2019年中考数学复习专题突破--取值范围的确定

1、.精品文档.2019年中考数学复习专题突破-取值范围 的确定专题四取值范围的确定几何背景1.几何背景下确定最大值和最小值例1 （2018 ,石家庄模拟）如图，在矩形纸片 ABD中，AB =4, B=3,翻折矩形纸片，使点 A落在对角线DB上的点F 处，折痕为DE,打开矩形纸片，并连接 EF.（1）BD的长为5 ;（2）求AE的长；（3）在BE上是否存在点 P,使得PF+ P的值最小？若存 在，请你确定点 P的位置，并求生这个最小值；若不存在， 请说明理由.例1题图【思路分析】（1）根据勾股定理解答即可.（2）设AE= x, 根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可.（3）延长B到点G,使BG=

2、B,连接FG交BE于点P,确定点P的位置， 连接P,再利用相似三角形的判定和性质，最后利用勾股定 理解答即可.解：(1)5(2)设 AE= x.AB= 4,，BE= 4-x.根据折叠的性质，知 Rt AFDE Rt ADE.FE= AE= x, FD= AD= B= 3,/ EFD= / A= 90 .，BF= BD- FD= 5-3=2.在RtBEF中，根据勾股定理，得 FE2+ BF2= BE2,即 x2 + 4=(4x)2.解得x = 32.AE的长为32.(3)存在.如答图，延长 B到点G,使BG= B,连接FG, 交BE于点P,则点P即为所求.连接P,止匕日t有P= PG.，PF+

3、P= GF.过点F作Fhl± B,交B于点H,则有FH/ D.， BFM BD.，FHD= BFBD= BHB 即 FH4= 25=BH3.，FH= 85, BH= 65.，GH= BG+ BH= 3+ 65= 215.在RtAGFH,根据勾股定理，得 GF= GH斗 FH2= 5055.所以PF+ P的最小值为 5055.例1答图针对训练1 （2012 ,河北，导学号 5892921）如图，在4 AB中，AB= 13, B= 14, sZ AB= 513.【探究】如图，AH，B 于点 H,则 Ak 12 , A= 15 , AB 的面积为84 .【拓展】如图，点D在A上（可与点A,

4、重合），分别过点A, 作直线BD的垂线，垂足为 E, F.设BD= x, AE= , F=n.（当 点D与点A重合时，我们认为 SAABD= 0）（1）用含x, n的代数式表示 SAABD> SA BQ（2）求+ n关于x的函数解析式，并求+ n的最大值和最 小值；（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点 D,指由 这样的x的取值范围.【发现】请你确定一条直线，使得 A, B,三点到这条直线的距离 之和最小（不必写生过程），并写由这个最小值.训练1题图【思路分析】【探究】先在 RtAABH,由AB= 13, s/AB= 513,可得 AH= 12, BH= 5,则 H= 9,再解 R

5、tAAH, 即可求生A的长，最后根据三角形的面积公式即可求由SAAB的值.【拓展】（1）由三角形的面积公式即可求解.（2）首先由（1）可得=2SAABDx, n = 2S4BDx,再卞M据 SAABD+ S BD= SAAB= 84,即可求生+ n关于x的函数解析式，然后 由点D在A上（可与点A,重合），可知x的最小值为 A边上 的高，最大值为 B的长，由此便可确定+ n的最大值与最小 值.（3）因为B> BA,所以当以点B为圆心，大于565且小于 13为半径画圆时，与 A有两个交点，不符合题意.故根据点 D的唯一性，分两种情况：当BD为4AB的边A上的高时， 点D符合题意.当AB<

6、; BD< B时，点D符合题意.【发现】 因为A> B> AB,所以使得 A, B,三点到这条直线的距离之 和最小的直线就是 A所在的直线.解：【探究】12 15 84【拓展】（1）由三角形的面积公式，得SA ABD= 12BD&#8226;A 12x, SA BD= 12BD&#8226;F= 12xn. （2）由（1）得=2SABDx n=2SA BDx, ，+ n = 2SA ABD奸 2SA BDx= 168x. :A边上的高为 2sAB15= 2X8415=565, ，x的取值范围是565<x< 14.+ n随x的增大而减小，当x = 5

7、65时，+ n的最大值为15.当x=14时，+n的最小值为12.(3)x 的取值范围是 x=565或13vxW 14.【发现】< A> B> AB,.使得A, B,三点到这条直线的距离之和最小的直线就是A所在的直线，A边上的高为565.这个最小值为 565.针对训练2 (2011 ,河北)如图至中，两平行线AB, D间的距离均为6,为AB上一定点.【思考】如图，圆心为的半圆形纸片在AB, D之间(包括AB,D),其直径N在AB上，N= 8, P为半圆上一点，设/ P= a .当a = 90 时，点P到D的距离最小，最小值为 2 .【探究一】在图的基础上，以点为旋转中心，在AB

8、, D之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图，得到 最大旋转角/ B= 30,此时点N到D的距离是2 .【探究二】将图中的扇形纸片 NP按下面对a的要求剪掉，使扇 形纸片P绕点在AB, D之间顺时针旋转.(1)如图，当a =60°时，求在旋转过程中，点 P到D 的最小距离，并请指由旋转角/ B的最大值；(2)如图，在扇形纸片 P旋转过程中，要保证点 P能 落在直线D上，请确定a的取值范围.参考数据：sin 49= 34, s 41=34, tan 37=34训练2题图【思路分析】【思考】根据两平行线之间垂线段最短，直接得由答案.【探究一】根据 sin ZB= 24=12

9、,得到最大 旋转角/ B= 30° ,此时点N到D的距离是2.【探究二】（1） 由已知得由点与点 P的距离为4,当P± AB时，点P至UAB的 距离最大，从而点P到D的距离最小，当弧P与AB相切时， 可得由/ B的最大值.（2）当弧P与D相切于点P时，可求由 a的最大值.当点 P在D上且与AB距离最小时，可求由 民 的最小值，进而可得由 a的取值范围.解：【思考】902【探究一】302【探究二】（1）如答图，连接P.a = 60 , .P是等边三角形. P= = 4. .当P± AB时，点P到AB的距离最大，是 4. 点与点P之间的距离为4,点P到D的最小距离为6

10、-4 = 2.当扇形P在AB, D之间旋转到不能再转时，弧 P与AB相切，此时旋转角最大，/ B的最大值为90（2）如答图.由【探究一】可知，当P是弧P与D的切点时，«最大, 即P± D,此时延长 P交AB于点R, a的最大值为/ R+ Z R =30 + 90 = 120 .如答图，连接PjHl± P于点H.当点P在D上且与AB距离最小，即 P± D时，a最小.由垂径定理，得H= 3.在 RtAH, = 4.sin /H= H= 34./ H= 49 .: a = 2/ H,最小为98 .的取值范围为98 < a <120 .训练2答图2.

11、几何背景下确定取值范围例2 (2017 ,河北，导学号 5892921)如图，AB= 16,为 AB的中点，点在线段 B上(不与点，B重合)，将绕点逆时针 旋转270后得到扇形D, AP, BQ分别切优弧D于点P, Q, 且点P, Q在AB异侧，连接P.(1)求证：AP= BQ(2)当BQ= 43时，求弧QD的长；(3)若4AP的外心在扇形D的内部，求的取值范围.例2题图【思路分析】(1)连接Q,只要证明RtAAP RtBQ即 可解决问题.(2)求生优弧DQ所对的圆心角以及所在圆的半 径即可解决问题.(3)由4AP的外心是A的中点，A= 8,推 由4AP的外心在扇形 D的内部时，的取值范围为

12、4<< 8.(1)证明：如答图，连接 Q.AP, BQ是。的切线，/. P1 AP, Q± BQ. / AP= / BQ 90 .在 RtAP和 RtBQ中，A= B, P= Q,，RtAAP RtABQ.，AP= BQ.(2)解：: RtAAP RtABQ，/ AP= / BQ .P, , Q三点共线.在 RtBQ中，s B =QBB= 438=32,./ B= 30 . / BO 60 ./. Q= 12B= 14AB= 4.，优弧 QD的长为(270-60) &#8226;兀 &#8226;4180 = 14 兀 3.(3)解： AP的外心是A的中点

13、，A= 8, 当 AP的外心在扇形D的内部时，的取值范围为 4Vv8.例2答图针对训练3 （2018 ,石家庄模拟）如图，在RtAB中， /B=90° , Z AB= 30° , A= 3.以点为原点，斜边 A所在直 线为x轴，建立平面直角坐标系，以点 P（4, 0）为圆心，PA 的长为半径画圆，O P与x轴的另一交点为 N,点在。P上， 且满足/ PN= 60 , O P以每秒1个单位长度的速度沿 x轴 向左运动.设运动时间为 t s.【发现】（1）弧N的长度为（兀3 ）;（2）当t = 2时，求扇形 PN与RtAB重叠部分的面积.【探究】当。P和4AB的边所在的直线相切

14、时，求点P的坐标.【拓展】当弧N与RtAB的边有两个交点时，请你直接写由t的取值范围.训练3题图【思路分析】【发现】（1）先确定由弧N所在圆的半径，进而用弧长公式即可得由结论.（2）先求生PA= 1,进而求生 AQ PQ的长，即可用面积公式得由结论.【探究】分圆和直线AR直线B相切，利用三角函数即可得由结论.【拓展】先找由弧N和RtAB的两边有两个交点时的分界点，即可得由结论.解：【发现】兀3(2)设。P的半径为r,则有r =4 3=1.当t=2时，如答图，点 N与点A重合，PA= r = 1.设P与AB相交于点Q. ,/ AB= 30 , / PN= 60 ,，/PQA= 90 .，PQ=

15、12PA= 12.，AQ= AP&#8226;s 30= 32.，S 重叠部分=SA APQ= 12PQ&#8226;AQ= 38,即重叠部分的面积为 38.【探究】如答图，当。P与AB边所在的直线相切于 点时，连接P,则有P±AB, P=r = 1. ,/ AB= 30 ,，AP=2.，p= a- AP= 3-2 = 1. 点P的坐标为(1,0).如答图，当。P与B边所在的直线相切于点 D时, 连接 PD,则有 PD± B, PD= r = 1.，PD/ AB. / PD= / AB= 30 .vsZ Pt> PDP，P= 233. 点P的坐标为23

16、3, 0.如答图，当。P与B边所在的直线相切于点E时，连接 PE,则有 PE± B, PE= r = 1.同理P= 233. 点P的坐标为一233, 0.综上所述，当。P和4AB的边所在的直线相切时，点P的坐标为（1 , 0）或233, 0或233, 0.【拓展】t的取值范围是2vtW3, 4Wt<5.训练3答图针对训练4 （2014 ,河北，导学号 5892921）如图和图 ，优弧AB所在。的半径为 2, AB= 23.P为优弧AB上一点 （点P不与点A, B重合），将图形沿BP折叠，得到点A的对 称点A'.（1）点到弦AB的距离是1 ,当BP经过点时，/ ABA=6

17、0;（2）当BA'与。相切时，如图，求折痕的长；（3）若线段BA'与优弧AB只有一个公共点 B,设/ ABP =民.确定民的取值范围.训练4题图【思路分析】（1）利用垂径定理和勾股定理即可求由点到弦AB的距离.利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可 求生/ ABA .(2)根据切线的性质得到/BA = 90° ,从而得至U/ABA' = 120 ，就可求生/ ABP,进而求生/ BP= 30 过点作GJ± BP,垂足为G,容易求生BG的长，根据垂径定理 就可求曲折痕的长.(3)根据点 A的位置不同，得到线段 BA与优弧AB只有一个公共点 B时，a的取值

18、范围是0° v a <30 或 60 < a <120 .解：(1)160(2)如答图，连接B,过点作G± BP,垂足为G.训练4答图.BA'与。相切， /. B± A B. / BA' = 90 . ,/ BA= 30 , ./ ABA = 120 . ./A' BP= / ABP= 60 ./ BP= 30 .，BG= B&#8226;s 30= 3.; G± BP,/. PG= BG= 3.，BP= 23.，折痕的长为23.(3) .点P不与点A重合， >0 .由(1),得当a增大到30

19、76;时，点A在弧AB上.当0 < a <30°时，点A在。内，线段 BA与优 弧AB只有一个公共点B.由(2),知当a增大到60°时，BA与。相切，即线段 BA与优弧AB只有一个公共点B.当a继续增大时，点 P逐渐靠近点B,但点P不与点B 重合， / BPV 90 . , a = / BA+ / BP, / BA= 30 , a v 120 . 当60 V 5 V 120°时，线段 BA'与优弧 AB只有一 个公共点B.综上所述，线段 BA'与优弧AB只有一个公共点 B时， a的取值范围是 0° V a <30

20、6;或60° w a <120° .函数背景1. 一次函数与反比例函数背景下确定取值范围例3 (2010 ,河北，导学号 5892921)如图，在平面直角 坐标系中，矩形AB的顶点与坐标原点重合，顶点A,分别在坐标轴上，顶点 B的坐标为(4, 2).过点D(0, 3)和E(6, 0)的直线分别与 AB, B交于点，N.(1)求直线DE的解析式和点的坐标；(2)若反比例函数 y = x(x >0)的图象经过点，求该反比 例函数的解析式，并通过计算判断点 N是否在该函数的图象 上；(3)若反比例函数 y = x(x >0)的图象与 NB有公共点， 请直接写生的

21、取值范围.例3题图【思路分析】(1)设直线DE的解析式为y=kx + b,直 接把点D, E的坐标代入解析式利用待定系数法即可求得直 线DE的解析式.先根据矩形的性质求得点的纵坐标，再代 入直线DE的解析式求得其横坐标即可.(2)利用点的坐标求 得反比例函数的解析式，根据点N在直线DE上求得点N的坐标，再代入反比例函数的解析式判断是否成立即可.(3)满足条件的最内的双曲线的=4,最外的双曲线的=8,所以可得其取值范围.解：(1)设直线DE的解析式为y=kx+b.点D, E的坐标分别为(0, 3), (6, 0), ，3=b, 0=6k+b.解得 k= 12, b=3.直线DE的解析式为y =

22、- 12x + 3.点在AB边上，B(4, 2),四边形AB是矩形， 点的纵坐标为2.丁点在直线y=12x+3上，.2= 12x + 3. x = 2.，(2 , 2).(2) . y=x(x >0)经过点(2 , 2), = 4. y = 4x.点 N 在 B 边上，B(4, 2), 点N的横坐标为4. 点N在直线y=12x + 3上，yN= 1. N(4, 1). 当 x = 4 时，y = 4x=1,.点N在函数y = 4x的图象上.(3)4 << 8.针对训练5 (2018,石家庄43中模拟，导学号5892921) 在平面直角坐标系中，已知直线 y=x+4和点(3,

23、2).(1)判断点是否在直线 y = x + 4上，并说明理由；(2)将直线y=x + 4沿y轴平移，当它经过点关于坐标轴的对称点时，求平移的距离；(3)另一条直线 y= kx + b经过点且与直线 y = x + 4交 点的横坐标为n,当y= kx+b随x的增大而增大时，n的取 值范围是2 v nv 3 .【思路分析】(1)将x= 3代入y = x+4,求生y = 3+4= 1片2,即可得点(3, 2)不在直线 y=-x + 4上.(2) 设直线y= x+4沿y轴平移后的解析式为 y = - x + 4+a. 分两种情况进行讨论：点(3,2)关于x轴的对称点为1(3 , -2);点(3 ,

24、2)关于y轴的对称点为2(3, 2).分别求 出a的值，得到平移的距离.(3)由直线y=kx + b经过点(3 , 2),把x= n,代入y= x + 4求生交点的坐标，再结合k&gt;0 , 得由结果.解：(1)点不在直线y=-x + 4±.理由：:当 x=3 时，y=3 + 4=1片2, 点(3, 2)不在直线 y=-x + 4±.(2)设直线y = -x + 4沿y轴平移后的解析式为 y = -x + 4 + a.点(3 , 2)关于x轴的对称点为1(3 , - 2). 点 1(3 , 2)在直线 y=- x + 4+a 上， - 2 = - 3 + 4 +

25、a.，a=3,即平移的距离为 3.点(3 , 2)关于y轴的对称点为2( 3, 2). 点 2(3, 2)在直线 y=x + 4+a 上， 2 = 3 + 4 + a.，a=5,即平移的距离为5.综上所述，平移的距离为3或5.(3)2 <n<3针对训练6 (2018 ,张家口桥东区模拟，导学号5892921) 如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为(3 , 2),直线 l的解析式为y=kx 23k(k片0),反比例函数y = 2x的 图象上有两点，N,点，N的纵坐标分别为2, 1.(1)当k= 1时，直线l的解析式为y =-x+1 ,并 直接在坐标系中画由直线l ;(2)通过计算

26、说明：点 A在直线l上；(3)记y = 2x(x >0)图象上，N两点及之间的部分为 G. 若图象G与直线l有公共点，求k的取值范围.训练6题图【思路分析】(1)将k = 1代入直线l的解析式即可 解决问题.(2)将点A的横坐标代入直线l的解析式判断即 可解决问题.(3)求生，N两点的坐标，利用待定系数法，求 由直线l经过，N两点时k的值，即可判断.解：(1)y = -x+1直线l如答图所示.(2)当 x = 3 时，y=3k-2-3k = -2. 点A在直线l上.(3)对于反比例函数 y=2x,当y=2时，x=1.当 y = 1 时，x= - 2.2016全新精品资料-全新公文范文-全

27、程指导写作法家原创17 / 24.精品文档.(一I, 2) , N( 2, 1).当点在直线l上时，2 = - k-2-3k.解得k= 1.当点N在直线l上时，1 = 2k23k.解得k= 35.所以满足条件的k的取值范围为一1 w kw 35.训练6答图2.二次函数背景下确定取值范围例4 (2018 ,秦皇岛海港区一模，导学号 5892921)如图 ，抛物线1:y= x2 + bx +经过点 A(1,0)和点B(5,0).已 知直线l的解析式为y=kx 5.(1)求抛物线1的解析式、对称轴和顶点坐标；(2)若直线l将线段AB分成1 ： 3两部分，求k的值；(3)当k = 2时，直线l与抛物线

28、交于，N两点，P是抛 物线位于直线l上方的一点，当 PN的面积最大时，求点 P 的坐标，并求面积的最大值；(4)将抛物线1在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下 方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为 2,如图.直接写由y随x的增大而增大时x的取值范围；直接写由直线l与图象2有四个交点时k的取值范围.例4题图2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作法家原创# / 24.精品文档.【思路分析】(1)根据二次函数的交点式可得函数的解 析式.(2)根据线段的比，可得直线l与x轴的交点，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案.(3)根据平行于 y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较

29、小的纵坐标，可 得PH.根据三角形的面积，可得二次函数.根据二次函数的 性质，可得答案.(4)根据函数图象的增减趋势，可得答 案.找到界点，求由l过界点时k的值，可得答案.解：(1) ;抛物线1: y=x2+bx +经过点 A(1 , 0)和 点 B(5 , 0),.y = (x 1)(x 5) = x2 + 6x 5 = (x 3)2 + 4.，抛物线1的解析式为y = x2 + 6x5,对称轴为x = 3,顶点坐标为(3 , 4).(2) 直线l将线段AB分成1 ： 3两部分， 1 经过点(2 , 0)或(4 , 0).，0=2k5 或 0=4k 5.，k=52 或 k = 54.例4答图

30、(3)如答图，设P(x, x2 + 6x 5)是抛物线位于直线1 上方的一点.解方程组 y = 2x 5, y= x2 + 6x 5.解得 x = 0, y=5 或 x = 4, y = 3.不妨设(0 , 5) , N(4, 3), 0vxv4.过点P作PH，x轴交直线l于点H,则H(x, 2x 5).，PHH - x2+6x-5-(2x -5) = - x2 + 4x.，$ PN 12PH&#8226;xN= 12( - x2 + 4x) X4=-2(x - 2)2 + 8.,/0<x<4, 当x = 2时，艺' PN最大，最大值为8,止匕时P(2, 3).(4

31、)当xw 1或3WxW5时，y随x的增大而增大.当一6+210vkv1时，直线l与图象2有四个交点.针对训练7 (2018 ,保定竞秀区一模，导学号 5892921) 在平面直角坐标系 xy中，抛物线L: y = x2 4x+3与x轴 交于A, B两点(点A在点B的左侧)，顶点为.(1)求点和点 A的坐标；(2)定义"L双抛图形"：直线x=t将抛物线L分成两部 分，先去掉其不含顶点的部分，然后作由抛物线剩余部分关 于直线x=t的对称图形，得到的整个图形称为抛物线L关于直线x=t的"L双抛图形”(特别地，当直线x=t恰好是 抛物线的对称轴时，得到的“L双抛图形”不变

32、).当t=0时，抛物线L关于直线x = 0的“L双抛图形” 如图所示，直线y=3与"L双抛图形”有3个交点；若抛物线L关于直线x = t的"L双抛图形”与直线 y=3恰好有2个交点，结合图象，可知t的取值范围是0vt <4 ;当直线x = t经过点A时，“L双抛图形”如图所示， 现将线段A所在直线沿水平（x轴）方向向右平移，交" L双 抛图形”于点P,交x轴于点Q,满足PQ= A时，求点P的 坐标.训练7题图【思路分析】（1）令y=0,得x2 - 4x+3=0,然后求 得方程的解，从而可得到点A, B的坐标，然后再求得抛物线的对称轴为x=2,最后将x= 2代入可求得点的纵坐标.（2） 抛物线与y轴交点坐标为（0, 3）,然后作由直线y = 3,求 由交点个数即可.将 y=3代入抛物线的解析式求得对应 的x的值，从而可得到直线 y = 3与"L双抛图形”恰好有 3 个交点时t的值，然后结合函数图象可得到“L双抛图形”与直线y=3恰好有2个交点时t的取值范围.先证明四 边形AQP为平行四边形，由此得到点 P的纵坐标为1,然后 由函数解析式可求得点 P的横坐标.解：（1）令 y = 0,得 x2 4x+3=0.解得x = 1或x =