高中数学数列的类型

1、高中数学：递推数列经典题型全面解析类型1an 1 anf(n)2 ,利用累加法(逐差相加解法：把原递推公式转化为 an1 an法)求解。11例:已知数列an满足a12, an1 an产下，求ann2n例：在数列an中,a1=1,an+1=(1 1)an n(1)设bn包，求数列an的通项公式; n(2)求数列an的前n项和。类型2an 1f(n)anan 1解法：把原递推公式转化为求解。f(n),利用累乘法(逐商相乘法)2n. .一 一 .一a1- an 1an例:已知数列an满足 3, n 1,求an3n 1-an 1 an .例:已知“3,3n 2(n 1),求 an。例已知数列an,满足

2、 a1 = 1,an=a1+2a2+3a3+- +(n 1)an 1(n2),则 an的通项an=类型3 am pan q (其中p, q均为常数，(Pq(P 1) 0)o解法(待定系数法)：把原递推公式转化为：an1 t P(an其tq中1 P ,再利用换元法转化为等比数列求解。例:已知数列an中，a1 1, an 1 2an 3,求an.例：设数歹U an满足 a1 =a,an +1=C an +1 C,n6N*,其中 a、C 为实数，且C#0求数列an的通项公式； 类型 4 an1 pan qn (其中 p, q 均为常数，(pq(p 1)(q 1) 0)。n(an1 pan rq，其中

3、p, q, 均为常数)。 .n 1解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以q ,得：an 1E?包1b曳,_ph1n 1, nbnnbn 1 bnq q q q引入辅助数列bn (其中 q),得： q q再待定系数法解决。1，求 an。2n 1 2,n 1,2,3 3514例:已知数列an中，31 6/n132)例：设数列an的前n项的和sn -an -求首项a1与通项an。例：设数列an的前n项的和sn，已知 a1 1, sn 14an 2(1)设bn an1 2an,证明数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式3n例】、已知数列an满足a1 1, an 3n 1 an1（n 2）,则

4、通项公式an2类型5递推公式为an2 pan1 qan （其中p, q均为常数）。解法一（待定系数法）：先把原递推公式转化为an 2 san1 t（an1 san）s t p其中s, t满足st q解法二（特征根法）：对于由递推公式an 2 pan1 qan,a1，a2 给2出的数列an ,方程XPx q ,叫做数列an的特征方程。若“，X2是特征方程的两个根，当。X2时，数列an的通项为n 1n 1an Ax1BX2 ,其中 A, B 由 a1 ，a2 决定（即把 a1，a2，X1，X2 和n 1 n 1n 1，2，代入an AX1Bx2 ,得到关于A、B的方程组）；当X1 x2一一 /A

5、C 一 .- 1_时，数列an的通项为an （A Bn）X1 ，其中A, B由“，a2 决C9、.，n1定（即把叫乌属必和n 1，2,代入an （A Bn）X1 ,得到关于A、B 的方程组）。解法一（待定系数一一迭加法）数列an3an 2 5an 12an0(n 0,n N) a1a，a2 b,求数列an的通项公式 解法二（特征根法）：数列 an ： 3an2 5an1 2an （n ，n N） a1 a，a2 b的特征方程是：3x2 5x 2 0。Xi 1,X2n 1Axin 1BX2A B(|)n1又由ai a,a2 b,于是A 3b 2aB 3(a b) an 3b 2a 3(a b)(

6、-)n 1 故321an O a a例:已知数列an中，a11 a2233 ，求an。例：已知数列an满足 a1=1,a2=3, an 2 3an 1 2an (n N )。(1)证明：数列an 2 an是等比数列；(2)求数列an的通项公式；类型6递推公式为Sn与an的关系式。(或Sn f(an)_Sn 4 an -4_例：已知数列an前n项和2n 2. (1)求an1与an的关系；(2)求通项公式an. n应用类型4 ( an 1 pan q (其中p , q均为常数，(pq(p 1)(q 1) 0)的方法，上式两边同乘以2n 1n 1例：已知数列an的前项和 $= -an- 1+2 (n

7、为正整数)，令bn=2nan,求证数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式类型 7 an 1 pan an b(p 1、0, a 0)解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an1 x(n 1) y p(an xn y),与已知递推式比较，解出x，y,从而转化为an xn y是公比为P的等比数列。例:设数列 an : al 4,an 3an 1 2n 1,(n 2),求 an例：已知数列an中，ai = 1,点n,2an 1 an在直线y x上，其中 n 1,2,3L(I)令bn an1 an 3,求证数列bn是等比数列；(H)求数列an的通项。类型 8 a Par (P。，an 。)n 1产n解法思路：这种类型一般是等式两边取对数后转化为an1 pan q,再利用待定系数法求解。例：已知a1 2,点an，an 1在函数f XX2 2X的图像上，其中n 1,2,3L证明数列lg 1 an是等比数列f (n)a类型9 ann 1 g(n)an