高中数学数列试题精选以及详细答案

1、高中数学数列试题精选以及详细答案【例1】求出下列各数列的一个通项公式142338，418 ?516，635 '7932 5 64 58 .63，1W，312，2,1158,解(1)所给出数列前-1 .2425一.25项的分子组成奇数列,其通项公式为2n 1,而前5项的分母所组成的数列的通项公式为2X2,所以，已知数列的一 ，2n 1通项公式为：an =尸(2)从所给数列的前四项可知，每一项的分子组成偶数列，其通项公式为2n,而分母组成的数列 3, 15, 35, 63,可以变形为 1X3, 3X5, 5X7, 7 X9,即每一项可以看成序号 n的(2n1)与2n+1的积，也即(2n1)

2、(2n + 1), 因此，所给数列的通项公式为：2nann (2n 1)( 2n 1)(3)从所给数列的前5项可知，每一项的分子都是1,而分母所组成的数列3, 8, 15, 24, 35,可变形为 1X3, 2X4, 3X5, 4X6, 5X7,，即每一 项可以看成序号n与n + 2的积，也即n(n+2).各项的符号，奇数项为负，偶 数项为正.因此，所给数列的通项公式为：(1)n1n(n 2)1491625(4)所给数列可改写为 2, 2,分子组成的数列为1, 4, 9, 16, 25,是序号n的平方即n2,分母均为2.因此所2给数列的通项公式为 an =.n 2【例2】求出下列各数列的一个通

3、项公式.(1)2, 0, 2, 0, 2,111(2)1, 0,0,0,0,357(3)7, 77, 777, 7777, 77777,(4)0.2,0.22, 0.222,0.2222,0.22222,解(1)所给数列可改写为1 + 1, 1 + 1, 1 + 1, -1 + 1,可以看作数列1, 1,1, 1,的各项都加1,因此所给数的通项公式an=(-1)n+1 + 1.所给数列亦可看作2, 0, 2, 0周期性变化，因此所给数列的寸丁 2 (n为奇数)、口 忆入寸丁 ,»通项公式an =/这一题说明了数列的通项公式不唯一.n 0 (n为偶数)，111.,101(2)所给数列1

4、, 0, 1,0, 1,0, 1,可以改写成1一，一0, 1, 0,分母组成的数列为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,是自然4567(1)n 11 L，乙入 V2,因此所给数列的通数列n,分子组成的数列为1, 0, 1, 0, 1, 0,可以看作是 2,10, 2, 0, 2, 0,的每一项的 2构成为项公式为an(1)n1 12n所给数列7, 77, 777, 7777, 77777,可以改写成 , X 9,77-X 99, - X 999,997X 9999, 97 X 99999，可以看作97 9X(10-1),7 9X(100-1),79 义(10001

5、),79 X (10000-1),7-义(100000 1),因此所给数列的通项公式为an = 7(10n-1).9(4)所给数列 0.2,0.22,0.222,0.2222,0.22222,可以改写,、22222成一X0.9, - X0.99,X0.999,X0.9999,X0.99999,可以看99999“ 22222作一 X(1 0.1),-X (1-0.01),-X(1-0.001),-X (1-0.0001),-X99999 21(10.00001)因此所给数列的通式公式为an =2(1 ).910说明1 .用归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规 律.对于项的结构

6、比较复杂的数列，可将其分成几个部分分别考虑，然后将它 们按运算规律结合起来.2 .对于常见的一些数列的通项公式(如：自然数列，an=n;自然数的平方数列，an=n2；奇数数列，an=2n1;偶数数列，an=2n； 1倒数数列，an=)要很熟悉，由联想将较复杂的数列通过合理的转化归 n纳出数列的通项公式.3 .要掌握对数列各项的同加、同减、同乘以某一个不等于零的数的变形 方法，将其转化为常见的一些数列.【例3】 已知数列 显,<5, 272, 而，则2痣是这个数列的第 几项.解 由所给数列的前4项应，瓜 272,斤可归纳得通项公式为an =3n 1 .此时运用方程的思想问题转化为2.5 3

7、n 1解关于正整数n 的方程，解得n=7,即2J5是该数歹I的第7项.【例4】已知下面各数列an的前n项和Sn的公式，求数列的通项公式.(1)Sn=2n2 3n (2)Sn=n2+1Sn=2n+3(4)Sn=(-1)n+1 n解(1)当 n=1 时，a1=s1 = 1;当 n>2 时，an=Sn Sn-1=(2n2 3n)2(n1)23(n1)=4n5,由于a1也适合此等式，因此 an=4n - 5.(2)当 n= 1 时，a1 = S1=1 + 1 = 2;当 n> 2 时，2口 = Sn Sn-1=n2 + 1 (n 1)2 + 1 = 2n 1,由于 a1不适合 于此等式，2

8、 n = 1因此，an =n 2n 1 n> 2且nC N * .当 n= 1 时，a1=S1=2+3=5;当 n>2 时，an=snSn-1=2n + 3(2n-1 + 3)=2n-1,由于 a1 不适合于此等式，因此，an =5 n = 12n 1n>2且 nCN*当n=1时,a1 = S1=(-1)2 1=1 ;当n>2时，an= Sn-Sn-1=(-1)n+1 n- (-1)n (n-1)=(-1)n+1(2n-1),由于a1也适可于此等式，因此an=(-1)n+1(2n-1), nC N* .说明已知Sn求an时,要先分n =1和n > 2两种情况分别进

9、行计算， 然后验证能否统一.【例5】已知an=an1+a1= 1,写出数列的前5项;解(1)由已知an = an 1 +1 n(n3ai =1得2 - (2 1)2a3 二319 15一 23 -263515121734- 3312124717136945, 4420205(2)由第(1)小题中前5项不难求出.a4 =a5 =a2 = 12n a n1、一(或 an n1一) n【例6】 数列an中，a1=1,对所有的n>2,者B有 a1 a2 a3an求a3+a5；256 一 巴是此数列中的项吗?225解 由已知：a1 a2 a§ 2口= n2得ai ' a2 , a

10、3 anan 二一-Z-ai a? a3an i2nan r , n> 2.(n 1)(n>2, nC N*)由于ai = 1不适合于此等式.因此1n = 1(n 1)2 '22,3561(1)a 3+ a5 =-T25224216令2562252 ，(n 1)解方程可得n = 16256 一 一n=16GN*,是此数列的第16项.225说明 (1) “知和求差”“知积求商”是数列中常用的基本方法.(2)运用方程思想求n,若nC N*,则n是此数列中的项，反之，则不是此 数列中的项.【例7】 已知数an=(a21)(n32n)(a= w ± 1)是递增数列，试确定 a的 取值范围.解法一 :数列an是递增数列，an+1 >anan+1 an= (a2- 1)(n +1)3 2(n+ 1) (a2 1)(n3 2n)= (a2 1)(n + 1)32(n+ 1) n3+2n= (a2-1)(3n2+3n-1),.(a2-1)(3n2+3n-1)>0又 nC N*3n2+3n-1=3n(n