常微分方程练习试卷及答案

1、常微分方程练习试卷、填空题。1 .方程x3 d。+1=0是阶(线性、非线性)微分方程.dt2 .方程二dy = f (xy)经变换,可以化为变量分离方程 .y dx33 .微分万程 驾y2 x =0满足条件y(0) =1,y'(0) =2的解有个.dx4 .设常系数方程y"+ayPy=¥ex的一个特解y*(x) = e2x+ex + xex ,则此方程的系数0 =, P =,尸=.5 .朗斯基行列式W(t)三0是函数组xi(t),x2(t)|,xn(t)在aExMb上线性相关的 条件.6 .方程xydx +(2x2 +3y2 -20)dy = 0的只与y有关的积分因

2、子为 .7 .已知X ' = A(t)X的基解矩阵为 6(t)的，则A(t) =.8 .方程组x '=0 L的基解矩阵为.一0 5dy 33一二xy+y9 .可用变换 将伯努利方程办化为线卜t方程.10 .二1是满足方程y'"+2y” + 5y' + y=1和初始条件 的唯一解.11 .方程丁阳一 J二/的待定特解可取 的形式：12 .三阶常系数齐线性方程y"-2y” + y = 0的特征根是 二、计算题1.求平面上过原点的曲线方程，该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.2.求解方程dy _ x y 7dx x - y 3

3、d2xdx c3 .求解方程xx十（dx）2=0 dt2dt4 .用比较系数法解方程. ：；一；-.5 .求方程y'= y+sin x的通解.22 .6 .验证微分万程(cosxsinx-xy )dx + y(1-x )dy = 0是恰当万程，并求出它的通解.7 .设a = ,' 1 1” =，1,试求方程组dX = AX的一个基解基解矩阵中，求S = AX12 Ml,I-dtdt满足初始条件x(0)的解.8 .求方程dy = 2x-1-3y2通过点(1,0)的第二次近似解.dx9 .求(dy)3.4xydy +8y2 = 0 的通解dx dx2 110.若 A= I /人试求

4、方程组x'= Ax的解中(t),中(0)" = i ,并求expAt1 41勺2三、证明题1 .若6(t),干(t)是X JA(t)X的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C,使得空(t)=6(t)C.2 .设中(x)(a Wx0,xWP)是积分方程y(x) = y° ： 2y( ) d , x0,x ； x0的皮卡逐步逼近函数序列叫(x)在% P上一致收敛所得的解，而5(x)是这积分方程在Ot,P上的连续解，试用逐步逼近法证明：在 邛上中(x)三p(x).3 .设闫都是区间(一电通)上的连续函数，且屣X)W是二阶线性方程U+p(x)y+g 了二。的一个基本解组

5、.试证明：(i) 矶了)和加力都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零)；(ii) 加和炉没有共同的零点；(iii) 和卜口)没有共同的零点.4.试证：如果邛(t)是dX = AX满足初始条件中(t0) = "的解，那么*(t) = exp A(t-t。)” dt答案一.填空题。111.二，非线性 2. u=xy,1du=dx 3. 无穷多 4. 口 =3,p =2,Y = 1u（f（u） 1） x- 2t 0 -I月5.必要 6.y37.叱8.eAt = l： 5t 9. z 二,j° e -10.二二-二厂i 11；“二i士石12. 1, 二二、计算题1

6、.求平面上过原点的曲线方程，该曲线上任一点处的切线与切点和点（1,0）的连线相互垂直.解：设曲线方程为二了（工），切点为（x,y）,切点到点（1,0）的连线的斜率为工-1 ,则由题意 可得如下初值问题：x-1X0) = o分离变量,积分并整理后可得/=-U-l)3+c.代入初始条件可得。二1,因此得所求曲线为。- 1) +y=1 .dy x y -12 .求解万程-=77 .dx x - y 3解：由!'"一1"0,求得 x= -1,y = 2 令x=：T, x -y 3=0y=2,则有 dv=.令 z=2,解得 (1z)dz = J ,积分得 arctan zln

7、(1 + z2) = In |+C ,dt t -n - i+z2t2,故原方程的解为arctan 2= ln (x 1)2(y-2)2C .x 1'd2xdx c3 .求解方程x + (d-)2=0dt2dt以勺=走中也解 令=y,直接计算可得 城 成，于是原方程化为 必舟 x + y =0y=-2/Gt有广°或 右，积分后得工，即由工，所以x=4 + G (。广2c)就是原方程的通解，这里4历为任意常数。4 .用比较系数法解方程. :.解：特征方程为-4八42 = 0,特征根为 士: J Y .对应齐方程的通解为 .1 1 ': 一：+'.设原方程的特解有

8、形如''' 1 .一代如原方程可得 二-，-二-利用对应系数相等可得 U二。,故犬3二d.原方程的通解可以表示为( GGC 是任意常数)旗)=%(。+/ ©= / + 4+c".令y =c(x)ex为原方程的解，即有 c(x) = e*sin x ,. 1所以y = ce -(sin x + cosx)为原方程的通解.5 .求方程y' = y + sin x的通解.解：先解y' = y得通解为y = cex,代入得 c (x)ex c(x)ex = c(x)ex sin x,积分得 c(x) = -1e、(sinx cosx) c ,

9、226 .验证微分万程(cosxsin x -xy )dx + y(1-x )dy = 0是恰当万程，并求出它的通解解：由于M (x, y) =cosxsin x -xy2,N(x, y) = y(1 -x2),因为二M = -2xy =所以原方程为恰当方程 :y二 x把原方程分项组合得 cosxsin xdx -(xy2dx yx2dy) ydy =0,1c 1 cc 1c或与成 d(-sin x)+d(x y )+d(-y ) =0,故原方程的通解为 sin x -x y +y =C.2227 .设A =13 1 1=,试求方程组dX = AX的一个基解基解矩阵6(t),求型=AX：2 4

10、_J1_dtdt满足初始条件x(0)="的解.解：特征方程为 det(A-九E)=-321=(九+2)(九+5)=0, -4-X-2(:二0).可得一个基解矩阵1，(t) = "2 ,ee，5.,又因为,(0) = 1产11 3 J-1.于是，所求的解为(t)=：.：,(t)4，(0) J 3 |Le,5t e"2 e“ 2e$3 卜 _ 4e,t _8 .求方程dy = 2x-1-3y2通过点(1,0)的第二次近似解. dx解：令9°(x)=0 ,于是x.221(x)= y01 2x-1-3 0(x)dx =x -x,2(x) = y0， 2x -1

11、-3 12(x)dx = - - x x2 - x3 - x4 - 3x5, 110259 .求(dy)3-4xydy +8y2 = 0 的通解dx dx®3 8y2x=小4ydy解：方程可化为dxdy n x_ P3 8y2二p x 一 ，令dx 则有 4yp(*),2y( p3 - 4y2)dp p(8y2 p3) =4y2p(*)两边对y求导得dy(p3 -4y2)(2ydp - p) =0即dy由2ydp1p = 02dy 得p = cy2,y = £)2c将y代入(*)得x=c2 学4 c2 ,即方程的 含参数形式的通解为:c2 2p x 二4 c2y = (-)

12、2求得特征值九=-2, % =5,对应兀=-2,九2 = -5的特征向量分别为1322、不y =又由p -4y =0得p = (4y尸代入(*)得y也是方程的解.10.若A= 2_-114试求方程组x'= Ax的解列t),1中(0)" =11 忆并求expAt解:特征方程p(')=1 -42-2-69=02,解得 ,2=3,此时 k=1, n1 = 2。3t 1 tii 1(t)=e3tlz -(A-3E)i | 1mi!一”21二 +t(】- -i3t 1(1二e_ 2 t(- 1由公式expAt =n -1 Je J -(A- E)ii =0 i !expAt =

13、e3t IE t(A-3E)l = e3t厂 1 01 /-11：0 111 3t 1-t t=e3tIL -t三、证明题1 .若6(t),里(t)是X' = A(t)X的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C ,使得空(t)=6(t)C.证：6(t)是基解矩阵，故九t)存在，令X(t) =6,(t)乎(t),则 X(t)可微且 detX(t) #0 ,易知富(t) =O(t)X(t).所以可(t)=中(t)X(t) ：，(t)X (t) = A(t)：，(t)X(t) - ：，(t)X (t) = A(t)'P(t) ：，(t)X (t)而里=A(t)里(t),所以(t)

14、X(t)=0,X'(t) =0, X(t) =C (常数矩阵)，故中(t)=(t)C .2 .设中(x)(a Wxo，xWP)是积分方程x - 2-_.：y(x) = y° . y( ) d ,x0,x 二，-x0的皮卡逐步逼近函数序列鸳(x)在% P上一致收敛所得的解，而5(x)是这积分方程在悭，P上的连续解，试用逐步逼近法证明：在a,P上中(x)三学(x).证明：由题设，有¥(x)三y。x21 () d,x0中 0(x) =y0$(x)三 y。+ 必2叫储)+£dJ Xo,xwa,P, (n=1,2,). x下面只就区间x。ExmP上讨论，对于“ Ex

15、 Mx。的讨论完全一样。x因为|(x) -<p0(x) |< 心2 N代)| + | Dd。E M (x x。)，其中 M =maxx2 N (x) | + |x |,xoxx所以 1yx) - ;i(x)|< (2|1-：( ) - ;o( )|)d <L M( -xo)d =x。x。ML2!(x - x。),Ml n, 一.其中L =maxx ,设对正整数n有W(x)-中n(x)区必L1(x-x0)n，则有x|' (x)- n(x)| ”( 2|一( )一 n()|)dx故由归纳法，对一切正整数k,有ML曲 xo nn 1nx。)% ；!(。广k 1k 1M

16、Lk MLk卜(x)- k(x)|(x - Xo)(- - -).k!k!而上不等式的右边是收敛的正项级数的通项，故当 kT g时，它T。，因而函数序列华n (x)在x。W x宅P上一致收敛于中(x).根据极限的唯一性，即得'''' (x)三-1(x) , x。£ x E ：3.设P闻 都是区间(一电故)上的连续函数，且 砒外即 是二阶线性方程y”+p(i)y+o了二 0的一个基本解组.试证明：(i) 0和弧都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);(ii) 或X)和口(1)没有共同的零点；(iii) 伊,和广没有共同的零点证明：。的和曲)的伏朗斯基行列式为印二我(工)因网和血是基本解组,故即(x)=0 aE (-00,4®).若存在瓦£(一00网，使得 幽)二矶而)二°,则由行列式性质可得取偏)二°，矛盾.即忒工)最多只能有简单零点.同理对弧有同样的性质，故(i)得证.若存在为£卜电*0),使得成瓦)二贝耳)=。,则由行列式性质可得 阳与)二。,矛盾.即 。与口无共同零点.故(ii)得证.若存在而E (-00网，使得矶)=岁()=。,则同样由行列式性质