2019北京中考数学专题训练-2.二次函数综合题(10道)

1、二次函数综合题类型一 抛物线与直线的图象性质问题1.如图，抛物线y=x2+2x-3的图象与x轴交于点A、B (A在B左侧)，与y 轴交于点C,点D为抛物线的顶点.(1)求4ABC的面积；(2) P是对称轴左侧抛物线上一动点，以 AP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M正好落在对称轴上，画出图形并求出 P点坐标；(3)若抛物线上只有三个点到直线 CD的距离为m,求m的值.解：(1)针对于抛物线y=x2+2x-3,令 x=0,则 y=-3, .C (0, -3),令 y=0,则 x2+2x-3=0,x=-3 或 x=1, A (-3, 0), B (1, 0),1 .Sk abc= _ AB yc|

2、=6；(2)如解图，设对称轴与x轴相交于点Q.第1题解图当点P在第三象限时，:抛物线y=x2+2x-3的对称轴为直线x=-1,AQ=2.过点P作PGXDM于点G, ./ PGM = /MQA=90 , / MPG + /PMG=90 , . / AMP=90 , / PMG + /AMQ=90 , ./ MPG = /AMQ,. PGM 二，MQA 在 APGM 和 AMQA 中，:/MPG =/AMQ ,MP = MA/.APGMAMQA (AAS), .MG=AQ=2, PG=QM,设 M (-1, m) (m< 0),QM=-m, .PG=-m, QG=QM+MG=2-m,P (m

3、-1, m-2), 点P在抛物线y=x2+2x-3上，(m-1) 2+2 (m-1) -3=m-2,m=-1 或 m=2 (舍)， P (-2, -3).当点P在第二象限时，同的方法得，P (-4, 5);(3) ;抛物线 y=x2+2x-3= (x+1) 2-4,D (-1,-4),VC (0, -3),直线CD的解析式为y=x-3,如解图，作直线 EG/CD交y轴于点E,交x轴于点G,第1题解图设直线EG的解析式为y=x+b,m, 抛物线上只有三个点到直线 CD的距离为m,在直线CD下方的抛物线上只有一个点到直线 CD的距离为即直线EG与抛物线y=x2+2x-3只有一个交点，联立得，x2+

4、2x-3=x+ b,x2+x-3-b=0,£1+4 (b+3) =0,/. b=-,4 直线EG的解析式为y=x-13, 4 E(0,：), 4/.QE=-, 4 直线CD的解析式为y=x-3, .H (3,0), .QH=3, QC=3,CH = 3 .2?CE=13-3=1 , 44过点E作EFXCDT F, ./ CFE=/CQH, . / ECF=/HCQ, .CFEszCQH,.EF CE , QH CH1.空一 4 .33,2,即：m=_282.已知二次函数 y =ax2 - 2ax , a -1(a 0)(1)求证：抛物线与x轴有两个交点;(2)求该抛物线的顶点坐标;(

5、3)结合图象回答：当x>1时，其对应的函数值y的最小值范围是2y<6,求a的取值范围.111n MII .-4-3-27(0 2 3 4 %一 L第2题图(1)证明：: 2= (2a) 2-4a (a-1) =4a, a>0, .4a>0,> 0,.抛物线与x轴有两个交点;一-2(2)2a =1 4a(a-1)-(2a)2a ， 4a抛物线的顶点坐标为(-1,-1)；(3)二次函数 y=ax2+2ax+a-1 经过(1, 2)时，2=3a+a-1,解得 a = '，4二次函数 y=ax2+2ax+a-1 经过(1, 6)时，6=3a+a-1,解得 a=-,

6、4.观察图象可知，函数值y的最小值范围是2可W6 a的取值范围为WwawZ.4423.已知二次函数 y = ax -2ax-2(a o 0).(1)该二次函数图象的对称轴是直线;(2)若该二次函数的图象开口向上，当 -10：0 5时，函数图象的最高点为M,最低点为N,点M的纵坐标为11,求点M和点N的坐标；2(3)对于该二次函数图象上的两点 A (xi, yi), B(X2, y2),设t <xi <t+1, 当X243时，士有yi >y2,请结合图象，直接写出t的取值范围.解：(1) x=1 ;(2) :该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 x=1, -1<5,当x

7、=5时，y的值最大，即M (5, U).2把 M (5, H)代入 y=ax22ax 2,解得 a=1. 22该二次函数的表达式为y= 1 x2 - x - 2.2当 x=1 时，y= _5, 2 N (1, _5)；2(3) 10W2.类型二抛物线与直线(线段)的公共点问题4.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=gx-3交于A, B两点，其中点B在y 轴上，点A坐标为(-4, -5),点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点 P 作PC，x轴于点C,交AB于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)以O, B, P, D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点 P的坐 标；若不存在，说明理由；(3

8、)当点P运动到直线AB下方某一处时，zPAB的面积是否有最大值？ 如果有，请求出此时点P的坐标.解：(1) .直线y=1x-3交y轴于点B,B (0,-3),第4题图.抛物线 y=x2+bx+c经过点 A (-4, -5),点 B (0,-3).c - -3, i,16 -4b c = -5解得：b= 9 , c=- 3 2抛物线解析式y=x2+9x-3;2(2)存在，设 P (m, m2+9m-3), (m<0), . D (m, -m-3), 2PD=|m2+4m|,. PD/ BO, 当PD=OB=3时，故存在以O, B, P, D为顶点的四边形是平行四边形, . |m2+4m|=

9、3,当m2+4m=3时， rnii=-2- 77 , m?=-2+ V7 (舍),当 m=- 2- 71 时，贝！J m2+ m-3=-1 -,22 - P (- 2 -后,-1-); 2当m2+4m=-3时， mi=-1, m2=- 3,当 m1=-1 时，则 m2+ 9 m- 3=-13 , 22 .p(-1,-123),当 m2=-3,. m2+- m- 3=-15 , 22，-1-4)，(-1, -13),(-3, -15D (x, 1x-3),2 P (-3, -15), 2综上所述，点P的坐标为(-2-"(3)设点 P (x, x2+2x-3),则点 PD=1x-3- (

10、x2+9x-3) =-x2-4x, 22APB=1xPD>4=-2x2-8x=-2 （x+2） 2+8 2当x=-2时，zPAB的面积的最大值为8.点 P 坐标（-2, -8）.5.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线Gi: y = mx2 +273（m丰0）向右平移V3个单位长度后得到抛物线G2,点A是抛物线G2的顶点.（1）直接写出点A的坐标；（2）过点（0, 73）且平行于x轴的直线l与抛物线G2交于B,C两点.当/ BAC=90°时，求抛物线G2的表达式；若60 </BAC<120°,直接写出m的取值范围.解：（1） :将抛物线 Gi： y=mx2+

11、2V3 （m#Q向右平移 百个单位长度后得到抛物线G2,抛物线 G2： y=m （x-阴）2+2百（m?Q,点A的坐标为（有，273）.（2）设抛物线又t称轴与直线l交于点D,如解图所示.力百x=V3第5题解图二点A是抛物线顶点，AB=AC./ BAC=90 , .ABC为等腰直角三角形， .CD=AD= .3 ,.点c的坐标为（26, 73）. 点C在抛物线G2上, . 3=m （2花-石）2+2向,解得：m= 如解图所示.第5题解图同理：当/ BAC=600时，点C的坐标为(V3+1J3),当/BAC=120°时，点C的坐标为(战+3, 后,.60 </ BAC<12

12、0 ,.点(点+ 1, 33)在抛物线G2下方，点(73+3, M)在抛物线G2上方,m(3 1-.3)2 2.3 .3 .m(，3 3-.3)2 2.3 二.3解得：-3 ：二 m :二-.96.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = ax2+bx-3(a#0)经过点A(-1,0)和 点B(4,5).(1)求该抛物线的表达式;(2)求直线AB关于x轴的对称直线的表达式;(3)点P是x轴上的动点，过点P作垂直于x轴的直线1,直线l与该抛 物线交于点M,与直线AB交于点N.当PM<PN时，求点P的横坐标xp 的取值范围.6 5 4 3 2 (第6题图解：(1)将A (-1, 0), B (

13、4, 5)代入函数解析式，得P；b：35解得a二 抛物线的解析式为y=x2-2x-3;(2)设直线AB的解析式为y=kx+b,将A (-1, 0), B (4, 5)代入函数解析式，得4k b；0解得1k =1,b = 1直线AB的解析式为y=x+1, 直线AB关于x轴的对称直线的表达式y=- (x+1),化简，得y=-x-1;(3)设 M (n, n2-2n-3), N (n, n+1),PM<PN,即 |n2-2n-3|<|n+1|当 n<-1 时,n2-2n-3<- (n+1),化简，得 n2-n-2<0,由y=n2-n-2与x轴的交点，得n2-n-2<

14、;0的解是-1<n<2 (不符合题意，舍)，当-1 诉<3 时，-(n2-2n-3) < n+1,化简，得 n2-n-2>0,由y=n2-n-2与x轴的交点，得n2-n-2>0 的解是 n<-1 或 n>2, .2< n<3;当 nA3时，n2-2n-3<n+1,化简,得 n2-3n-4<0, 由y=n2-3n-4与x轴的交点，得 n2-3n-4<0 的解是-1 < n<4, 3 年i<4,综上所述：2<n<4,当PM<PN时，求点P的横坐标xP的取值范围是2cxp<4.7

15、.如图，抛物线y =1x2+mx+n交x轴于A、B两点，直线经过点A,与这条抛物线的对称轴交于点 M (1, 2),且点M与抛物线的顶点N关于x轴对称.(1)求这条抛物线的函数关系式;(2)(3)设题中的抛物线与直线的另一交点为C,已知P (x, V)为直线AC根据图象，写出函数值y为负数时，自变量x的取值范围;上一点，过点P作PQx轴，交抛物线于点Q.当-1<xW3时，求线段PQ2的最大值.C第7题图解：(1)由题意知，抛物线顶点N的坐标为(1,-2),故其函数关系式为y=-(x-1)2 -2=-x2 -x-; 222 由 2x2-x-3=0,解得 x=-1 或 3,即 A (-1,

16、0)、B (3, 0);根据图象得：函数值y为负数时，自变量x的取值范围为-1<x<3;(3)由(2)得：A (-1, 0)、B (3, 0);-k b = 0k b = 2设经过点A,M的直线为y=kx+b, 将A (-1, 0)、M (1, 2)的坐标分别代入 y=kx+b中得:解得：k；1直线AC的函数关系式为y=x+1,.P坐标为(x, x+1), Q的坐标为(x,.PQ= (x+1)-(1x2-x-3)=-1二2222-x-'),212 9-(x-2)2-,22a=-1 < 0, -1 x, 22当x=3时，PQ有最大值为35, 即点P (3, 5)时，PQ

17、长有最大值为竺.8 .如图,抛物线y=ax2+bx-3经过A (1, 0), B (3, 0)两点.(1)求抛物线的解析式;设抛物线的顶点为 M,直线y=-2x-9与y轴交于点C,与直线OM交于点D,现将抛物线平移，保持顶点在直线 OD上，若平移后的抛物线与射线CD (含端点C)只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围.第8题图解：(1)把A (1, 0), B (3, 0)的坐标分别代入抛物线尸ax2+bx-3中得:皤；:0解得： ,抛物线的解析式：y=-x2+4x-3;(2) y=-x2+4x-3=- (x-2) 2+1,M (2, 1),直线OD的解析式为：y=-x,2平移后的抛物

18、线顶点坐标为(h, 1h),则平移后的抛物线解析式为：y=- 2(x-h) 2+-h,2由 y=-2x-9，得当 x=0, y=-9, . . C (0, -9),当抛物线经过点CBt, -h2+lh=-9,2解得：卜=呼5, 二当弓45VhM呼时,平移后的抛物线与射线8只有一个公共点;当抛物线与直线CD只有一个公共点时,o 1得1y = eh)y =-2x -9贝Ux2+ (-2h-2) x+h2-1h-9=0,2解得h=-4,此时抛物线y=-x2-8x-18与直线CD有唯一的公共点为（-3, -3）,点（-3,-3）在射线CD上，符合题意.平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点时，它的顶点

19、横坐标取值范围日 * 1 - 145 u 1；诟是当 一- <h <-或 h=-4, 44类型三抛物线与直线（线段）构成的封闭区域内的整点问题8.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= mx2-2mx+ m-2 （m>0）与x轴的交点为A, B.（1）求抛物线的对称轴及顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.当m=1时，求线段AB上整点的个数；若抛物线在点A, B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有7个整点，结合函数的图象，求m的取值范围.昨I I I I 111P0工第9题图解：（1） . y=mx2-2mx+m-2 =m （x2-2x+1） -2=m

20、（x-1） 2-2,抛物线的对称轴为x=1，顶点坐标为（1,-2）;（2）当m=1时，抛物线解析式为y=x2-2x-1,令 y=0 得：x2-2x-1=0,解得：X1 = -1 -亚,x2 =1 +& ,即 A （1-&，0）、B （1 + &，0）,则线段AB上整点有（0,0）、（1,0）、（2,0）这3个；如解图，抛物线在点A, B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界)恰有7个整点,第9题解图'm +2m +m -2 >0贝U j9m -6m +m -2 >0 m -2 < -14m -4m + m 2 E 1解得：-：m <

21、 1.210.如图，抛物线y=ax2+bx-3过A (1, 0)、B (-3, 0)两点，直线AD交抛 物线于点D,点D的横坐标为-2,点P (m, n)是线段AD上的动点.(1)求直线AD及抛物线的解析式；(2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q,求线段PQ的长度l与 m的关系式，m为何值时，PQ最长？(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数) R,使得P、Q、D、 R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 R的坐标；若不存 在，说明理由.第10题图解：把Ac,。)，B(-3,。)的坐标分别代入函数解析式，得j9；W抛物线的解析式为y=x2+2x-3;当 x=-2 时，y= (-2) 2+2X (-2) -3=-3,即 D (-