青岛版2020九年级数学上册第二章解直角三角形自主学习能力达标测试卷B(附答案详解)

1、B （附答案青岛版2020九年级数学上册第二章解直角三角形自主学习能力达标测试卷 详解）1.如图，为了保证道路交通安全，某段高速公路在A处设立观测点，与高速公路的距离AC为20米.现测得一辆小轿车从A . 5tan” 米/秒B处行驶到C处所用的时间为4秒.若/BAC=a,B. 80tana 米/秒D. 9米/秒C,1米/秒1项”2 .如图，山上有一座高塔，山脚下有一圆柱形建筑物平台，高塔及山的剖面与圆柱形 建筑物平台的剖面 ABCD在同一平面上，在点 A处测得塔顶H的仰角为35。，在点D处测得塔顶H的仰角为45。，又测得圆柱形建筑物的上底面直径AD为6m,高CD为2.8m ,则塔顶端H到地面的

2、高度HG为（）（参考数据：sin35 0.57, cos35 0.82, tan35 0.70,亚 1中）A . 10.8mB. 14mC. 16.8mD. 29.8m3 .野外生存训练中，第一小组从营地出发向北偏东60。方向前进了 3 km,第二小组向南偏东30。方向前进了 3 km,第一小组准备向第二小组靠拢，则行走方向和距离分别为（）A .南偏西 15° , 3s/2 kmB.北偏东 15° , 3J2kmC.南偏西15° , 3 kmD.南偏西 45° , 352km4.如图，菱形ABCD的对角线AC的长为6, sin/ ABD =-,则这个菱形

3、的周长是5C. 14D. 325.如图 AD_LCD, AB=13, BC= 12, CD = 3, |AD = 4,则疝】B=()A. 5B. 12C. HD. 4131336.在那BC 中，/ C=90°, sinB=1,则 tanA 的值为（）2A. 73B. 1C,岑D. 17 . 一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）下23A .B.2C.3D.(73 1)8 .若锐角 A、B满足条件45： A B 90：时，下列式子中正确的是()A.sinAsinBB.cotBcotAC.tanAtanBD

4、.cosA cosB9 .在 RtAB计，/ C=90，贝U tanA xtanB 的值一一定是 ()A.小于1B.等于1C.大于1D.不小于110 .计算：2V2sin45 cos30 +3tan60 =.11 . 2017年5月5日我国自主研发的大型飞机C919成功首飞，如图给出了一种机翼的示意图，用含有 m、n的式子表示AB的长为.C12 .在 RtAABC 中，/ C=90°,如果 AC=4 , sinB=-,那么 AB= 313 .如图，在也MB。中，”08=叫，Q为八£边上的中线，过点百作八月1CD交BC于 点网若=2,月。=4,则|AE的长为.15 .在0AB

5、CD 中， B 60 , AB BC 4,点 E 在 BC 上，CE 2/3 .若点 P 是0ABCD边上异于点E的另一个点，且 CE CP ,则EP2的值为.16 .如图，斜坡 AB的坡度i 1:3 ,该斜坡的水平距离 AC 6米，那么斜坡 AB的长17.如图，某课外活动实践小组在楼顶的A处进行测量，测得大楼对面山坡上E处的俯角为30°,对面山脚 C处的俯角 60°,已知 ABXBD, ACXCE, BC=10米，则C, E两点间的距离为 米.S C D18 .在4ABC 中，已知 sinA = - , cosB =,则/ C =度.2219 .运用所学知识计算三角函数值

6、:tan22.5 =°20 .小明家在某小区买了一套住房，该小区楼房均为平顶式,南北朝向，楼高统一为16米（五层），小明在冬至正午测得南楼落在北楼上的影子有3.5米高（如图），且已知两楼相距有20米，请你帮小明求此时太阳光与水平线的夹角a的度数（结果精确到1°）.21 .在 RtAABC 中，/ ACB=90° ,点 D 与点 B 在 AC 同侧，/ DAC >/ BAC,且 DA=DC ,过点B作BE II DA交DC于点E,过E作EM II AC交AB于点M ,连结 MD .(1)当/ADC=80°时，求/ CBE的度数.(2)当/ ADC=c

7、 时: 求证：BE=CE.求证：/ADM=/CDM.当“为多少度时，DM=J3EM.22 .如图，放置在水平桌面上的台灯灯臂 AB长为42cm,灯罩BC长为32cm,底座厚 度为2cm,灯臂与底座构成的/ BAD =60。.使用发现，光线最佳时灯罩 BC与水平线 所成的角为30。，此时灯罩顶端 C到桌面的高度 CE是多少cm?23 .如图所示，在Rt ABC中， B 90 , BC 4、/3， C 30 ,点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点 A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点 B匀速运动，当其中一点到达终点时， 另一个点也随之停止运动.设点D

8、、E运动的时间是t秒(t 0),过点D作DF BC于点F ,连接 DE、EF .(1)求证：AE DF ;(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由;(3)当t 时， DEF为直角三角形.24 .计算03(1)、3 、2 3 tan 60' sin 30；22一工-2 a 4 /1 11(2)先化间再求值：2 1- 其中a a2 4 4a 2 a225.如图，在 RtAABC 中，/ C=90°, D 是 AC 边上一点，tan/ DBC=-,且 BC=6 ,326.如图，海岛A四周20海里范围内是暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏

9、西60。，航行24海里后到C处，见岛A在北偏西30。，货轮继续向西航行，有，BC=8cm, AC = 6cm.点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm,点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒 2cm,当点Q到达顶点C时，P, Q同时停止运动，设P, Q两点运动时间为t秒.当t为何值时，PQ/BC?(2)设四边形PQCB的面积为y,求y关于t的函数关系式;(3)四边形PQCB面积能否是 ABC面积的刍？若能，求出此时5t的值；若不能，请说明理由;(直接写出结果)参考答案1. A【解析】【分析】“角的正切函数值先由于观测点A处与高速公路距离（A

10、C）为20米，则/ ACB=90 ,根据 表示BC的长，再根据速度=路程刑间得到汽车的速度即可.【详解】在 RtAABC 中，/ ACB=90 , / BAC刁,AC=20 米，BC=AC?tan / BAC=2Otan “（米）.,此车速度=20Xtan “ + 4=5ta米/秒，故选A.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，理解正切函数的意义是解题的关键.2. C【解析】【分析】x的代数式表示延长AD交HG于M ,则MG=28m ,设DM=x ,根据三角函数的概念用含HM ,根据题意列出方程，解方程即可.【详解】延长 AD 交 HG 于 M ,贝U MG=CD=28m ,设 DM=x ,在

11、 RtAAHM 中，HM= (x+6) ?tan35 ；在 RtADHM 中，HM=x?tan45 =x,(x+6) ?tan35 ° =x即(x+6) X0.70=x,即 HM=14 .HG=14+2.8=16.8 (m).故选C.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是能根据题意构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形.3. A【解析】【分析】找出题目中隐藏的直角三角形，一小组行走路线和二小组行走路线的中点连接，构成一个直角三角形，可以运用勾股定理，计算第一小组要行走的路程.【详解】解：根据行走的路线画出图形：J L，声 A小组从营地出发向北偏东6

12、0。前进，第二小组向南偏东 A 小组走的距离为 3千米，第二小组走的距离为3千米，而且他们行走的路线夹角为/AOB=90。，/ OAC=60 ° , / OAB=45 ° , ./ BAC=15 ° ,二.A小组准备向第二小组靠拢，则行走方向南偏西15。，在图示的三角形中可以运用勾股定理，所以第一小组要行走的路程为 732 32 = 3 J2 km.故选：A.30。方向前进,【点睛】本题考查勾股定理的应用，解决问题的关键是找出合适的直角三角形，并且用勾股定理求解.4. A【解析】【分析】首先在直角三角形 ABO中利用锐角三角函数求得 AB的长，然后求得周长即可.

13、【详解】解：二.四边形ABCD为菱形， ACXBD,. AC=6, AO=3,. sin/ABD = 3 , 5 AB = AOsinZ ABD = 5,，周长为20,故选：A.【点睛】本题考查了菱形的性质及解直角三角形的知识，解题的关键是能够利用解直角三角形的知识求得边长，难度不大.5. A【解析】【分析】根据勾股定理可求 AC的长度；由三边长度判断那BC为直角三角形.根据三角函数定义求 解.【详解】由勾股定理知，AC2=CD2+AD 2=25, . AC=5 . AC2+BC2=169=AB 之,. CBA是直角三角形，/. sinB= = JL.AB 13【点睛】 本题利用了勾股定理和勾

14、股定理的逆定理，考查三角函数的定义.6. A【解析】【分析】先根据特殊角的三角函数值得出/B,从而得出/ A,即可计算出结果.【详解】解：在 RtAABC 中，/ C=90 ,sinB=-,2B=30° ,/ A=60° ,tanA= 33 故选A .【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，比较简单.解题时熟记特殊角的三角函数值是关键.7. C【解析】【分析】由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为J3的正三角形.可计算边长为2,据此即可得出表面积.【详解】解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为J3的正三角形.正三角形的边长近 2.sin 6

15、0圆锥的底面圆半径是 1,母线长是2,，底面周长为2 1_C，侧面积为一 22 2 , 底面积为 r2,2.全面积是3故选：C.【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.8. D【解析】【分析】根据锐角三角函数的增减性进行判断即可.【详解】v 45： A B 90：，sinA< sinB , cotB< cotA, tanA< tanB , cosA cosB .故只有D选项正确.故选：D.【点睛】本题考查锐角三角函数的增减性，锐角的余弦值和余切值是随着角度的增大而

16、减小，锐角的正弦值和正切值随着角度的增大而增大.9. B【解析】【分析】根据互余两角的正弦值互为倒数即可解题.【详解】解：. RtABC 中，/C=90°,/ A+ / B=90° ,tanA= ,tanB=,b a1. tanA.tanB=1故选B【点睛】本题考查了简单的三角函数之间的关系，属于简单题，熟悉正弦函数的边角表示是解题关键.10. 4 8【解析】【分析】先求出各个特殊角度的三角函数值，然后计算即可【详解】 sin45 二，cos303,tan60、322原式=2折3>/3 4通22故答案为4、, 3【点睛】本题考查特殊角度的三角函数值，熟记特殊角度的三角

17、函数值是解题的关键。11. m - n n 3【解析】【分析】过点C作CELCF延长BA交CE于点E,先求得DF的长，可得到AE的长，最后可求得 AB的长.【详解】解：延长BA交CE于点E,设CFLBF于点F,如图所示.在 RtABDF 中，BF = n, / DBF =30°,3DF BF tan DBF n . 3在 RtAACE 中，/AEC = 90°, / ACE = 45°,.AE = CE=BF=n,3 AB BE AE CD DF AE m n n .3故答案为：m n n .3此题考查解直角三角形的应用，解题的关键在于做辅助线.12. 6【解析】

18、【分析】根据正弦函数的定义即可直接求解.【详解】解：.sinBu_AC,AB4AB= A。= 2 =6 .sinB 3故答案是：6.【点睛】本题考查了正弦函数的定义，是所对的直角边与斜边的比，理解定义是关键.13.【解析】【分析】根据直角三角形的性质得到AD=CD=BD ,根据等腰三角形的性质得到/ACD=/CAD,/ DCB= / B,根据余角的性质得到/ CAE= / B ,根据三角函数的定义即可得到结论.【详解】ACB=90 , CD为AB边上的中线，AD=CD=BD ,/ ACD= / CAD , / DCB= / B,.AEXCD, / CAE+ / ACD= / B+ / CAD=

19、90 . tan / CAE=tanB .CE=1 , - AE=麻=而=产不=/，故答案为：弃【点睛】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线定义斜边的一半，余角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键.14.也 1【解析】【分析】由特殊的三角函数值，cos45° =_2, tan60° = . 3 ,代入化简，即可得到答案 .2【详解】解：原式=2（§）2小由2 2=2 1 （2 月2=33 1 ,故答案为：,3 1.【点睛】本题考查了特殊的三角函数值的计算，解题的关键是熟记特殊的函数值15. 24或 36或 24 1273【解析】

20、【分析】情况1：连接EP交AC于点H,依据先证明ABCD是菱形，再根据菱形的性质可得到/ECH=/PCH=60 ,然后依据 SAS 可证明ECHA PCH,则/ EHC= / PHC=90 ,最后依 据 EP=2EH=2si n60° ?E球解即可.情况2:如图2所示：4ECP为等腰直角三角形，则 EP2 = J2 EC=2 J6 .此时，EP2 =24情况3:如图2:过点P作P' LBC.通过解直角三角形可以解得FC , EF,再在RtAP，EF中，利用勾股定理可以求得 EP2.【详解】解：情况1：如图所示：连接 EP交AC于点H.在 0ABCD 中，AB BC 4 0AB

21、CD是菱形.菱形 ABCD 中，/ B=60° , ./ BCD=120 , /ECH=/PCH=60在4ECH和APCH中EC=PCECH= PCH ,CH = CH . ECHA PCH. ./ EHC=/PHC=90 , EH=PH . Al . EP=2EH=2sin60 ?EC=2< - X2 3 =6.EP2 =36情况2：如图2所示：AECP为等腰直角三角形，则 EP2 = &EC=2 J6 .情况3:如图2:过点P作P' LBC. P' C=23 , BC=4 , / B=60 °, P' CL AB . ./ BCP

22、=30°. .FC二手26=3, P, F=3 , EF=2 君-3.EP2 = (25/3-3)2+ (73) 224 120,故答案为：24或36或24 1273.【点睛】本题主要考查的是菱形的性质，全等三角形的判定和性质，以及解直角三角形和勾股定理得结合，是综合性题目，难度较大.16. 2M ；【解析】【分析】直接利用坡度的定义，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，进而得出答案.【详解】斜坡AB的坡度占1： 3,BC 1AC 3'.该斜坡的水平距离 AC = 6米，BC 163，解得：BC=2,则斜坡AB的长为：6Q2"2 2a/10(m),故

23、答案为：2斤.【点睛】此题主要考查了坡度的定义，正确把握定义是解题关键.17也33【解析】【分析】 在直角AABC中，根据30度角的性质即可求得 AC长，然后在直角 ACE中利用三角函数即可求解.【详解】RtAABC 中，BC=10, ZACB = 60°, ./ BAC=30°,AC=2BC=20, . / FAE=30°, ./ CAE =90 - / BAC- / FAE=30°RtAACE 中，tanZCAE= -CE-,AC.-.CE = tan30° ?20,3 ” 20.3 20 33【点睛】BCD本题考查了俯角的定义和三角函数的

24、定义,正确利用三角函数的定义是解题的关键.18, 120直接利用特殊角的三角函数值，得出/A=30° , / B=30° ,进而利用三角形内角和定理得出答案.解：: sinA = 1, cosB= 3-, ./ A=30° , / B=30° , ./ C=180° -30° -30° =120故答案为：120.【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆有关特殊角的三角函数值是解题关键.19. 22 1.【解析】【分析】作一个等腰直角 AABC ,BD是/ ABC的角平分线，DE，BC,根据角平分线性质求出 DA=D

25、E ,AB=BE ,设AB=AC=1 ,则可求出DA=DE=CE = / 1 ,然后求/ DBA的正切值即可.【详解】解：如图，AABC是等腰直角三角形，BD是/ABC的角平分线，DEXBC,一1 一CzABD =-/ABC = 22.5 口，DA ±AB , DE± BC, . DA=DE ,又 BD=BD , / DAB= / DEB ,RtADAB RtADEB (HL),AB=BE ,设 AB=AC=1 ,则 BE=1 , BC= 72 ,CE= 72 1， ACDE也是等腰直角三角形， de=ce= 2 1,DA=DE= V2 1， . tan / DBA= DA

26、 = V2_ 1 ,即 tan22.5 = >/2 1 ,AB -故答案为：J2 1.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义以及等腰直角三角形的性质，根据题意构造等腰直角三角形 得到22.5。的角是解题的关键20. 32°.【解析】试题分析： 过点C作CEXAB于点E,则CD=BE=3.5米，CE=BD=20米，AB=16米，进而 可求得AE的长，在RtAACE中，结合三角函数的知识即可求出/ACE的度数，注意结果要精确到0.1 ：试题解析：根据题意画出示意图，如图所示.过点 C作 CEXAB 于点 E,贝U CD=BE=3.5 米，CE=BD=20 米，AB=16 米.AB=1

27、6 米 BE=3.5 米AE=AB-BE=12.5(米)在 RtAACE 中，AE=12.5 米，CE=20 米tan/ACE= 照 =0.625 (三角函数定义)CE/ 32.0 °即冬至这天该市在正午时分太阳光线与水平线的夹角大小约为32.0 ；21. (1)40(2)见解析，见解析，60°【解析】 【分析】(1)根据等腰三角形的性质可得/ACD的度数，根据/ ACB=90可求出/ BCE的度数，根据AD/BE可得/ BED= /ADC=80 ,根据三角形外角性质即可求出/CBE的度数；(2)由等腰三角形的性质可得/ ACD=90 -1 ,根据/ ACB=90°

28、;可得/ BCE=-,根据平行线22性质可得/ BED=/ADC=，利用外角性质可求出/ CBE= 1 ，即可证明/ BCE= / CBE ,2进而可证明 BE=CE ;延长 EM交AD于F,由EM / AC可得DFM DAC DCA DEM ,进而可得 DF=DE , AF=EC=BE ,根据 AAS 可证 明UFM ABEM ,可得FM=EM.,根据等腰三角形三线合一即可证明/ADM= / CDM ;由可得DM XEM ,由署- 邪可知tanZ DEM= 73 ,可得/ DEM=60 ,即可求出 /EDM=30，进而可得=/ ADC=2 / EDM=60 .【详解】(1) AD=CD ,

29、/ ADC=80 , ./ ACD= 1 (180 -80。)=50。，2 / ACB=90 , . / BCE=90 -50 =40° , AD/BE , . / BED= / ADC=80 , . / CBE= / BED- / BCE=80 -40 =40°.(2)；BE/AD,ADC ,BED ADC AD=CD , ./ ACD= 1 (180 -) =90° -,2 / ACB=90 , ./ BCE=90 -/ ACD=-,2 . / CBE= / BED- / BCE= 1,2 ./ CBE=Z BCE,BE=CE.延长EM交AD于F EM / /

30、AC ,DFM DAC DCA DEM ,DF DE , . AF=EC=BE . BE/AD , . / FAM= / EBM , / AFM= / BEM ,AFM ABEMFM=EM.根据三线合一性可得/ ADM= /CDM; DF=DE , FM=EM , . DM ±EM , , DM=、,3EM.DM. tan / DEM=如EM .，=/ADC=2 / EDM=60 .【点睛】熟练掌握本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判断与性质及特殊角的三角函数值,相关性质及判定定理是解题关键.22.此时灯罩顶端 C到桌面的高度 CE是（21 J3 18） cm.【分析】过点B作

31、BMLCE于点M, BFLDA于点F.在RtBCM和RtABF中，通过解直角三角形可求出CM、BF的长，再由 CE=CM+BF+ED即可求出CE的长.【详解】过点B作BMLCE于点M, BFLDA于点F,如图所示.在 RtABCM 中，BC=32cm, /CBM=30° , /. CM = BC?sin/CBM =16cm. 在 RtABF 中，AB=42cm, Z BAD =60° ,. BF=AB?sinZ BAD =21 73 cm . / ADC = /BMD = /BFD=90° , .四边形 BFDM 为矩形，/. MD=BF, . CE=CM + M

32、D+DE = CM + BF+ED=16+21 73 2=21V3 18 (cm).答：此时灯罩顶端 C到桌面的高度CE是(21 J3 18) cm.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及矩形的判定与性质，通过解直角三角形求出CM、BF的长是解题的关键.16工、23. (1)详见解析；(2)能；(3) 2或一秒5【解析】【分析】(1)在中zXDFC , DFC 90 , C 30 ,由已知条件求证；(2)求得四边形 AEFD为平行四边形，若使平行四边形AEFD为菱形则需要满足的条件及求得；(3)分三种情况： EDF 90时，四边形EBFD为矩形.在直角三角形 ABD中求得AD 2AE即求得.

33、 DEF 90 时，由(2)知 EF /AD ,则得 ADE DEF 90 , 求得AD AE |cos60 . EFD 90时，此种情况不存在.【详解】(1)在 Rt DFC 中，DFC 90C 301八DF -DC t2又 AE t AE DF(2)能.理由如下：DF BC , AB BC AE D DFi1/又 AE DF，四边形AEFD为平行四边形在 RtABC 中， C 30 AC 2AB又 AC2 AB2 BC23AB2 48 AB 4, AC 8AD 8 2t当AD AE时，0AEFD为菱形.AD=8 2t t8 8t 一，即t 秒时，四边形 AEFD为菱形9 3(3) EDF

34、90时，四边形EBFD为矩形.在 Rt&AED 中， ADE C 30 ,AD 2AE .即 8 2t 2t, t 2. DEF 90时，由(2)四边形AEFD为平行四边形知 EF/AD,ADE DEF 90 .；A 90 C 60 ,AD AE cos60 .则有 8 2t 1t , t 16 . 25当 EFD 90时，此种情况不存在综上所述，当t 2秒或16秒时，&DEF为直角三角形.【点睛】本题考查了菱形的性质，考查了菱形是平行四边形， 考查了菱形的判定定理，以及菱形与矩形之间的联系.难度适宜，计算繁琐.1124.(2)(1)根据0指数哥和乘方的性质以及特殊角的三角函数

35、值进行计算即可;(2)先算括号内的，然后将能因式分解的分子、分母进行因式分解，除法化为乘法，约分化简，再代值计算.解：(i)原式=1 £ J3 -=； 828(2)原式=2(a 2)(a 2)a2 4 4a4aa 22a_2 (a 2)2 2a一(a 2)(a 2) 4a a 21=,a 21当a 一时，原式2本题考查了实数运算与分式的化简求值，熟记特殊角三角函数值与分式的性质是解题的关 键.2.525 . -先在RtABDC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，由AC=AD+DC求出AC的长,然后在RtAABC中，根据勾股定理求出AB的长，从而求出 cosA的值.解：在 RtAB

36、DC 中，tan / DBC= 4 , 3且 BC=6 ,tan / DBC=DC DC 4-=1BC 63CD=8 , . AC=AD+DC=12 ,在 Rt祥BC 中，AB= Jac2 bc2=675 ，cosA =AC = 12 =2而AB - 6 5【点睛】本题主要考查解直角三角形.熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.26 .货轮继续向西航行，没有触礁危险.【解析】【分析】过点A作ADLBD于点D,根据已知利用三角函数求得AD的长.从而与20比较，若大于20则无危险，反之有危险.【详解】如图，过点A作ADLBD于点D,. / EBA=60° , / FCA = 30 ° , ./ ABC = Z BAC=30° .AC= BC= 24, /DAC