高中数学联赛多项式专题练习(详解版)

1、高中数学联赛多项式专题练习（详解版 ）试卷第5页，总3页、单选题1.若实数0,b 1则代数式a 1的值为A.20B. 2C. 2或20D. 2 或 202.已知是方程x2 2x 40的两个实数根，则36的值为（A.1B. 2C. 22D. 3023.设xpxq 0的两实根为2 -.为根的二次方程仍是2x pxp,q的个数是（A. 2B.C. 4D. 04.若实数b满足a28a 5 0b2 8b 5 0皿b 1则a 1A.20B.C. 2或20a的值是（b 11D .一2二、多选题5.关于X的二次方程2x 2mx2n 0有两个整数根且乘积为正，关于 y的二次方程y2 2ny 2m0同样也有两个整

2、数根且乘积为正，如下给出的结论中正确的是（A.这两个方程的根都是负根B.这两个方程的根中可能存在正根2C. m 1 nD.12m 2n 1三、解答题6.已知x1、x2是一元二次方程 4kx2 4kx k 1 0的两个实数根.3（1）是否存在头数k, 2x1 x2 x1 2x2一成立？若存在，求出k的值；若不存2在，请说明理由；（2）求使见 x2 2的值为整数的实数 k的整数值.x2 Xi7,已知关于z的实系数一元二次方程 z2 5z a 0的两个复数根为、，试用实数a表示| | |的值.28.已知关于x的不等式ax - a 1 x 1 0, a R .1(1)若不等式的解集为x - x 1 ,

3、求a ；2(2)当a R时，解此不等式.9 .如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m ,宽为n的全等小长方形，且m n .(以上长度单位：cm)(1)用含m、n的代数式表示图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和;(2)观察图形，可以发现代数式 2m2 5mn 2n2可以因式分解为 258cm ,试求m(3)若每块小长方形的面积为 10cm2,四个正方形的面积和为的值.10 .设m是不小于1的实数，关于x的方程x2 2 m 2 x2m 3m 3 0有两个不相等的实数根x1、x2.(1)若x2 x2 6 ,求实数m的值；

4、mxmx2(2)令T ( m 0),求实数T的取值范围.1 x1 1 x211 .关于x的实系数方程x2 ax ab 0.(1)设x 1 J3i (i是虚数单位)是方程的根，求实数 a, b的值;b 1(2)证明：当 时，该方程没有实数根a 412 .已知m是实数，关于x的方程E： x2- mx+ (2m+1) =0.(1)若m=2,求方程E在复数范围内的解;(2)若方程E有两个虚数根x1，x2,且满足|xi - X2|=2,求m的值.四、填空题13.已知关于X的二次方程ax2a 2 x 2 0有两个不相等的正整数根,则整数a的值是14 .设关于x的方程x2 2x m0的两个实数根分别为6,那

5、么实数m的值是15.已知 ，是方程x2 2x0的两个根，则 2 2216.右2i 3是万程2x px q0 p,qR的一个根，则17.已知a, b, c是VABC的三边长，关于x的方程x2 Vbx21-a 0的解集2中只有一个元素，方程3cx 2b 2a的根为x 0 ,则VABC的形状为2a, b为关于x mx3 m 0的两个实数根,则实数 m的值18.若不等式& ax3，、一(4,b)的解集是(4, b),则实数a= 2，b=19.若tan 、tan 分别是方程x2 x 2 0的两个根，则tan20 .已知a,b R ,且2 ai、b i (i是虚数单位)是实系数二次方程2x pxq

6、 0的两个根，那么 p q的值为参考答案1. A【解析】【详解】Qa,b满足 a2 8a 5 0,b2 8b 5 0,a, b可看着方程x2 8x 5 0的两根，a b 8,ab 5,22b 1 a 1 b 1 a 182 2 5 2 8 220,故选 A.5 8 1a 1 b 1 a 1 b 1 2 a b 2ab 2 a b 2 ab a b 1【方法点睛】本题主要考查韦达定理的应用以及数学的转化与划归思想.属于又t题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法， 是中学数学四种重要的数学思想之一， 尤其在解决知识点 较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度

7、.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中本题表面是求出a,b的值，再代入求值，其实需要转化为利用韦达定理整体代入求解.2. D【解析】【分析】将 代入方程x2 2x 4 0，由此化简 3的表达式，根据根与系数的关系求得，进而化简求得3 86的值.【详解】Q 是方程x2 2x 4 0的实根，2 24 0,32即 224,24224488,原式 88 86 814是方程x2 2x 4 0的两实根,2 ,原式 8 2 14 30.故选：D.【点睛】 本小题主要考查根与系数关系，考查代数式

8、的变形，属于基础题3. B利用根与系数关系列方程，通过解方程求得p,q的所有可能取值，由此得出正确选项根据题意得,p,p，2 2 q由、可得20,解得由、可得2q 0.q 0时，p20,解得Plqi0,或0P2q21,把它们代入原方程的判别式中可知符合题意;0q i时,P31或P 2 ,即 q32，或1P4q41,1,把它们代入原方程的判别式中可知P4q41,不合题意，舍去1.所以数对P,q的个数是3,答案第17页，总14页故选B.本小题主要考查根与系数关系,考查方程的解法，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题4. C当a b时，计算出所求表达式的值为2,当a1 b时，根据

9、已知可知a,b是方程x2 8x 5 0 的解,由此写出根与系数关系，化简所求表达式，由此求得表达式的值.进而求得正确选项【详解】当 a b时，a_J 2； a 1 b 1当al b时，因为实数a、b满足a2 8a 5 0 , b2 8b 5 0所以a、b可看成是方程x2 8x 5 0的解，所以a b 8, ab 5.2b 1 a 1 b 1 a 1a 1 b 1 a 1 b 12a b 2ab 2 a b 2ab a b 120.b 1 a 1 82 10016 2把a b 8, ab 5代入得a 1 b 15 8 1b 1 a 1综上，的值为2或20.a 1 b 1故选C.本小题主要考查根与

10、系数关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力， 考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.5. ACD【解析】【分析】列出两个方程的根与系数关系，判断A,B两个选项的正确性.根据两个方程的判别式为非负数，判断C选项的正确性.根据两个方程的根与系数关系，分别求得 2m 2n的表达式，证得2m 2n 1和2m 2n 1,由此判断D选项的正确性.【详解】设方程x2 2mx 2n 0的两根为xx?,方程y2 2ny 2m 0的两根为y1、y2 .由题意知 Xx2 2n 0, y1y2 2m 0,又Qx1 x2 2m, y1 y22n ,这两个方程的根都是负根，故 A正确，B不正确；Q 4m2

11、 8n 0, 4n2 8m 0, m2 2n 0 , n2 2m 0 ,2/22_,2_/_m 1 n 1 m2n1n 2m 12,故C正确；Q N1N2 2m, yi y22n2m 2nV1V2ViV2 yi1y21 1,yi、y2 均为负整数，yi 1 y2 10,2m 2n1 .QXiX2 2n ,xx22m,2m 2n 1.Q Xi X22n ,x1 x22m,2n 2mx1x2xix2 x11x21 1Q X、x2均为负整数，xi 1 x2 10,2n 2m 1 ,即 2m 2n 1,1 2m 2n 1 ,故 D 正确.综上所述，正确的结论有 A, C, D.故选:ACD.【点睛】本

12、小题主要考查一元二次方程根与系数关系，考查不等式的证明，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析与解决问题的能力，属于中档题6. (1)不存在，理由见解析；(2) 2, 3, -5.【解析】【分析】(1)因为一元二次方程4kx2 4kx k 1 0的两个实数根，所以利用判别式求出 k的取值范一，2围，将2xix2x,2x2化为2xix29x1x2结合韦达定理以及k的取值范围，即可判断.2(2)将关系式上 2化为 “ x24 ,结合韦达定理以及整除的性质即可求解.x2 xix1x2【详解】(1)假设存在实数k,使2% x2 xi 2x2。成立.2 一元二次方程4kx2 4kx k 1 0的两个实数

13、根4k 0Xi24k 4 4k k 1X2是二次方程,24kxX1X216k4kx0的两个实数根x2 1k 1 1 2x1X2X12X2X2 X2 5x1x2 22x1 x29x1 x24kk 94k,9k 一，但 k5不存在实数k,2x1 x2 x12x23成立.2(2) 土X2X222X1X22X12X2X1X1X2X1X24k 4k.要使其值是整数，只需 k 1能被4整除，故k 1X1X22的值为整数的实数k的整数值为一2, 3,5.X2X1本题主要考查了二次方程根与系数的关系，关键是利用韦达定理来求解，属于中档题25 .7.当 a 1时，I I I I J25 2a 2IaI ;当【解

14、析】a § 时，2/a4讨论判别式后，根据韦达定理可得结果因为关于z的实系数二次方程z2 5z a 0的两个复数根为当V 25254a 0 ,即 a 一 时, 4为实数根,所以5,a,所以I II I -(II)222 2I I .(2 _)22IIJ25 2a 2IaI，当 V 25 4a 0,即25了时，,为共辗虚根,所以设 b ci , b ci ,5由韦达定理可得2b 5,所以b222225b c a ,所以 c a 一 ,4所以 | | | | 2Jbc22y4 a42 荷，综上所述：当a254时，H H 725 2a 2|al ；当 a(2)由题(ax 1)(x 1) 0

15、, aR：当a 0时，不等式化为x 1a； (2)不等式化为1 -,解得aa1a2;时，不等式等价于(X_1若a 1 ,解得一 X a1、，、-4-)(X 1) 0,若 0 a 1,解得 1 x a11 ；当a 0时，不等式等价于(x -)(xa1 _一；右a 1 ,解得xa1 ,1) 0,解得X 或X1.【点睛】 本题考查了根据韦达定理和配方法求值，考查了分类讨论思想，属于基础题，,、， 1 、8 . (1) 2 (2) a 0 时，X (1,) , 0 a 1 时，x (1-) , a 1 时，不等式的解集为a、11空集,a 1 时，X (-,1), a 0 时，X (,-)U(1,).a

16、a【解析】【分析】(1)根据不等式的解集和韦达定理，可列出关于a的方程组，解得(ax 1)(x 1) 0,讨论a的取值，从而求得不等式的解集【详解】a,11-1(1)由题得，(ax 1)(x 1) 0,解集为X - x 1，则有一2212综上，a 0时，不等式的解集为(1,、 1.),0 a 1时，不等式的解集为 (1,一 ), a 1时,a1a 0时，不等式的解集为不等式的解集为空集,a 1时，不等式的解集为(一,1),a1(,-)(1,). a【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用，以及通过讨论参数取值求不等式的解集，有一定的难度。9 .(1)6 m n cm；(2) m 2n 2m

17、n ；(3)49【解析】【分析】(1)结合图像，求得所有裁剪线(虚线部分)的长度之和；(2)根据最大长方形的面积可知，代数式可因式分解为m 2n 2m n .2(3)根据每块小长方形的面积和四个正方形的面积和列式，然后求得m n的值.【详解】(1)题图中所有裁剪线(虚线部分)长度之和为2 m 2n 2 2m n 6m 6n 6 m n cm.(2) 2m2 5mn 2n2可以因式分解为 m 2n 2m n ,故答案为 m 2n 2m n .(3)依题意得：2m2 2n2 58, mn 10, m2 n2 29 .2222Q m n m 2mn n , m n 29 20 49.【点睛】本小题主

18、要考查利用面积法进行因式分解，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.5.1710. (1) m ; (2) 0 T 4且T 2.2【解析】【分析】根据方程有两个不相等的实数根，判别式为正数列不等式，求得m的取值范围，写出根与系数关系.(1)利用配方法化简x2 x2 6成小X2 2 2x1x2 6 ,根据上述列出的根与系数关系进行化简，解一元二次方程求得 m的值.(2)将T转化为利用x1 ”,为乂2来表示，根据上述列出的根与系数关系进行化简，根据m的取值范围，求得 T的取值范围Q方程有两个不相等的实数根, 解得m 1,又Q m是不小于 由题得xi X22 m 2(1) Q X2 x2 6 ,x

19、1-222 m 24 m1的实数， 1 m 1.24 2m, X1X2 m 3m 3.2 2x22x1x2 6,即 4 2m3m 3 4m 4 0 ,整理得m2 5m 2 0,解得m 5，17或m 5 07 .Q225 .172(2) Tmx1 mx21x1 1 x2mx1 1 x2 mx2 1 x11 x1 1 x2m x1 x2 2x1x21x1x2x1x22m 4 2m 2m 6m 6，, 一2 一 一1 4 2m m 3m 322m m 12m m2 2m.0 2 2m 4且 2 2m 2,即 0 T 4且T 2.故实数T的取值范围为0 T 4且T 2.本小题主要考查根与系数关系,考查

20、一元二次方程的解法， 考查化归与转化的数学思想方法,考查运算求解能力，属于中档题11. (1) a 2, b 2; (2)见解析【分析】(1)利用实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系、复数的运算法则即可得出；(2)利用一元二次方程的实数根与判别式的关系即可得出.【详解】(i)Qx 1 J3i是方程的根， 1 J3i也是方程的根，由根与系数的关系得1褥173i a,1内1V3iab,解得a2,b 2;(2)证明：Q b 1,b1 4ba04a4ba0 4ab a20,a 4a4 4aa2 4ab 0,原方程无实数根.【点睛】本题考查复数的运算法则，考查复数与方程的综合，考查逻辑思维能

21、力和运算能力，属于中档题.12. (1) x= 1+2i,或 x=1- 2i (2) m=0,或 m=8【解析】【分析】(1)根据求根公式可求得结果；(2)根据实系数多项式虚根成对定理，不妨设 x1=a+bi,则x2=a-bi,根据韦达定理以及|X1 - X2|= 2,可解得结果.【详解】(1)当 m=2 时，x2 - mx+ (2m+1) =x2-2x+5=0,x 216, . x= 1+2i,或 x=1-2i.2，方程E在复数范围内的解为 x= 1+2i,或x= 1-2i；(2)方程E有两个虚数根x1，x2,根据实系数多项式虚根成对定理，不妨设x1=a+bi,则x2=a-bi,2. 221

22、2_. x1+x2= 2a= m, x#2 a b 2m 1 , . b m 2m 14212, |x1 - x21= |2bi |=2' - b = 1,一一m 2m 114m = 0,或 m= 8.【点睛】本题考查了求根公式，考查了实系数多项式虚根成对定理，考查了韦达定理，属于中档题.13. a 1【解析】首先判断a 0,然后根据判别式为正数，求得 a 2且a 0,利用根与系数关系，结合 a为整数、两个根为不相等的正整数根，求得 a的值.【详解】Q方程ax2a 2 x 2 0是关于x的7L二次方程,a 0.22a 2 4a 2 a 20 ,当a 2时方程有两个相等的实数根；当a 2

23、且a 0时，方程有两个不相等的实数根Q方程有两个不相等的正整数根,2且 a 0.设方程的两个根分别为xx2,x1 x2=2,为 x2=1 + 2,aaQ x1、x2均为正整数,2工为正整数，Q a为整数，a 2且a 0, a 1. a故答案为a 1本小题主要考查根据二次方程的根求参数的值，考查根与系数关系，属于基础题14. 9根据根与系数关系求得6变形为36,由此求得关于m的方程,解方程求得 m的值.6,由根与系数的关系可得36,3636,4 2 1m2136,当1 m 0时,无解；当m 0时，解得m 9.故实数m的值为9.故答案为9本小题主要考查根与系数关系，考查代数式的变形，属于基础题15

24、. 32【解析】【分析】由题得 + , 的值，再把韦达定理代入2 22得解.【详解】由题得 + = 2,7.所以 2 22 ()2 44 28 32 .故答案为：32【点睛】本题主要考查一元二次方程的韦达定理的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平16. 38;【解析】【分析】假设另外一个根为 z,根据z1是实数，结合韦达定理，可得结果.【详解】假设另外一个根为 z ,22i 3是方程2x px q 0 p,q R的一个根，则2i 3 z 卫22i 3 z q2由p,q R,可知z是2i 3的共轲复数，所以z 3 2i 把代入可知p 12q 26所以p q 38故答案为：38【点睛】本题重在考查zgz是实数，掌握复数共轲复数的形式，属基础题17.等边三角形12【解析】【分析】根据所给条件确定 a,b,c关系，即可判断三角形形状，利用根与系数关系可求m.【详解】Q关于x的方程二x2 而x c la 0的解