高中数学数列汇编+难题

1、13、(2000年广东高考题)设an是首项为1的正项数列，且(n+1)a2 i na2+an+iai=0 (n=1,2,3,),则它的通项公式是 an=。(2)设数列an的公比为f，作数列bn,使bi=1, bn= f (n=2,3,4) bnl求数列bn的通项公式。(3)求和 Sn=blb2b2b3+b3b4+( 1)n 1bnbn+112、设数列an的首项a1=1,前n项和Sn满皂关系式。3tSn(2t+3)Sn 1=3t(其中 t>0, n=2,3,4，)(1)求证：数列an是等比数列。.一xJXc2 3)11、已知 x1>0, xw1 且 xn+仁2(n=1,2,)3xn

2、1试证：xn<xn+1 或 xn>xn+1(n=1,2，)S2一10、数列的刖n项的和Sn,酒足关系式an=(n>2且a1二3),求an.Sn 2、a6、数歹!J an中，a1=2, aa 1 ,贝U an=。an 3在数列an中，a1=1, a2=3,且 an+1=4an3an1,求 an.数列an和b n适合下列关系式an=5an 1- 6bn 1bn=3an 1 4bn 1, 且 a1=a, b1=b, 求通项 an 和 bn。在数列an中，a1=1, a2=2,三个相邻项an, an+1, an+2,当n为奇数时成等比数列；当n为偶数时成等差数列。(1)求an(2)求

3、a1到a2n的和5、在数列an中，a1=2, an+1=an+2n(n C N*),则 a100=.5、等差数列an中，a3=2, a8=12,数列bn满足条件b1 =4, an+bn=bn 1,那么数列bn的通项公式bn=.设数列an满足关系式：a1 = - 1, an=-an 1 3(n 2, n N*)3试证：(1 ) bn=lg(an+9)是等差数列(2)试求数列an的通项公式。1(3)右数歹U an的弟m项的值am (2 3 ),试求m3611、等差数列an,设bn (1)an ,已知b1+b2+b3=21 , b1b2b3=工，求数列an的通项公式。28810、已知RtAABC中，

4、/C=Rt/,/A, / B, /C所对的边分别是a, b, c,且a, b, c成等差数列，求tanA+tanB I2、在等差数列an中，已知a2a3 a7an a13+ai6=8,则a9的值为已知数列an首项a1>1,公比q>0的等比数列，设 bn=log2an(n N*),且b1 +b3+b5=6, b1b3b5=0,记bn的前n项和为Sn,当S1 S2-Sn最大时，求n的值。12 n若数列an的前n项之和为Sn,且满足lg(Sn+1)=n,求证：数列an是等比数列。已知数列an的前n项和为S,对于任意的自然数n,均有Snan成立，试证明数列an为等差数列。n 2已知数列an

5、中，a1=3,对于nCN,以an, a+1为系数的一元二次方程 anx2 2an+1x+1=0都有根a , 0且满足(a-1) (B 1) =2。(1)求证数列an1是等比数列。3(2)求数列an的通项公式。已知a、b、c是成等比数列的三个正数，且公比不等于1,试比较a+c与2b, a2+c2与2b2、a3+c3与2b3,的大小，由此得出什么一般性结论？并证明之。(2003年全国高考题)已知数列an满足ai=1, an=3n 1+an i(n>2)(1)求注,电12、有四个数a1, a2, a3, a4,前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且a什a4, a2+a3是方程x221x+1

6、08=0的两根，a1+a4>a2+a3,求这四个数。已知an是等比数列(1)若m+n+=l+k,则am 日与ask有何关系？(2) 若1 m一n ,则 ai与 胡、an有何关系？211、(3)若 an>0, a6a8+2a6a10+a8a10=36,求 a7+a9 的值。若在两个正数a, b中间插入两个数，使它们成等比数列，则公比为q1；若在a, b中间插入三个数，使它们成等比数列，则公比为q1,那么q1与q2的关系是4、在等比数列该数列an中，公比为q (qw±1),则数列a2, a4, a6,，a2n的前n项和Tn为：若等比数列an的前n项之和为A,前n项之积为B,各

7、项倒数的和为C,求证:B2An oCn已知数列an满足 a1=4, an=4 4(n 2),令 bn 1。an 1an 2(1)求证数列bn是等差数列。(2)求数列an的通项公式(3)若 b3 , b5=39, a4+a6=3,求 b1 b2 b3bn的最大或最小值。(2) 若 as+a13=m, 求 b1 b2 b3 b2012、已知等比数列bn与数列an满足bn=3ax(nC N*)(1)判断an是何种数列，并给出证明。11、已知数列an中，an 2n 1(n为可数，试求数列an的前n项之和Sn.3n n为偶数10、设Sn是等差数列an前n项的和，已知S3与1S4的等比项中为1S5,1S3

8、与1S4的等 34534差中项为1 ,求an。8、数列0.5, 0.55, 0.555, 0.5555白前n项之和为。6、在等差数列an中，dw0, S20=10A,则A的值：4、数列( 1)nn的前 2k1 项之和 S2k1(kC N*)为：1、在数列an中，Sn为其前n项之和，且Sn=2n-1,则a； a2 a2a2等于：2、等差数列an前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为求在区间a, b (b>a, a, bC N*)上分母是3的不可约分数之和。已知a>0, aw1,数列an是首项为a,公比也为a的等比数列，令bn=nan1ga(n N*)(1)求数列b n

9、的前n项和Sn ；(2)若数列bn中的每一项总小于它后面的项，求 a的取值范围。数列an对一切自然数n都满足a1+2a2+22a3+-一+2n-1an=96n(1)求an的通项公式。(2)若 bn= an | sin、|,求证：b1+b2+ - +b2n 1>1设an是由正数组成的等比数列，它的前 n项和为Sn,试比较logbSn+logbSn+2与2logbSn+1的大小。 求数列1, 3x, 5x2，(2n1)xnT前n项的和。13、(2000年全国高考题)设an为等比数歹U, Tn=na1+(n- 1)a2+- +2an- 1+an,已知 T1=1, T2=4 (1)求数列an的首

10、项和公式。(2)求数列Tn加勺通项公式。1.设数列an的前n项和Sn=na+ n (n-1) b (n=1、2,)a、b是常数，且b 0.(1)证明an是等差数列.(2)证明以(anSnN-1)为坐标的点Pn都落在同一条直线上，并写出此直线的方程。12 .设 f(n)=1 + 2 证明你的结论。1n ,是否存在g(n)使等式f(1) + f(2>-+ f(n-1)=g(n)f(n)-g(n)对n>2的一切自然数都对立，并3 .已知一个圆内有n条弦，这n条弦中每两条都相交于圆内的一点，且任何三条不共点，试证：这n条弦将圆1 f (n) = n 面分割成22 + 1n +12个区域。4

11、.已知数列an'两足条件：a1 = 1, a2=r, (r>0)且anan+1是公比为q(q>0)的等比数列，设bn=a2n-1 + a2n(n=1, 2,), (1)求出使不等式anan+1 + an+1an+2>an+2an+3(n N)成立的q的取值范围；lim n (2)求bn和1Sn ,其中 Sn=b+b2+ bn；(3)设 r=219.2-11q= 2 ,求数歹也lOg2bn+1log 2 bn的最大项与最小项的值。5 .设等差数列an的前n项和为sn.已知a3=12, S2>0,Sl3<0.(I)求公差d的取值范围；(H)指出S&&a

12、mp;2,中哪一个值最大，并说明理由.6 .有两个无穷的等比数列an和bn,它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有a2b试求这两个数列的首项和公比.7.已知数列an的前n项和Sn 3n(n+1)(n+2)试求数列an 的前n项和.8 .有两个各项都是正数的数列an,bn.如果a1=1,b1=2，&=3且an,bn,an 1成等差数列，bn,an 1,bn 1成等比数列，试 求这两个数列的通项公式.9 .数列an是首项为23,公差为整数的等差数列，且前 6项为正，从第7项开始变为负的，回答下列各问：(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n项和为S

13、n，求Sn的最大值;当Sn是正数时，求n的最大值.10 .已知等差数列lgx1,lgx2,，lgxn,的第r项为t,而第t项为r,(0<r<t),试求xi + x2+-+ Xn.211 .已知数列an是等差数列，其中每一项及公差d均不为零，设aix2ai1x ai 2=0(i=1,2,3，)是关于x的一组方程.回答：求所有这些方程的公共根；1111设这些方程的另一个根为叫,求证皿1,m2 Lm3 L，0 1,也成等差数列.12 .已知圆C： x2+(y1)2=1和圆Ci： (x-2)2 + (y1)2=1现在构造一系列的圆 Ci,Q,Q,，心，使圆Cn 1与CD 圆C都相切，并都与

14、OX轴相切.回答：(1)求圆Cn的半径rn;1(2)证明：两个相邻圆Cn 1和Cn在切点间的公切线长为C：；I 111 'nim(尸 C2C2)求和 C2 C3Cn .13 .设数列an的前n项和Sn.已知首项a1=3，且Sn 1+0=2小1,试求止匕数歹I的通项公式an及前n项和Sn14 .在边长为a的正方形A1B1C1D1内，依次作内接正方形ABiCiDi (i=1,2,3,)，使相邻两个正方形边之间夹角为,(0,2)(1)求第n个内接正方形面积；(2)求所有这些内接正方形面积的和.4 an 115 .设有无穷数列an,满足a1=1, an = 3 an1 (n2).试回答：lim

15、 a(1)求出a2,a3,a4,并猜出an,利用数学归纳法加以证明；(2)求n16 .平面上有n个圆,其中任意两圆都相交，任意三圆不共点，试推测n个圆把平面分为几部分？用数学归纳法证明 你的结论.17 .已知 f(x)=& 9(x0 3),111若 a1=u1 u2 ,a2=u2u3,an=un un 1 ,求数列an的前 n 项的和 Sn.n18 .设有前n项和为n 1的数列，将它的第n项的倒数作为新数列的第n项(n=1,2，).试求此新数列的前n项的 和.19 .已知 f(x)='x29(x< -3),若U1 = 1,Un=f T(un v)(n>2),试归纳出

16、Un的表示式,并用数学归纳法证明.2.2an 一七一20.在数列an中,a1 = 1对于任息自然数n,当an为有理数时，an+1= 2;当an为无理数时，an+1=* 2 an( 2 )n.lim(1)求 a2、a3、a4;(2)猜想an的通项公式并证明；(3)求 n (a1 + a2+ - + an).21.是否存在常数a、*。使等式(n)3 (n)3(n)3nan2 bn cn对一切n N成立？证明你的结论.li S22.已知数列an、bn中,a1=b1=1,ai=an-1 + 2,bn= 2 bn v(n>2).设 $=a1b1 + a2b2+ anbn,求 $ 及 F nlim

17、Sn23 .设数列an的前n项和S可表小为$=1 + ran(r 1),求适合n =1的r的范围.124 .设数列a1,a2,an,的前n项的和Sn与an的关系是S= ban+1 (1 b) ,其中b是与n无关的常数，且b 1.求an和an-1的关系式；(2)用n和b表示an的表达式；lim Sn ,，当0V b< 1时，求n 的值.25 .设等差数列an的前n项和为&.已知a3=12,S2>0,Si3V 0,(1)求公差d的取值范围；(2)指出SS,&2中哪个最大，并说明理由.26 .设数列1,2,4,前n项之和是S=a+ bn +cn2dn3,求这个数列的通项a

18、n并确定a、b、c d之值.27 .已知数列an的前 n 项和为 Sn,满足 lg$+(n1)lgb=lg妨+1 + n + 2)(b>0,b 1).(1)求数列通项an;(2)若对于任意n>2的自然数包有an+1>an,求b的取值范围.28 .数列an的前n项和8=10nn2(n C N),数列bn的每一项都有bn=|an|,求bn的前n项之和.1 cos1 cos29 .设圆 C 的方程为 x2 + y2 2x(1 cos )-2ytg 2+(1 cos )2=0，式中 是实数且 0V < .设 1、2、3都是区间(0,)内的实数，且1、2、3为公差不为零的等差数列

19、，当 依次取1、2、3时,所对应的圆C的半径依次为1、2和3.试问门、2、3能否成等比数列？为什么？30 .已知数列an的前n项和的公式是&=12(2n2+n).求证an是等差数列，并求出它的首项和公差.4 sl4s24sh31 .已知正数数列an的前n项和Sn满足a12 +a22+尔2=$，求an与Sn.32 .设各项均为正数的无穷数列an和bn,满足如下条件：对于任意自然数，都有an、bn、an+1成等差数列，bn、an+1、 bn+1成等比数列.(1)求证：数列Jbn是等差数列；(2)试比较an与bn的大小并证明之.33 .已知数列an、bn中：an=2n,bn=3n+2,它们的

20、公共项由小到大组成数列cn.1证明cn是等比数列；(2)若xn=cn，求xn各项的和.34 .设an是正数组成的数列，其前n项和S,并且对于所有的自然数n,an与2的等差中项等于$与2的等比中项. (1)写出数列an的前三项；(2)求an的通项公式；1 ran 1 an .2(-aa) 尸 一lim右 bn=2 anan 1 (nCN)n(如+b2+bn n).3_3111135.已知数列an中,切=5忿=100,且数列an+110an是公比为2的等比数列，数列log(an+1 2 aj是公差为1 的等差数列，求an的通项公式.1_1_1_一_2-n36 .求和：3=2+ (x+ y)(x2+

21、 y ) + +(xn+ y ).37 .设首项为a、公比为q(a、qC R+)的等比数列，它的前n项和为80,而其中最大一项为54,前2n项的和为6560,3n试求此数列第2项的值.38 .已知a>0,aw 1,数列an是首项为a、公比也为a的等比数列.令bn=anlgan(n C N), (1)求数列bn的前n项的和Sn；snlimn当a> 1,求bn ;(3)若数列bn的每一项总小于它后面一项，求a的取值范围39 .设an等差数列，(1)已知ai=1,求公差d,使aia3+a2a3最小;(2)已知a7=9,求公差d,使aia2a7最小.40 .数列an的首项ai=b(b 0)

22、,它的前n项和Sn=ai+ a2+an(n> 1),并且81M&,是一个别等比数列，其公 比为 p(p 0 且|p| < i).limWnn （用b,p表小）.证明a2,a3,an,(即数列an第2项起)是一个等比数列;设 Wn=aiSi + a2S2+-+ anSn（ni）,求ian 241 .已知数列an的通项公式是(n 1), (nC N),记 bn=(i ai)(ia2) (i an)(i)写出数列bn的前三项；猜想数列bn 通项公式，并用数学归纳法加以证明；lim (pip2pn)(3)令 pn=bnbn + i,求 n的值。42 .已知数列an满足 an+i&g

23、t;an,且 ai=i,(an+ian)22(an+i+ an)+i=0.求a2,a3,a4； (2)猜想an,并用数学归纳6证明.iiii43 .已知数列an: a(a DJa i)(a 2),(a 2)(a 3)(a n i)(a n)其中a是大于零的常数，记胸的前n 项和为S,计算Si,&,Sb的值,由此推出计算S的公式，并用数学归纳法加以证明.S2一44 .在数列an中,ai=i,S是它的前n项和，当n2时,28n =2an - Snan.(i)求m、a3、a4的值,并推测an的通项公式.(2)用数学归纳法证明所得的结论.2n i45 .用数学归纳法证明：(n N)i-2 +

24、4-8+ - + (- i)n -i - 2n -i=( i)n -i - 3 + 3 .n(n i)46 .用数学归纳法证明：(n N)i-22 + 32 - 42+ - +(-i)n -i n2=( i)n -i 2.i 工 i i i47 .用数学归纳法证明：(n N) 4 424n =33?4n.48 .已知数列i, 9, 25,，(2n-i) 2,的前n项之和为Sn.推测计算&的公式，然后用数学归纳法证明这个 公式。i49 .已知数列an满足 ai=a, an+i = 2 an(i)求现 a3, a4；推测通项an的表达式，并用数学归纳法加以证明。50 .已知正数数列an满足

25、2"8nan i , (nC N),(i)求ai, a2, a3； (2)猜测an的表达式，并证明你的结论5i.已知数歹an满足ai = ian an i / ian(i)计算 吗a3, a4； (2)猜测an的表达式，并用数学归纳法加以证明。52.设an=(2n+i)(3n + 2),求它的前n项和Sn,并用数学归纳法证明结论2 cos2nx 153用数学归纳法证明 n N 时,(2cosx 1)(2cos2x 1)-(2cos*4(n 1)( n 2) .56.下述证明方法是否是数学归纳法？说明理由。证明 " n n 1 (n N).57.已知数列an的通项an=n2+

26、n,试问是否存在常数p, q, r使等式2 11 pn qn r1a12a2n an 4(n 1)(n 2)对一切自然数n都成立。58.已知 f(x)=2x+ b,设 f1(x)=ff(x), fn(x)=ffn-1(x1), (n>2, n N),求 f1(x), f2(x),猜想 fn(x)用 n 表示的表达式， 并用数学归纳法证明你的猜想。59.平面上有n个圆,其中任意两圆都相交，任意三圆不共点，试推测n个圆把平面分为几部分？用数学归纳法证明 你的结论.8?18?28rl8244880.，八八？,60.已知数列1 ?3 ,3 ?5(2n 1)(2n 1)$为其前n项的和，计算得S=

27、9,&=25a=49 ,S4=81 .观察上述结果推测出计算$的公式，并用数学归纳法加以证明.61.观察下面等式：1=12 x1)= 2c0sx 1 .54 .用数学归纳法证明32n+ + 3 + 4=9=32 3 +4+5=6+ 7=25=52 4+5 + 6+7+8 + 9+10=49=72 推出由等式提供的一般规律，用数学归纳法证明. 62.求证：对任何自然数n,n(n 1) (n k)1 - 2 3 - k+2 - 3 - 4 - (k+ 1)+ - n(n+ 1) - (n+k1)= k 1 (k N). 63.已知数列an满足 an=nX2n-1(n N),是否存在等差数列

28、bn,使 an=b1cn +b2cn + b3cn +-+ bncn时一切自然数n成立，并证明你的结论。8n9(n N)能被64整除.55 .求实数a,使下面等式对一切自然数n都成立：1111?2?3 + 2?3?4+ n(n 1)(n 2)=2n an实际付款总额比一次付清多付多少元？作业：【基础训练】1、某工厂去年产值为a,计划今后五年内每年比上一年产值增长 10%,从今年起到第五年，这个工厂的总产值 是2、某工厂的产值月平均增长率为 P,则年平均增长率为：3、从1999年到2002年期间，甲每年6月1日都到银行存入m元一年定期储蓄，若年利率q保持不变，且每 年到期的存款利息均自动转为新的

29、一年定期，到2003年6月1日，甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息作用全部取回，则取回的金额是4、某工厂年产量第二年增长率为 a,第三年增长率为b,则这两年平均增长率x满足【拓展练习】1、有电线杆30根，从距离堆放地100米处起每隔50米放一根电线杆，一辆汽车每次能运三根，一辆汽车把电 线杆全部运完,并放到应放的地点,则这辆汽车共行驶了 米路程。2、把一张厚度为0.0384mm的纸一次又一次地对折，估计至少需要折 次，它的厚度超过月球到地球的距 离。（月球距离约为38.4万千米，lg2 = 0.3010）3、假设一个球从某个高度掉到地上，再弹起的高度为前高度的那么当一个球从6米高度落下，并

30、让其自由3弹跳直到停下，球总共的运动路程为 米。4、某企业在年度之初借款 A元，从该年度末开始，每年度末偿还一定的金额，恰在n年间还清，年利率为r,试问每次需支付的金额是 元？5、5只猴子分一堆苹果，第一只猴子把苹果分成 5堆，还多1个，把多的1个扔掉，取走其中的一堆，第二只 猴子把剩下的苹果分成五堆，也多 1个，把多的一个扔掉，也取走一堆，以后每只猴子都如此办理，则最后 一只猴子所得苹果的最小值是。6、某行政区现有耕地面积8700公顷，人口为20万，若耕地平均每年减少千分之一，人口平均年增长率为千分 之二，那么5年后人均占有耕地面积为 公顷。7、有n个围棋选手参加的棋赛，如果采用单循环比赛，

31、（每两个选手间都要进行一场比赛），那么共进行8、在一根木棒上刻有两种刻度，第一种刻度把木棒 12等分，第二种刻度把木棒18等分，然后沿每条刻度线把 木棒锯断，则木棒被锯成 截。9、已知点 A1（1,y1）, A2（2, y2）, A3（3, y3）,An（n, yn）都在抛物线 y=x2 2x 上，则yn的前 n 项和 Sn=.10、某企业年初存资金1000万元，如果企业经过生产经营使每年资金增长率平均为 50%,但每年年底却要扣除 消费基金x万元，余下资金投入再生产，为实现经过 5年资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年 应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？11、甲、乙两人用农药

32、治虫，由于计算错误，在 A、B两个喷雾器中分别配制成12%、6%的药水各10千克， 实际上两个喷雾器中农药浓度本应是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从 A、B两喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，这样操作进行3n次后，A喷雾器药 水成了含有an%的药水，B喷雾器药水成了含有bn%的药水。证明：an+bn是一个常量建立an与cn-1的关系式按照这样的方式进行下去，他们能否得到浓度大致相同的药水。9、学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有 A、B两样菜可供选择，调查资料表明，凡是在这星期一 选A菜的，下星期一会有20%改选B;而选B菜的，下星期

33、一则有30%改选A ,若用An, Bn表示在第n个星 期一分别选A、B的人数。(1)试用 An, Bn,表小 An+1 ；(2)证明 An+1=0.5An+300；(3)若证 A1二a, 则 An=(0.5)n1(a 600)+600 (n>1)12、如图，在 RD ABC 中，/BAC=90°,作 AAUBC, A1A21AB , A2A3，BC, A3A4，AB, A4A5，BC, A5A6X AB , A6A7，BC, A1 , A2, A3, A4, A5, A6, A7 分别为垂足:(1) ACAAi, zAiA2A3, zA3A4A5, A5A6A7的周长和面积是否

34、分别成等比数列？试给出证明。(2)若AB=4, BC=5,分别求出(1)题中4个三角形的周长和 AiA2A3的面积。(3)如果把题设中的作法一直进行下去，并把所得类同于(1)题中的4个三角形的所有三角形的面积从大到小排成一个数列Sn,设AB=c, AC=b,求Sn的通项公式和 AiiA12A13的面积。1、已知等比数列an中，ai=1,公比为2,则a2与a8的等比中项是32、已知函数两足fj f(x+1)=2+f(x) (xCR),则数列f(n)的刖20项和为3、一个无穷等比数列的公比q适合0<q<1,且它白第4项与第8项之和等于"，而第5项与第7项之积等于-,84则这个

35、无穷等比数列各项的和是5、等差数列an中，已知ai<0,前n项之和为Sn,且S7=Si7,则Sn最小时n的值为7、等差数列an与等比数列bn满足：ai=bi>0, as=b5,则a3与b3的大小关系为8、若等比数列a1的前n项之和为Sn,且满足a>1, (nCN), lim§的值是nSn10、已知an和bn都是公差不为零的等差数列，且.bnaia2 anlim 2,则 limnannnb2n11、全不为零的三个数a, b, c成等差数列，当a增加1时，所得三数成等比数列，当c增加2时，所得三数也成等比数歹!J,贝U a:b:c=。12、已 知数列xn满足 xn+1=xn Xn i(n > 2) , X1 = 1, X2=2,记 Sn=Xi+X2+ +Xn ,则 X100=, Si00=o13、设2000年的银行一年期存款月利率为 0.465%,物价指数的增幅也是0.465%,若2000年年初的100元没 有存入银行，则到年底其购买力下降了 。14、已知 f(x) 一