随机变量及其分布测试题

1、计数原理与概率、随机变量及其分布 理概率文（时间120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 .把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是（）A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D .以上答案均不对解析：四张纸牌分发给四人， 每人一张，甲和乙不可能同时分得梅花，所以是互斥事件,但也有可能丙或丁分得梅花，故不是对立事件.答案：C3解析：A游戏盘的中奖概率为382 .有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中

2、奖，他应当选择 的游戏盘为（）,B游戏盘的中奖概率为 -,C游戏盘的中奖概率为322(2r) r_2(2r)答案：A,D游戏盘的中奖概率为2 r -2 r1一,A游戏盘的中奖概率最大.3 .理某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名 女生那 么不 同 的 选 派方 案 种 数 为A. 14 B .24 C .28 D .48解析：法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数 C 2 , C 3+ C2 , c2=2X4+1X6= 14.法二：从4男2女中选4人共有C6种选法，4名都是男生的选法有 庭忙故至少 有1名女生的选派方

3、案种数为 C4-C4=15-1 = 14.答案：A4 .文在4ABC中，D是BC的中点，向ABS任投一点.那么点落在 ABDJ的I为()一一 一， 一 一 1, _, 1解析：因为D是BC的中点，所以SA AB户2SA ABC,所以点落在 ABDJ的概率为2.答案：B5 .理(2009 辽宁高考)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队， 要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有()A. 70 种 B . 80 种 C . 100 种 D . 140 种 解析：分恰有2名男医生和恰有1名男医生两类，从而组队方案共有：dxc4+ dxc2= 70种.答案：A6 .文两个骰子的点

4、数分别为b、c,则方程x2+bx+ c=0有两个实根的概率为 ()解析：共有36个结果，方程有解，则A = b24c>0,，b2>4c,满足条件的数记为(b2,4c), 共有(4,4) , (9,4) , (9,8) , (16,4) , (16,8) , (16,12) , (16,16) , (25,4) , (25,8), (25,12) , (25,16) , (25,20) , (25,24) , (36,4) , (36,8) , (36,12) , (36,16) , (36,20), (36,24),19 个结果，P= 19.36答案：C7 .理(2009 重庆高考

5、)x2+28的展开式中x4的系数是()xA. 16 B . 70 C . 560 D. 1 120解析：由二项展开式通项公式得Tk+1=d(x2)8-k 2 k=2kdx16-3k.由16-3k=4,彳导k= 4,x则x4的系数为24C8= 1 120.答案：D文某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过(假设每一辆带走站上的所有乘客 )，乘客到 达汽车站的时间是任意的，则乘客候车时间不超过3分钟的概率为52 3解析:P=一P 55.答案：B8.若A B为一对对立事件，其概率分别为41 ，一P(A) =-, P(B)=-，则x+y的最小值为( xyA. 9解析:由已知得4 1-F -=1( x>

6、0 x yy>0)l- x+y=(x+y)(-+-) = 5+(+-) >9. x y x y答案:9.理从数字0,1,2,3,5,7,8,11中任取3个分别作为 Ax+ By+ C= 0中的A B, C( AB,C互不相等）的值得直线恰好经过原点的概率解析：P=7X6 _ 18X7X6 8答案：B10.文一块各面均涂有油漆的正方体被据成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个,其两面涂有油漆的概率是解析：每条棱上有8块，共8X12=96块.，概率为8X121 00012125.答案：Dx + y啦 W0,内任取一点P,则点P落在单位圆x2+

7、y2=1内的概率为11 在区域 xy+啦>0, y>0()解析：区域为 ABCft部（含边界），则概率为S半圆P=S ABC答案：D.21 一12 .理在(x2?n的展开式中，常数项为15,则n=()A. 3B .4C. 5 D.6k1k解析：对于二项式的展开式问题，关键要考虑通项，第k+1项Tk+1=G x2（n k） -（-）x3k= d（Dkx"3k应有2n-3k=0, -n = 3k,而n是正整数，故k= 2,4, 6.结合题目给的已知条件，常数项为15,验证可知k=4, n=6.答案：D13 .文已知直线y=x+b的横截距在2,3范围内，则直线在y轴上的截距b大

8、于1的概率是（）2 1解析:P=2-(-3)答案：A14 .理用1,2,3,4,5,6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是（）A. 40B . 60 C .80 D . 10解析：若个位数是偶数，当2在个位时，则1在十位，共有A2A2=4（个），1122当2不在个位日,共有 A A 2 A 2 A 2= 16（个），所以若个位是偶数，有 4+16= 20个六位数.同理，若个位数是奇数，有 20个满足条件的六位数，因此，这样的六位数的个数是40.答案：A15 .文若书架上放有中文书 5本，英文书3本，日文书2本，由书架上抽出一本外文书的

9、概率为 （）解析:P=10答案：D16 .理口袋中有4个白球，n个红球，从中随机地摸出两个球，这两个球颜色相同的概率大于，则n的最小值为（）A. 13 B . 14 C . 15 D . 16 Ci+Cn.一一.一一.一.解析：由已知条件可得 一>,解之得n>12或n<1（舍去），n的最小值为13.C1+4答案：A17 .文一个坛子里有编号为 1,2，12的12个大小相同的球，其中1至6号球是红球， 其余的是黑球，若从中任取两个球， 则取到的都是红球， 且至少有1个球的号码是偶数 的概率为()解析：从12个球中任取两个的做法有 66种.取到的是红球且至少有1个球号码为偶数的做

10、法共有15-3= 12种， c 122=66 = i1.答案：D18 .理若从数字0,1,2,3,4,5中任取三个不同的数作为二次函数y=ax2+ bx+c的系数,则与x轴有公共点的二次函数的概率是解析：若从0,1,2,3,4,5中任选三个数作为二次函数的系数，对应二次函数共有 C5A5 =100个，其中与x轴有公共点的二次函数需满足b2>4ac,当c=0时，a, b只需从1,2,3,4,5 中任选2个数字即可，对应的二次函数共有A个，当CWO时，若b = 3,此时满足条件的(a, c)取值有(1,2) , (2,1)有2种情况；当b=4时，此时满足条件的(a, c)取值有(1,2),

11、(1,3), (2,1), (3,1)有4种情况；当b=5时，此时满足条件的(a,3417100=50.c)取值有(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,1) , (3,1), (4,1) , (3,2)有 8 种情况，即共有20+ 2 + 4+8= 34种情况满足题意，故其概率为答案：A19 .文若1w aW1, 1w bW1,则方程x2+2ax+b2=0有实根的概率等于()解析：方程x2+2ax+b2=0有实根时，应有 4a2-4 b2> 0,即| a|引b| ,当-1 wa W1, -1 wbw1时，(a, b)对应的区域是一个正方形，满足| a| >|

12、 b|,，一，一，、一，r1的(a, b)对应的区域是如图所小的阴影部分，回出图形可得：P=-.2答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上 )1.在平面直角坐标系 x O y中，设D是横坐标与纵坐标的名对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于 1的点构成的区域，向 D中随机投一点，则所投的点落在E中的概率是解析：如图：区域 D表示边长为4的正方形ABCD勺内部（含边界），区域E表示单位圆 12及其内部，因此P= 一4 416答案：一2.理（2009 广东高考）已知离散型随机变量 X的分布列如下表.若E(X) = 0D(X)=1,16，b=

13、则a=解析：由题意1a+c+6=0,1 b= c=".4a T+ c T + 上X22= 112-51日木：1243.文如图，在矩形ABCEfr, AB=5, AD=7.现在向该矩形内随机投一点Z APB-90时的概率为1(52力(力5解析：P=2一235565答案：564.理（2010 安徽师大附中模拟）a=（sin x+cosx）d x则二项式（死扭1一x)6展开式X1012Pabc172中含x2的项的系数是解析：a= (sin x+cosx)d x= (sin x cosx) "17 0=(sin 汽一cos n)(sin0cos0)=(0 +1) (0 1) =2.

14、又Tr+1 = C6(a&)a6 r (1 r-x)=C6 a6 r ( 1)rx(r2)X 6 rr 3 r=C6 a( 1) x .由 3 r = 2,解 r = 1,，x2项的系数为一C6a5=- 192.答案：1925 .文如图所示，a, b, c, d是四处处于断开状态的开关，任意将其中两个闭合，则电路被接通的概率为解析：上个开关任意闭合2个，有ab、ac、ad、bc、bd共6种方案,电路被接通的条件是：开关 d必须闭合；开关a, b, c中有一个闭合即电路被接通有ad、bd和cd共3种方案，所以所求的概率是-1答案：126 .已知中心在原点，焦点在 x轴上的双曲线的一条渐近

15、线为mx- y=0,若 m在集合123,4,5,6,7,8,9中任意取一个值，使得双曲线的离心率大于3的概率是.解析：由题意知 m= b, e= J1 + n2,仅当m= 1或2时，1<e<3,，e>3时的概率P= 7. a97答案：9三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤)7 .(本小题满分 12 分)设 A= ( x, y)|1 wxw6,1wyw6, x, yC N*.(1)求从A中任取一个元素是(1,2)的概率；(2)从A中任取一个元素，求 x+y> 10的概率；(3)理设Y为随机变量，Y= x+y,求E().-,

16、， “一，一，,1_”解：(1)设从A中任取一个元素是(1,2)的事件为B,则RB)=,所以从A中任取一个36元素是(1,2)的概率为上.36(2)设从A中任取一个元素，x+ y> 10的事件为G则有(4,6) , (6,4) , (5,5) , (5,6)(6,5) , (6,6)共 6 种情况,口1于是RQ = 6, ，一一1所以从A中任取一个兀素，x+y>10的概率为.(3)理Y可能取白值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.1RY= 2)=36,2 p(Y= 3)=36,3 RY= 4)=36,4RY= 5)=覆5P(Y= 6)=36，6P(Y= 7)=36，

17、5 ry= 8r4P(Y= 9)=363RY= 10)=36,2" 11) = 361RY= 12)=而则 E(Y) =2X36+3x 36+4x36+5><36+6><36+7x36+8x6+9><36+10><36 +211X36+12X1 36=7.8.(本小题满分12分)如图，已知 AB是半圆O的直径，AB= 8, M N P是将半圆圆周四等分的三个分点.(1)从A、B、M M P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角 三角形的概率；(2)在半圆内任取一点 S,求三角形SAB的面积大于8，2的概率.解：(1)从A B M M

18、P这5个点中任取3个点，一共可以组成 10个三角形：ABMABN ABP AMN AMP ANP BMN BMP BNP MNP 其中是直角三角形的只有 ABIM ABNABP3 个，3所以这3个点组成直角三角形的概率 P=(2)连结MP取线段 MP勺中点D,则ODL MP 易求得O» 2啦,当S点在线段MF±时，&ab"工X 2版X 8=8 J2 ,2所以只有当S点落在阴影部分时，三角形SAB面积才能大于8J2,而S 阴影=S 扇形 OM-S ZOM= X X 42- 1 X 42=4 兀-8 ,所以由几何概型公式得三角形 SAB的面积大于8衣 的概率P

19、=-一8 2 829.理(本小题满分生产，工厂规定:12分)某车间准备从10名工人中选配4人到某生产线工作，为了安全一条生产线上熟练工人数不得少于3人.已知这10名工人中有熟练工8名，学徒工2名. 求工人的配置合理的概率;(2)为了督促其安全生产，工厂安全生产部门每月对工人的配备情况进行两次抽检，求两次检验得到的结果不一致的概率.解：(1) 一条生产线上熟练工人数不得少于3人有C8+C8C1种选法.工人的配置合理的工 +C + C3C1 13概率九=行.(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，因两次检验得出工人的配置合理的13 概率均为江，故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有

20、一次是合格的概率为151131352015(1 - 15) = 225.10.文(本小题满分12分)投掷一个质地均匀的、 每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0,两个面标的数字是 2,两个面标的数字是 4,将此玩P的横坐标和纵坐标.具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点 (1)求点P落在区域C： x2+y2<10内的概率；M在区域C上随机撒(2)若以落在区域 C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域一粒豆子，求豆子落在区域 M上的概率.解：点 P 的坐标有：(0,0) , (0,2) , (0,4) , (2,0) , (2,2),(2,4)(4

21、,0),(4,2),(4,4)，共9种，其中落在区域C: x2+y2wi0上的点有:P的坐标(0,0),(0,2) , (2,0) , (2,2),共4种.故点P落在区域C:x2+y2< 10 内的概率为(2)区域M为一边长为2的正方形，其面积为 4,区域C的面积为10兀，则豆子落在区2域M上的概率为511理(本小题满分12分)用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色的鲜花，相邻区域使用不同颜色的鲜花(1)求恰有两个区域用红色鲜花的概率;(2)记花圃中红色鲜花区域的块数为X,求X的分布列及其数学期望.A D同色时，共有解：(1)设M表示事件“恰

22、有两个区域用红色鲜花”，如图，当区域5X4X3X1X3= 180 种;当区域A、D不同色时，共有 5X4X3X2X2= 240种;ABCED因此，所有基本事件总数为：180+240= 420种.它们是等可能的.又因为 A D为红色时，共有 4X3X3= 36种；R E为红色时，共有 4X3X3= 36种；因此，事件 M包含的基本事件有：36+36= 72种.726所以，恰有两个区域用红色鲜花的概率P(M) = =420 35(2)随机变量X的取值分别为0,1,2.则当X= 0时，用黄、蓝、白、橙四种颜色来涂色，若A、D为同色时，共有 4X3X2X1X2= 48种；若A、D为不同色时，共有 4X

23、3X 2X1X1= 24种；即X= 0所包含的基本事件有 48 + 24= 72种,726所以 RX= 0)=420=35； 6由第问得跖2）=35；6623所以 RX= 1)=1-35-35= 35.从而随机变量 X的分布列为:X012P6352335635 ,6236所以，E（X）=0><35+1x 35+ 2X 35=1.12.文（本小题满分12分）在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒 子中有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y,记z=|x 2| +|yx|.求z的所有可能的取值，并求出 z取相应值时的概率.解：z的所有可能取值为0,1,2,3.当

24、z = 0时，只有x=2, y= 2这一种情况，当 z = 1 时，有 x=1, y= 1 或 x=2, y = 1 或 x = 2, y= 3 或 x= 3, y = 3 四种情况,当z = 2时，有x=1, y= 2或x=3, y = 2两种情况，当z = 3时，有x=1, y= 3或x=3, y = 1两种情况，有放回地抽两张卡片的所有情况有9种.142,Rz=0)=9，Rz=1)=9，Rz=Rz=3)=9.13.理（本小题满分12分）（2009 陕西高考）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用)=9,费者投诉2次的概率.X0123P2aa解：(1)由概率分布的性质有+2a+a=1,解得

25、a=.X的概率分布列为X0123PE(X) = 0x + ix + 2x + 3x=.(2)设事件A表示“两个月内共被投诉 2次”；事件A表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉 0次”；事件A2表示“两个月内每个月均被投诉1次”.则由事件的独立性得RA) = C2P(X= 2)P(X= 0) =2XX = , 2 P( A2) = P( X= 1)=, .RA) = P(Ai) +RA) = + =.故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为.14.文(本小题满分12分)甲、乙两人玩一种游戏， 每次由甲、乙各出1到5根手指，若和 为偶数算甲赢，否则算乙赢.(1)若以A表示和为6

26、的事件，求RA);(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件为什么(3)这种游戏规则公平吗试说明理由.解：(1)基本事件空间与点集 S= ( x, y)| xCN*, yCN” 1wxw5,i < yw5中的元素一一 对应.因为S中点的总数为5X5= 25(个)，所以基本事件总数为n=25.事件A包含的基本事件数共5个：(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1),551所以 PA)=-.25 5(2) B与C不是互斥事件，因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次.13这种游戏规则不公平.由(1)知和为偶数的基

27、本事件为13个，所以甲赢的概率为-3乙赢的概率为1225,所以这种游戏规则不公平.15.理(本小题满分14分)一个口袋里有2个红球和4个黄球，从中随机地连取 3个球,每次取一个，记事件 A= "恰有一个红球"，事件 B= "第3个是红球”.求：(1)不放回时，事件A B的概率；(2)每次抽后放回时， A B的概率.解：(1)由不放回抽样可知， 第一次从6个球中取一个，第二次只能从5个球中取一个， 第三次从4个球中取一个，基本事件共6X5X4= 120个，又事件 A中含有基本事件3X 2X4X3= 72个，(第一个是红球，则第 2,3个是黄球，取法有 2X4X3种，

28、第2个 是红球和第3个是红球取法一样多)，723 询 第3次取到红球对前两次没有什么要求,1-八因为红球数占总球数的每一次取到都是随机地等可能事件,31.Rf. 3(2)由放回抽样知，每次都是从6个球中取一个，有取法 63= 216种，事件A含基本事件 3X2X4X4= 96 种.96.3 茄49.第三次抽到红球包括 B=红，黄，红, R=黄，黄，红, R = 黄，红，红, 8=红,22X4X24X4X2 4红，红四种两两互斥的怕形，p(b)= =27，RR)=-216216=24X2X2 2 RR)= 216 =27,2X2X2 1R R)=,' 421627， . P( B) =

29、P( B) + P( B2) + P( B) + P( B) 24211= 27+27+ 27+27=3.16.文(本小题满分14分)一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)骰子四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字，抛掷这颗正四面体骰子，观察抛掷后能看到的数字.(1)若抛掷一次，求能看到的三个面上数字之和大于6的概率；(2)若抛掷两次，求两次朝下面上的数字之积大于7的概率；(3)若抛掷两次，以第一次朝下面上的数字为横坐标a,第二次朝下面上的数字为纵坐标b,求点(a, b)落在直线x y=1下方的概率.解：(1)记事件“抛掷后能看到的数字之和大于6”为A,抛掷这颗正四面体骰子

30、， 抛掷后能看到的数字构成的集合有 2,3,4 , 1,3,4 , 1,2,4 , 1,2,3,共有4种情形， 3其中，能看到的三面数字之和大于6的有3种，则P(A)=-.(2)记事件“抛掷两次，两次朝下面上的数字之积大于7”为B,两次朝下面上的数字构成的数对共有16种情况，其中能够使得数字之积大于7的为(2,4) ,(4,2) ,(3,3) ,(3,4),tl 63(4,3) , (4,4)共 6 种，则 P(B)= «.16 8 记事件“抛掷后点(a,b)在直线x-y= 1的下方”为C,要使点(a,b)在直线x y=1的下方，则需 bva1,当b=1时，a=3或4；当b=2时，a

31、=4.-、选择题1 .袋中有大小相同的 5个球，分别标有1,2,3,4,5 五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X,则X所有可能取值的个数是()A 5B. 9 C . 10 D . 25解析：号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9种.答案：B2 .设X是一个离散型随机变量，其分布列为：则q等于2A 1 B . 1 士丁C解析：由分布列的性质得10W 1 2qv 10V qw2,0w q2< 1?+ 1-2q+q2=1q=1 ±学答案：C().1 一半 D . 1 +半q=1-22.X101P1 2q2 qk= 1,2 ,

32、，则 P(2 <X< 4)等于(一，、，“，13 .已知随机变量 X的分布列为 RX= k) =2k,113解析：P(2vXw 4) = P(X= 3) + P(X= 4)=23+Q= 16.答案：A4 .一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取 3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X),则P(X= 4)的值为()“ C一一什C3 - c9 27解析：X= 4表不取2个旧的，一个新的， RX= 4)=一片 =TTT. C12220答案：C5 .若离散型随机变量 X的分布列为：X01P2-29c c3-8c则常数c的值为(),1

33、或 ad.13一2 一 一9c c > 0 >1解析：由 3-8c>0,.-.c=-.329c c+ 3 8c= 1,答案：C6 .一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c, a、b、cC(0,1),已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他彳#分情况)，则ab的最大值为()解析：由已知 3a+2b+0xc=1,，3a+2b=1,2 .ab=- - 3a - 2b<-( a ) =,当且仅当 a=-, b=时取“等号”.6642464答案：B二、填空题7.设随机变量 X等可能取值1,2,3 ,，n,如果P(Xv4)=,那么n =.1.1

34、.斛析：. P(X= k)=n(k=1,2,，n),3. =rx< 4) = RX= 1)+p(X= 2) + p(X= 3)=2.n=10.答案：108 .从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出 2个球，设其中有 X个红球，则随机变量 X 的概率分布为X012P人一C3 C2解析：当2球全为红球时=,当2球全为白球时d=,/C3 C2 6当1红、1白时f=G=. C510答案：9 .设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量 X去描述1次试验的成功次数，则R X= 0)的值为解析：设X的分布列为:X01Pp2p即“X= 0”表示试验失败，“X= 1”表示试验成功，设失败的概率为p,成功的概率为2p,由 p+2p=1 ,则 p=1.3三、解答题10 .某重点高校数学教育专业的三位毕业生甲、乙、丙参加了一所中学的招聘面试，面试合格者可以正式签约， 毕业生甲表示只要面试合格就签约，毕业生乙和丙则约定： 两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约，设每人面试合格的概率都是否合格互不影响，求:(1)至少有1人面试合格的概率;(2)签约人数X的分布列.解：(1)至少有1人面试合格的概率为P= 1-2 3 193 27.(2)P(X= 0)=2x 2x