由此很明显, 以切比雪夫点为插值点的插值函数， 比等距划分插值点的插值函数有更好的 拟合性和估计性。g（x）（程序代码3.3.2 ）:四、关于本设计的体会做了两个星期的课程设计，首先的感触就是很烦，然后感觉收获了很多，包括对 Matlab的熟悉程度有很大的提升、对Matlab 一些置函数也有了很好的理解和运 用、锻炼了自己自习找资料的能力。而做这个课程设计的主要

13、的困难就是做出第 一个函数的绘图、误差分析等等，因为后面无论是其它两个函数或者用切比雪夫 点构造的三个函数的插值函数，都是万变不离其宗。而这次设计的过程和结果，也存在较多不足之处。对Matlab 一些函数的不了解， 导致花大量的时间走了弯路，并得到不太理想的结果，例如：无法通过一个循环 语句；还有就是在分析结果时，不能很透彻的分析到位，尚且有待提高。五、参考文献1任玉杰，数值分析及其 MATLAB；现M,高等教育，20072史万明 吴裕树，数值分析M,理工大学，2010-4六、附录I.运行环境(计算机型号 DELL N403O：查看有关计算机的基本信息Windows 版本Airdowre 0

14、Release Pre/iew目 2012 Microsoft Corporation* 保益斫有校札Windows 8还取新版本的 Endows的更妥功能斯Wind。不体验指数去聂内存(RAM)；第三二就槎：二WirMu心底勒故Intel Core(rMj 百 CPU M 253GH工 2.53 GHz4.00 GB (3冉0 GB 可用64位唾作案婉号有h用于此显示蠡的笨或融捽城人计菖机名.悔工作前堂宣皆吏既设置十管桁推述:Vrlndc?W5 层活manypcWORKGROUPWindows已流舌 在Windows我舌二宜辕注资信息II.运行时间：2012年5月30日星期三20: 00II

15、I.1.程序代码：定义两个m函数:f.m ： function z=f(x)z=1/(1+25*(xA2)Lf.m ： function Ln=Lf(x,n)Ln=0%for i=1:n+1X(i)=-1+2*(i-1)/n;%endfor i=1:n+1%q=f(X(i)for j=1:n+1%if i=jq=q*(x-X(j)/(X(i)-X(j)end初始化 Ln平均划分节点，并存储在X 矩阵该循环得出各项a(x)f(x i)想加之和该循环得出每一项的ai (x)f(x i)endLn=Ln+q end1.1.1 )】：【绘图】运行窗口主程序:fplot(f(x),-1 1,r)%hol

16、d on%color=g,b,m,k,c,y%fplot(Lf(x,5),-1 1,color(1)%fplot(Lf(x,7),-1 1,color(2)%fplot(Lf(x,9),-1 1,color(3) fplot(Lf(x,11),-1 1,color(4) fplot(Lf(x,13),-1 1,color(5) fplot(Lf(x,15),-1 1,color(6) legend( 原函数 ,5 次,7 次,9 title( 多项式插值的震荡现象)axis(-1,1,-1,1)%grid on%画出原函数图像保留图像定义颜色字符组分别画出 5,7,9,11,13,15 次插值

17、的图像次,11 次,13次,15次)% 表明图像名称缩小观察围图像中显示网格，易于观察1.1.2 )【绘图表示误差】运行窗口主程序：hold on%color=g,b,m,k,c,y%fplot(-abs(f(x)-Lf(x,5),-1 1,color(1) % fplot(-abs(f(x)-Lf(x,7),-1 1,color(2) % fplot(-abs(f(x)-Lf(x,9),-1 1,color(3) fplot(-abs(f(x)-Lf(x,11),-1 1,color(4) fplot(-abs(f(x)-Lf(x,13),-1 1,color(5) fplot(-abs(f

18、(x)-Lf(x,15),-1 1,color(6) legend(5次,7次,9 次,11 次,13title( 逼近函数与原函数在区间上的误差grid on%保留图像 定义颜色字符组 分别画出每次插值 在定义区间上的误差次,15 次)% 表明图像名称图像中显示网格，易于观察2.axis(-1,1,-2.2,0)缩小观察围(程序代码1.1.3 )【计算误差】运行窗口主程序：xmin(1),ymin(1)=fminbnd(-abs(f(x)-Lf(x,5),-0.2,0.2)%+算5次插值多项式与原函数之间差的最大值，下面同理xmin(2),ymin(2)=fminbnd(-abs(f(x)-

19、Lf(x,7),-0.2,0.2)xmin(3),ymin(3)=fminbnd(-abs(f(x)-Lf(x,9),-1,-0.8)xmin(4),ymin(4)=fminbnd(-abs(f(x)-Lf(x,11),-1,-0.8)xmin(5),ymin(5)=fminbnd(-abs(f(x)-Lf(x,13),-1,-0.8)xmin(6),ymin(6)=fminbnd(-abs(f(x)-Lf(x,15),-1,-0.8)定义两个m函数：h.m： function y=h(x)y=x/(1+xA4)Lh.m： function Ln=Lh(x,n)Ln=0for i=1:n+1X

20、(i)=-5+10*(i-1)/n;endfor i=1:n+1q=h(X(i)for j=1:n+1if i=jq=q*(x-X(j)/(X(i)-X(j) endend%5始化Ln%F均划分节点，并存储在X矩阵%亥循环得出各项 ai (x)f(x i)想加之和%亥循环得出每一项的Ln=Ln+q end(程序代码2.1.1 )【绘图】运行窗口主程序:fplot(h(x),-5 5,r)%hold on%color=g,b,m,k%fplot(Lh(x,5),-5 5,color)%fplot(Lh(x,10),-5 5,color(2)%fplot(Lh(x,15),-5 5,color(3

21、) fplot(Lh(x,20),-5 5,color(4) legend(原函数,5 次,10 次,15 title( 多项式插值的震荡现象) axis(-5,5,-1,1)%grid on%画出原函数图像保留图像定义颜色字符组分别画出5,7,9,11,13,15 次插值的图像次,20 次)% 表明图像名称缩小观察围图像中显示网格，易于观察(程序代码2.1.2 )【绘图表示误差】运行窗口主程序: hold on color=g,b,m,kfplot(-abs(h(x)-Lh(x,5),-5 5,color(1)fplot(-abs(h(x)-Lh(x,10),-5 5,color(2)fpl

22、ot(-abs(h(x)-Lh(x,15),-5 5,color(3) fplot(-abs(h(x)-Lh(x,20),-5 5,color(4) legend(5 次,10次,15次,20次)title( 逼近函数与原函数在区间上的误差) grid on(程序代码2.1.3 )【计算误差】运行窗口主程序： xmin(1),ymin(1)=fminbnd(-abs(h(x)-Lh(x,5),-5,-4) xmin(2),ymin(2)=fminbnd(-abs(h(x)-Lh(x,10),-5,-4) xmin(3),ymin(3)=fminbnd(-abs(h(x)-Lh(x,15),-5

23、,-4) xmin(4),ymin(4)=fminbnd(-abs(h(x)-Lh(x,20),-5,-4)趴*) = arctan 函数:定义两个m函数：g.m： function y=g(x) y=atan(x)Lg.m： function Ln=Lg(x,n) Ln=0 for i=1:n+1X(i)=-5+10*(i-1)/n; end for i=1:n+1q=g(X(i) for j=1:n+1 if i=j初始化Ln平均划分节点，并存储在X矩阵该循环得出各项ai(x)f(x i)想加之和该循环得出每一项的q=q*(x-XO)/(X(i)-X(j)end end Ln=Ln+q e

24、nd(程序代码2.2.1 ) fplot(g(x),-5 5,r) hold oncolor=g,b,m,k【绘图】运行窗口主程序:%fplot(Lg(x,5),-5 5,color(1) fplot(Lg(x,10),-5 5,color(2) fplot(Lg(x,15),-5 5,color(3) fplot(Lg(x,20),-5 5,color(4) legend(原函数,5 次,10画出原函数图像保留图像定义颜色字符组分别画出5,7,9,11,13,15 次插值的图像次,15title(多项式插值的震荡现象)次,20%axis(-5,5,-4,4) grid on次)表明图像名称缩

25、小观察围图像中显示网格，易于观察(程序代码2.2.2 )【绘图表示误差】运行窗口主程序:hold oncolor=g,b,m,kfplot(-abs(g(x)-Lg(x,5),-5 5,color(1)fplot(-abs(g(x)-Lg(x,10),-5 5,color(2)fplot(-abs(g(x)-Lg(x,15),-5 5,color(3)fplot(-abs(g(x)-Lg(x,20),-5 5,color(4)legend(5 次,10次,15次,20 次)title( 逼近函数与原函数在区间上的误差 )grid on(程序代码2.2.3 )【计算误差】运行窗口主程序：xmin

26、(1),ymin(1)=fminbnd(-abs(g(x)-Lg(x,5),-5,-4)xmin(2),ymin(2)=fminbnd(-abs(g(x)-Lg(x,10),-5,-4.5)xmin(3),ymin(3)=fminbnd(-abs(g(x)-Lg(x,15),-5,-4.5)xmin(4),ymin(4)=fminbnd(-abs(g(x)-Lg(x,20),-5,-4.5)3. 切比雪夫点为插值节点构造f(x) 插值多项式：定义m函数：Lf0(x,n).m ：function Ln=Lf0(x,n)Ln=0for i=1:n+1X(i)=cos(2*i-1)*pi/2/(n+

27、1);endfor i=1:n+1q=f(X(i)for j=1:n+1if i=jq=q*(x-X(j)/(X(i)-X(j)endendLn=Ln+qend（程序代码3.1.1 ）【绘图】运行窗口主程序：fplot(f(x),-1 1,r)%hold on%color=g,b,m,k,c,y%fplot(Lf0(x,5),-1 1,color(1)%fplot(Lf0(x,7),-1 1,color(2)%fplot(Lf0(x,9),-1 1,color(3) fplot(Lf0(x,11),-1 1,color(4) fplot(Lf0(x,13),-1 1,color(5) fplo

28、t(Lf0(x,15),-1 1,color(6) legend( 原函数 ,5 次,7 次,9 title( 多项式插值的震荡现象)axis(-1,1,0,1)%grid on%次,11%画出原函数图像 保留图像 定义颜色字符组分别画出 5,7,9,11,13,15 次插值的图像次,13 次,15 次）表明图像名称缩小观察围图像中显示网格，易于观察保留图像定义颜色字符组（程序代码3.1.2 ） 【绘图表示误差】运行窗口主程序：hold on%color=g,b,m,k,c,y%fplot(-abs(f(x)-Lf0(x,5),-1 1,color(1)fplot(-abs(f(x)-Lf0(

29、x,7),-1 1,color(2)fplot(-abs(f(x)-Lf0(x,9),-1 1,color(3)fplot(-abs(f(x)-Lf0(x,11),-1 1,color(4)fplot(-abs(f(x)-Lf0(x,13),-1 1,color(5)fplot(-abs(f(x)-Lf0(x,15),-1 1,color(6)legend(5 次,7 次,9 次,11 次,13 次,15 次)title( 逼近函数与原函数在区间上的误差 )% 表明图像名称grid on axis(-1,1,-0.6,0)(程序代码3.1.3 )【计算误差】运行窗口主程序：xmin(1),ym

30、in(1)=fminbnd(-abs(f(x)-Lf0(x,5),-0.2,0.2) xmin(2),ymin(2)=fminbnd(-abs(f(x)-Lf0(x,7),-0.2,0.2) xmin(3),ymin(3)=fminbnd(-abs(f(x)-Lf0(x,9),-0.2,0.2) xmin(4),ymin(4)=fminbnd(-abs(f(x)-Lf0(x,11),-0.2,0.2) xmin(5),ymin(5)=fminbnd(-abs(f(x)-Lf0(x,13),-0.2,0.2) xmin(6),ymin(6)=fminbnd(-abs(f(x)-Lf0(x,15)

31、,-0.2,0.2) 切比雪夫点为插值节点构造h(x) 插值多项式：定义m函数： Lh0(x,n).m ： function Ln=Lh0(x,n) Ln=0 for i=1:n+1X(i)=5*cos(2*i-1)*pi/2/(n+1); endfor i=1:n+1q=h(X(i)for j=1:n+1if i=jq=q*(x-X(j)/(X(i)-X(j) endendLn=Ln+qend(程序代码3.2.1 )【绘图】运行窗口主程序：fplot(h(x),-5 5,r)%hold on%color=g,b,m,k%fplot(Lh0(x,5),-5 5,color(1)%fplot(L

32、h0(x,10),-5 5,color(2)%fplot(Lh0(x,15),-5 5,color(3) fplot(Lh0(x,20),-5 5,color(4) legend( 原函数 ,5次,10次,15title( 多项式插值的震荡现象)axis(-5,5,-0.6,0.6)%画出原函数图像保留图像定义颜色字符组分别画出 5,7,9,11,13,15 次插值的图像次,20 次)% 表明图像名称缩小观察围grid on% 图像中显示网格，易于观察（程序代码3.2.2 ） 【绘图表示误差】运行窗口主程序：hold oncolor=g,b,m,kfplot(-abs(h(x)-Lh0(x,5

33、),-5 5,color(1)fplot(-abs(h(x)-Lh0(x,10),-5 5,color(2)fplot(-abs(h(x)-Lh0(x,15),-5 5,color(3)fplot(-abs(h(x)-Lh0(x,20),-5 5,color(4) legend(5 次,10 次,15 次,20 次) title( 逼近函数与原函数在区间上的误差 )grid on(程序代码3.2.3 )【计算误差】运行窗口主程序：xmin(1),ymin(1)=fminbnd(-abs(h(x)-Lh0(x,5),-1,0) xmin(2),ymin(2)=fminbnd(-abs(h(x)-Lh0(x,10),-1,0) xmin(3),ymin