2019届高考数学(理)冲刺大题提分(8)立体几何动点与设未知量(含答案)

1、I大q精卜|4立体几何：动点与设未知6又 PE _L平面 ABCD ,以E为原点，分别以EB, EC, EP为x, y, z轴，建立空间直角坐标系E-xyz,则 E(0,0,0), B(1,0,0 ), P(0,0,®, C(0J3,0 ), D(-2,73,0 ).假设棱PD上存在点M ,设点M坐标为(x, y,z), PM =九彘(0 M九Ml ),贝 U (x, y,zJ3 尸，”(一2,依一73),M (-2九,4九,73(1 九)， . EM = (-2 九点九点(1 九)，EC =(0,V3,0 ),设平面CEM的法向量为n=(x,y,z ),n EM - 2x 3 y

2、3 1 - z=0y =0则 T _1, ，解得4 尸 .n EC = '_ 3y =02 x = ;3 1 -Qz令 z=2Z,则 x=M§(1九)，彳n n= (73(1 -?J,0,2?J. PE_L平面 ABCD , 平面 ABCD 的法向量 m =(0,0,1 ), n m22 c0sn,m>= J rj = f 2=，n1m . 4 2 3 1-' 27 2 -6' 3二面角 M EC -D的大小为60 s,"= ,即3九2 +2九一1 =0 ,解得 九=，,或九=一1 (舍去). 7 2 -6 '323PM 1 .，在PD

3、上存在点M ,当匚M=时，二面角 M EC -D的大小为60 .PD 31. 2019跃华中学如图所示，正四棱椎 P-ABCD中，底面ABCD的边长为2,侧棱长为2a.(1)若点E为PD上的点，且PB/平面EAC，试确定E点的位置；, 一 、，一” , 一 T 4一 一一、(2)在(1)的条件下，点 F为线段PA上的一点且PF =KPA,若平面AEC和平面BDF所成的锐一一一,1二面角的余弦值为 一，求实数K的值.142. 2019湖北联考如图，在四棱锥 PABCD中，AB ± PC , AD/ BC , AD _LCD ,且PC =BC =2AD =2CD =2品,PA =2 .(

4、1)证明：PA_L平面 ABCD;(2)在线段PD上，是否存在一点M ,使得二面角M -AC -D的大小为60°?如果存在，求EM的PD值；如果不存在，请说明理由.3. 2019西城44中如图，在四棱锥 P -ABCD中，底面ABCD是平行四边形， /BCD =135。，侧面 PAB，底面 ABCD ,2BAP=90©, AB=AC=PA=2, E , F 分别为 BC , AD 的中点，点 M 在线 段PD上.(1)求证：EF _L平面PAC ;(2)若M为PD的中点，求证： ME/平面PAB ;PD(3)如果直线ME与平面PBC所成的角和直线 ME与平面ABCD所在的角

5、相等，求-PM的值.11.【答案】（1） E为PD中点；（2）人.5【解析】（1）设BD交AC于点O ,连结OE , PB/ 平面 AEC ,平面 AECn 平面 BDP =OE , /. PB/ OE , 又。为BD的中点，在4BDP中，E为PD中点.(2)连结OP ,由题意得 PO，平面ABCD，且AC _LBD ,，以。为原点，OC、OD、OP所成直线为x, y, z轴，建立空间直角坐标系,OP =JpD2 -OD2 =氓, . A(-拒0,0 ), B(0,-V2,0 ), C(亚,0,0 ), D(0,&), P(0,0j6),则 e",豆，逅 ,OC=(尬,0,0

6、 ), CE =f-V2,2,6 I, OD =(0,72,0 ),I 22 J '2 I 22 ' f设平面AEC的法向量m=（x,y,z ）,m OC -、2x =0则$ T L 匹而 ，令z=1,得平面AEC的一个法向量m=(0,-T3,1),m CE- - 2x jy-z=0设平面BDF的法向量n=(x,y,z工_ _ _ 由 PF =?lPA,得 F =(-£,0,而一76九)，DF =( A2%-V2,V6J6九),1 九)<0,1 ,n DF=g"y 十®"0,令 z'得 .受 n OD = .'2y=

7、01一,14cos m, n11 3 1 -12解得平面AEC和平面BDF所成的锐二面角的余弦值为292 .【答案】（1）见证明；（2）见解析.【解析】（1）二在底面ABCD中，AD/BC ,AD _LCD ,且 BC =2AD =2CD =2夜,，AB=AC=2, BC =2 J2, . AB _L AC ,又. AB，PC, ACnPC=C, AC =平面 PAC,PCU 平面 PAC，.- AB_L 平面 PAC ,又 PAU 平面 PAC , AB1PA,. PA=AC=2, PC =272 , PA_LAC,又. PA_LAB, ABnAC=A, ABU 平面 ABCD,AC U 平

8、面 ABCD ,PA_L平面 ABCD .(2)方法一：在线段 AD上取点N ,使AN = 2NDJ”又由(1)得 PA_L平面 ABCD , MN，平面 ABCD ,AC U 平面 ABCD , MN ±AC ,作 NO , AC 于 O ,又MNDnO=N , MN =平面 MNO , NOU平面 MNO ,，AC _L平面 MNO ,又MO仁平面MNO ,AC -LMO ,又AC-Lno ,2MON是二面角 M AC -D的一个平面角,、几PM设=x , PDMN =(1 x )AP =2 2x , ON =AN =xAD =x ,22这样，二面角 M AC D的大小为60&#

9、176;,口口MN 22x即 tan/MON =tan60o = j3 ,ON x即PM=x=42石，.满足要求的点 M存在，且 型=42道.PDPD方法二：取BC的中点E,则AE、AD、AP三条直线两两垂直，可以分别以直线 AE、AD、AP为x、v、 z轴建立空间直角坐标系,且由（1）知AP =（0,0,2层平面 ACD的一个法向量,设 PM-=x w(0,1 ),则 MN =(1 -x JAP =22x ,AN =xAD =T2x ,AM= (0,72x,2 -2x ), AC =(近乏0 ),设AQ=（a,b,c谡平面ACM的一个法向量，则AQJAQAM = 2xb 2 2x c = 0

10、AC = 2a 2b =013a = -b2x令 b =2x -2 ,则 AQ =(-2x+2,2x-2,V2x ),它背向二面角,M -AC -D的大小为60°,又.平面ACD的法向量AP =（0,0,2 ）,它指向二面角，这样，二面角即 cosf AP, AQ) = W :AQ =2 2x cos60 a=-,“网 |AQ 2 J(-2+2xj +(22x j +(V2x j2即x =4 -2石，满足要求的点 M存在，且-PM- =4 -2/3 .PD3 - , 33 .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】(1)证明：在平行四边形 ABCD中， AB=AC,

11、 /BCD =135， /ABC =45口, AB _L AC ,. E , F 分别为 BC, AD 的中点，EF/AB,EF ±AC ,.侧面 PAB_L底面 ABCD ,且 /BAP =90白，PA_L底面 ABCD ,，PA_L EF 又 PAQAC =A, PA匚平面 PAC , AC 仁平面 PAC，.二 EF_L平面 PAC .(2)证明：为PD的中点，F为AD的中点，MF/PA,又. MF 辽平面 PAB, PAU 平面 PAB, . MF/平面 PAB,同理，得EF/平面PAB ,又. MFnEF=F, MF=平面MEF , EF二平面MEF , 平面MEF/平面

12、又 ME 仁平面 MEF , ME II 平面 PAB .(3)解：.PA_L底面 ABCD , AB -L AC ,，AP , AB , AC 两两垂直，故以AB, AC , AP分别为x轴，y轴和z轴建立如图空间直角坐标系，则 A（0,0,0 ）, B（2,0,0 ）, C（0,2,0 ）, P（0,0,2）, D （-2,2,0 ）, E（1,1,0）,一 F一PB =（2,0, -2）, PD=（-2,2,-2）, BC =（-2,2,0 ）,设.=九（人三10,1】），则PM =（2九,2九,一2%）,PDM （-2九2 九,2 2九），ME =（1 +2儿,1 2人,2九一2 ）, 易得平面ABCD的法向量m =