五年级奥数-第十讲.数论之余数问题.教师版

1、第十讲：数论之余数问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理(加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理)，及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数(bw0)，若有a+b=q r,也就是a=bxq + r,0<r<b;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：(1)当r 0时：我们称a可以被b整除，

2、q称为a除以b的商或完全商(2)当r 0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型 ：日本书如图，这是一堆书，共有 a本，这个a就可以理解为被除数， 现在要求按照b本一捆打包，那么 b就是除数的角色，经过打包后 共打包了 c捆，那么这个c就是商，最后还剩余 d本，这个d就是 余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。、三大余数定理：1 .余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以 c的余数。例如：23 , 16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39 除以5的

3、余数等于4,即两个余数的和 3+1.c的余数。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以例如：23 , 19除以5的余数分别是3和4 ,故23+19=42 除以5的余数等于3+4=7 除以5的余数, 即2.2 .余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23 , 16除以5的余数分别是3和1 ,所以23 X16除以5的余数等于3X1=3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23 , 19除以5的余数分别是3和4,所以23 X19除以5的余数等于3X4除以5的余数，即 2.3 .同余定理若两个整

4、数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：am（mod m）,左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b,模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a, b除以同一个数 m得到的余数相同，则 a, b的差一定能被 m整除用式子表示为：如果有 am（mod m ）,那么一定有 a- b = mk,k是整数,即 m|（a b） 三、弃九法原理：在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本花拉子米算术，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验 方式是这样进行的：例如：检验

5、算式 1234 1898 18922 678967 178902 8899231234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式一定是错的。上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以 9的余数相同。而我们在求一个自然数除以 9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以 9的余数就可以了，在算的时候往往

6、就是一个 9 一个9的找并且划去，所以这种方 法被称作“弃九法”。所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。以后我们求一个整数被 9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以 9的余数都是0,但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题

7、。四、中国剩余定理：1 .中国古代趣题：中国数学名著孙子算经里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人。刘邦茫然而不知其数。我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人, 则兵有多少?首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945 （注：因为5、9、13、17为两两互质的

8、整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3,得9948 （人）。孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来 说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。 中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。2 .核心思想和方法：对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以孙子算经中的问题为例，分析此方法：今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然

9、数分别除以3, 5, 7后，得到三个余数分别为 2, 3, 2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1 ,并且还是5和7的公倍数。先由5 7 35,即5和7的最小公倍数出发，先看 35除以3余2,不符合要求，那么就继续看 5 和7的“下一个”倍数 35 2 70是否可以，很显然 70除以3余1类似的，我们再构造一个除以5余1,同时又是3和7的公倍数的数字，显然 21可以符合要求。最后再构造除以7余1,同时又是3, 5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计 算：2 70 3 21 2 45 k3,5,7233 k3,5,7,其中 k 是从 1 开始的自然数。也就是说满足

10、上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所 求的数。例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，那么我们可以计算2 70 3 21 2 45 2 3,5,723得到所求如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”，我们只要对最小的 23力口上3,5,7即可，即23+105=128。例题精讲:【模块一：带余除法的定义和性质】【例1】（第五届小学数学报竞赛决赛 ）用某自然数a去除1992,得到商是46,余数是r ,求a和r .【解析】因为1992是a的46倍还多r ,得到1992 46 4314,得1992 46 43 14,所以a 43, r

11、14 .【巩固】（清华附中小升初分班考试 ）甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数.【解析】（法1）因为甲乙11 32,所以甲乙乙11 32乙乙12 32 1088；则乙 （1088 32） 12 88 ,甲 1088 乙 1000.（法2）将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从 1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的（11 1）倍，所以得到乙数 1056 12 88,甲数 1088 88 1000.【巩固】一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数。【解析】本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题 一即“不整除问题”

12、转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。本题中310-37=273 ,说明273是所求余数的倍数，而 273=3 X7 X13 ,所求的两位数约数还要满足比37大，符合条件的有 39, 91.【例2】（2003年全国小学数学奥林匹克试题）有两个自然数相除，商是 17,余数是13,已知被除数、除数、商与余数之和为 2113,则被除数是多少？【解析】被除数 除数 商 余数 被除数 除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083 ,由于被除数是除数的17倍还多13,则由“和倍问题”可得：除数 =（2083

13、-13 ） + （17+1 ） =115 ,所以被除数=2083-115=1968.【巩固】用一个自然数去除另一个自然数，商为 40,余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933,求这2个自然数各是多少？【解析】本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为x,y,可以得到x 40y 16x y 40 16 933，解方程组得856,即这两个自然数分别是21856 , 21.【例3】(2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001,它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是 , , 。【解析】设所得的商为a,除数为b. (19

14、a b) (23a b) (31a b) 2001, 73a 3b 2001,由b 19,可求得a 27, b 10.所以，这三个数分别是 19a b 523, 23a b 631, 31a b 847。【巩固】(2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数，除以 11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是 .【解析】设这个自然数除以11余a(0 a 11),除以9余b(0 b 9),则有11a a 9 3b b ,即3a 7b,只有a 7, b 3,所以这个自然数为12 7 84。【例4】(1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小

15、朋友，已知第二组比第一组多5人.如果把书全部分给第一组，那么每人 4本，有剩余；每人 5本，书不够.如果把书全分给 第二组，那么每人 3本，有剩余；每人 4本，书不够.问：第二组有多少人？【解析】由48 4 12, 48 5 9.6知，一组是10或11人.同理可知48 3 16, 48 4 12知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多 5人，所以二组只能是 15人，一组10人.【巩固】一个两位数除以13的商是6,除以11所得的余数是6,求这个两位数.【解析】因为一个两位数除以13的商是6,所以这个两位数一定大于 13 6 78,并且小于13 (6 1) 91;又因为这个两位数除以11余6

16、,而78除以11余1,这个两位数为78 5 83.【模块二：三大余数定理的应用】【例5】 有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数 .【解析】这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数.101 45 56, 59 45 14, (56,14) 14, 14的约数有1,2,7,14 ,所以这个数可能为 2,7,14 。【巩固】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.【解析】（法1） 39 3 36, 147 3 14

17、4, （36,144） 12, 12的约数是1,2,3,4,6,12 ,因为余数为3要小 于除数，这个数是4,6,12 ;（法2）由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数.51 39 12, 147 39 108, （12,108） 12,所以这个数是4,6,12 .【巩固】在小于1000的自然数中，分别除以 18及33所得余数相同的数有多少个 ?（余数可以为0） 【解析】我们知道18 , 33的最小公倍数为18 , 33=198 ,所以每198个数一次.1198之间只有1, 2, 3,，17, 198（余O）这18个数除以18及33所得

18、的余数相同，而999 +198=59,所以共有 5X18+9=99 个这样的数.【巩固】（2008年仁华考题）一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于 它除以19后所得到的商与余数的和.那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？【解析】 设这个三位数为s,它除以17和19的商分别为a和b,余数分别为m和n,则s 17a m 19b n .根据题意可知 a m b n,所以s a ms b n ,即16a 18b,得8a 9b.所以a是9的倍数，b是8的倍数.此时，由 a m b n知n m a b a -a - a . 99由于s为三位数，最小为 100 ,最

19、大为999 ,所以100 17a m 999 ,而1 m 16,所以 17a 1 17a m 999, 100 17a m 17a 16,得至 U 5 a 58,而 a 是 9 的倍数，所以 a最小为9,最大为54 .1当a 54时，n m -a 6,而n 18,所以m 12,故此时s最大为17 54 12 930; 91当a 9时，n m 1a 1 ,由于m 1 ,所以此时s最小为17 9 1 154 .9所以这样的三位数中最大的是930 ,最小的是154 .【例6 两位自然数ab与ba除以7都余1,并且a b ,求ab ba .【解析】ab ba能被7整除，即（10a b） （10b a）

20、 9（ab）能被7整除.所以只能有a b7,那么Ob可能为92和81 ,验算可得当ab 92时，ba29满足题目要求，ab ba 92 292668【巩固】学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级， 那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班？【解析】 所求班级数是除以118,67,33余数相同的数.那么可知该数应该为118 67 51和67 33 34的公约数，所求答案为17.【巩固】（2000年全国小学数学奥林匹克试题）在除13511 , 13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是.【解析】因为 13903 13511 392

21、,14589 13903 686,由于13511 ,13903 ,14589要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除.（392,686） 98 ,所以所求的最大整数是98.【例7】（2003年南京市少年数学智力冬令营试题）22003与20032的和除以7的余数是.【解析】找规律.用7除2,22,23,24,25,26,的余数分别是2, 4 , 1 , 2, 4, 1 , 2 , 4, 1 ,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1 ; 2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2; 2 的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4.因为2 2003 2 3 667 2,所以22

22、003除以7余4.又两 2 个数的积除以7的余数，与两个数分别除以 7所得余数的积相同.而2003除以7余1 ,所以20032 除以7余1 .故22003与20032的和除以7的余数是4 1 5.【巩固】（2004年南京市少年数学智力冬令营试题）在1995, 1998, 2000, 2001 , 2003中，若其中几个数的和被9除余7,则将这几个数归为一组.这样的数组共有 组.【解析】1 995, 1998 , 2000 , 2001 , 2003除以9的余数依次是 6, 0, 2, 3, 5.因为2 5 2 5 0 7253602536791998,2000,2003所以这样的数组共有下面

23、4个：2000,2003 ,2000,2003,2001,1995 , 1998,2000,2003,2001,1995 .例8 （2005年全国小学数学奥林匹克试题 ）有一个整数，用它去除 70, 110, 160所得到的3个余数 之和是50,那么这个整数是 .【解析】（70 110 160） 50 290, 50 3 162,除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58, 110 58 152, 52 50 ,所以除数不是 58 .70 29 212, 110 29 323, 160 29 515, 12 23 15 50,所以除数是 29【巩固】（2002年全国小学数学奥

24、林匹克试题）用自然数n去除63, 91, 129得到的三个余数之和为25,那么n=【解析】n能整除63 91 129 25 258.因为25 3 8.1,所以n是258大于8的约数.显然，n 不能大于63 .符合条件的只有 43 .【巩固】号码分别为101,126,173,193 的4个运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们号码 的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘？【解析】 本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算 101 , 126 ,173 ,193除以3的余数分别为2, 0,2.1。 那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2, 0, 2, 1两两相加除以3即可

25、。显然126运动员打5盘是最多的。【例9】（2002年小学生数学报数学邀请赛试题）六名小学生分别带着 14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买成语大词典.一看定价才发现有 5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买 2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本.这种成语大词典的定价是 元.【解析】六名小学生共带钱133元.133除以3余1,因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，所以他们五人带的钱数是 3的倍数，另一人带的钱除以3余1 .易知，这个钱数只能是37元，所以每本成语大词典的定价是 (14 17 18 21 26) 3 32 (元).【巩固】

26、(2000年全国小学数学奥林匹克试题)商店里有六箱货物，分别重 15, 16, 18, 19, 20, 31千克，两个顾客买走了其中的五箱.已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是 千克.【解析】两个顾客买的货物重量是3的倍数.(15 16 18 19 20 31) (1 2) 119 3 392 ,剩下的一箱货物重量除以3应当余2 ,只能是20 千克.【例10】求2461 135 6047 11的余数.【解析】 因为 2461 11 223.8, 135 11 12.3, 6047 11 549.8,根据同余定理(三)， 2461 135 6047 11的余数

27、等于8 3 8 11的余数，而8 3 8 192,192 11 17.5,所以 2461 135 6047 11 的余数为 5.【巩固】(华罗庚金杯赛模拟试题)求478 296 351除以17的余数.【解析】先求出乘积再求余数，计算量较大.可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数.478,296,351除以17的余数分别为 2, 7和11 , (2 7 11) 17 9.1 .【巩固】 求31997的最后两位数.【解析】 即考虑31997除以100的余数.由于100 4 25,由于33 27除以25余2,所以39除以25余8, 310除以25余24 ,那么320除以25余

28、1 ;又因为32除以4余1 ,则320除以4余1 ;即320 1能 被4和25整除，而4与25互质，所以320 1能被100整除，即320除以100余1 ,由于 1997 20 99 17,所以31997除以100的余数即等于317除以100的余数，而36 729除以100 余29, 35 243除以100余43, 317 (36)2 35,所以317除以100的余数等于29 29 43除以100的余数，而29 29 43 36163除以100余63,所以31997除以100余63,即31997的最后两位数为63.【巩固】222 2除以13所得余数是 .2000个"2"【解

29、析】 我们发现222222整除13 , 2000抬余2,所以答案为22 +13余9。【巩固】求14389除以7的余数.【解析】法一：由于 143 3 mod 7 （143 被 7 除余 3）,所以14389 389 mod7 （14389被7除所得余数与389被7除所得余数相等）而 36 729 , 729 1 mod7 （729 除以 7 的余数为 1）,8966655所以 334424 4g 335 mod 7.14个故14389除以7的余数为5.法二：89 .计算3被7除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表：31323334353637Lmod73264513L于是余数以6为周期变化

30、.所以389 35 5 mod7【巩固】（2007年实验中学考题）12 22 32 L 20012 2002除以7的余数是多少？o o oo o 2002 2003 4005【解析】 由于 123 L 20012002 1001 2003 1335 ,而 1001 是 7 的倍6数，所以这个乘积也是7的倍数，故12 22 32 L20012 20022除以7的余数是0;【巩固】3130 3031被13除所得的余数是多少？【解析】31被13除所得的余数为5,当n取1 , 2, 3, L时5n被13除所得余数分别是 5,12,8,1, 5, 12, 8, 1L以4为周期循环出现，所以 530被13

31、除的余数与52被13除的余数相同，余12, 则3130除以13的余数为12 ;30被13除所得的余数是4,当n取1 , 2, 3, L时，4n被13除所得的余数分别是 4, 3, 12 , 9, 10, 1 , 4, 3, 12 , 9, 10 , L L以6为周期循环出现，所以 431被13除所得的余数等于 41被 13除所得的余数，即4,故3031除以13的余数为4;所以3130 3031被13除所得的余数是12 4 13 3.【巩固】（2008年奥数网杯）已知a 20082P28L 4?0g8，问：a除以13所得的余数是多少？ 20082008【解析】2 008 除以 13 余 6, 1

32、0000 除以 13 余 3,注意至U 20082008 2008 10000 2008;200820082008 20082008 10000 2008;2008200820082008 200820082008 10000 2008; L L根据这样的递推规律求出余数的变化规律：20082008 除以 13 余 6 3 6 13 11 , 200820082008 除以 13 余 11 3 6 39 0 ,即 200820082008 是 13 的倍数.而2008除以3余1 ,所以a 20484008L ?008除以13的余数与2008除以13的余数相同，为6.20082008【巩固】17

33、72 437除以41的余数是多少？1996个 7【解析】找规律：7 41 口 7 , 77 41 36, 777 41 39, 7777 41 28 ,77777 41 0 ,，所以77777是41的倍数，而1996 5 399L 1 ,所以7472 477可以1996 个 7分成399段77777和1个7组成，那么它除以 41的余数为7 .【巩固】11 22 33 44 L L20052005除以10所得的余数为多少？【解析】 求结果除以10的余数即求其个位数字.从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，20而对一个数的哥方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的

34、个位数按每个（20是4和10的最小公倍数）一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的.首先计算11 22 33 44 L L 2020的个位数字，为 1 4765636901636567490 94 的个位数字，为 4,由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是 4 100 400的个位数即0, 20012002200320042005另外5个数为2001、2002、2003、2004、2005,它们和的个位数字是1 4 7 6 5 23的个位数3,所以原式的个位数字是3,即除以10的余数是3.【例11【解析】求所有的质数P,使得4p2 1与6p2 1也是质数.如果p

35、5,则4p2 1 101 , 6p2 1 151都是质数，所以5符合题意.如果 P不等于5,那么P 除以5的余数为1、2、3或者4,p2除以5的余数即等于12、22、32或者42除以5的余数，即1、4、9或者16除以5的余数，只有1和4两种情况.如果p2除以5的余数为1 ,那么4p2 1 除以5的余数等于4 1 1 5除以5的余数，为0,即此时4p2 1被5整除，而4p2 1大于5, 222所以此时4p 1不是质数；如果 p除以5的余数为4,同理可知6p 1不是质数，所以P不等 于5, 4p2 1与6p2 1至少有一个不是质数，所以只有p 5满足条件.在图表的第二行中，恰好填上8998这十个数

36、，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所因数89909192939495969798因数得的余数都是3.因为两个数的乘积除以11的余数，等于两个数分别除以11的余数之积.因此原题中的8998可以改换为110,这样上下两数的乘积除以进而得到本题的答案是:因数89909192939495969798因数3719562104811余3就容易计算了.我们得到下面的结果:因数89909192939495969798因数91958997939490989296【巩固】(2000年“华杯赛”试题)3个三位数乘积的算式 abc bca cab 234235286 (其中a b c),在 校对时，发现右边的积

37、的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是正确的，问原式中的abc是多少？【解析】 由于 234235286 234235286 8(mod9) , abc bca cab (a b c)3(mod9), 于是(a b c)3 8(mod9),从而(用a b c 0,1,2,8(mod9)代入上式检验)abc 2,5,8(mod9),对a进行讨论：如果a 9 ,那么b c 2,5,8(mod9)(2),又c a b的个位数字是6,所以b c的个位数字为4,bc可能为4 1、72、83、64,其中只有(b,c) (4,1),(8,3)符合(2),经检验只有 983 839 398 32824532

38、6 符合题意.如果a 8,那么b c 3,6,0(mod9)(3),又b c的个位数字为2或7,则b c可能为2 1、4 3、6 2、7 6、7 1,其中只有(b,c) (2,1)符合(3),经检验，abc 821不合题意.如果a 7,那么b c 4,7,1(mod9)(4),则b c可能为4 2、6 3,其中没有符合(4)的(b,c).如果 a 6 ,那么 b 5, c 4 , abc bca cab 700 600 500 210000000 222334586 ,因此这时abc不可能符合题意.综上所述，abc 983是本题唯一的解.【例12】一个大于1的数去除290, 235, 200时

39、，得余数分别为a, a 2, a 5,则这个自然数是多少？【解析】根据题意可知，这个自然数去除290 , 233 ,195时，得到相同的余数(都为 a).既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0.那么这个自然数是290 233 57的约数，又是233 195 38的约数，因此就是57和38的公约数，因为57和38的公约数只有19和1 ,而这个数大于1,所以这个自然数是19.【巩固】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？【解析】 这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然

40、数去除90 164 254后所得的余数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是 254 220 34的约 数，又大于10 ,这个自然数只能是 17或者是34 .如果这个数是34，那么它去除90、164、220 后所得的余数分别是 22、28、16,不符合题目条件；如果这个数是 17,那么他去除90、164、 220后所得的余数分别是 5、11、16,符合题目条件，所以这个自然数是 17 .【例13】甲、乙、丙三数分别为603, 939, 393.某数A除甲数所得余数是 A除乙数所得余数的 2倍，A 除乙数所得余数是 A除丙数所得余数的2倍.求A等于多少？【解析】根据

41、题意，这三个数除以A都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：603 A K1L L1939 AK2LL2393 AK3LL3由于1 2r2,2 2r3,要消去余数1,2,r3,我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减.这样我们先把第二个式子乘以2,使得被除数和余数都扩大 2倍，同理，第三个式子乘以4.于是我们可以得到下面的式子：603 A K1L L1 939 2 A 2K2L L 22393 4 A 2K3L L 43这样余数就处理成相同的. 最后两两相减消去余数，意味着能被A整除.939 2 603 1275, 393 4 603 969, 1275,96951 3 17 .51的

42、约数有1、3、17、51 ,其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以A等于17 .【巩固】一个自然数除429、791、500所得的余数分别是 a 5、2a、a,求这个自然数和 a的值.【解析】 将这些数转化成被该自然数除后余数为2a的数：429 5 2 848 , 791、500 2 1000,这样这些数被这个自然数除所得的余数都是2a,故同余.将这三个数相减，得至IJ 848 791 57、1000 848 152 ,所求的自然数一定是 57和152的公约数， 而57,152 19,所以这个自然数是19的约数，显然1是不符合条件的，那么只能是 19.经过验 证，当这个自然数是

43、19时，除429、791、500所得的余数分别为11、12、6 , a 6时成立，所 以这个自然数是19, a 6.【模块三：余数综合应用】【例14】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21这串数列当中第 2008个数除以3所得的余数为多少？【解析】斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0第九项和第十项连续两个是 1 ,与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于 2008除以8的余数为0,

44、所以第2008项被3除所得 的余数为第8项被3除所得的余数，为0.【巩固】（2009年走美初赛六年级）有一串数： 1, 1, 2, 3, 5, 8,，从第三个数起，每个数都是 前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是 5的倍数？【解析】由于两个数的和除以 5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以 5的余数.所以这串数除以 5的余数分别为：1, 1 , 2, 3, 0, 3, 3, 1 , 4, 0, 4, 4, 3, 2, 0, 2, 2, 4,1,0, 1,1, 2, 3,0,可以发现这串余数中，每 20个数为一个循环，且一个循环中， 每5个数中第五个数是 5的倍数.由于2009

45、 5 401L 4,所以前2009个数中，有401个是5 的倍数.【例15（圣彼得堡数学奥林匹克试题 ）托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以 3、6和9的余数.现 知这三余数的和是 15 .试求该数除以18的余数.【解析】除以3、6和9的余数分别不超过 2, 5, 8,所以这三个余数的和永远不超过2 5 8 15,既然它们的和等于15,所以这三个余数分别就是 2, 5, 8.所以该数加1后能被3, 6, 9整除，而3,6,918 ,设该数为a,则a 18m 1,即a 18(m 1) 17 (m为非零自然数)以18的余数只能为17 .【巩固】（2005年香港圣公会小学数学奥林匹克试题）一个家

46、庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是 3的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是100,父亲岁数最大，问：母亲是多少岁？【解析】从任意三人岁数之和是 3的倍数，100除以3余1,就知四个岁数都是 3k 1型的数，又是质数.只有7, 13 , 19 , 31 , 37, 43 ,就容易看出：父 43岁，母37岁，兄13岁，妹7岁.【例16】（华杯赛试题）如图，在一个圆圈上有几十个孔 （不到100个），小明像玩跳棋 那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回 到A孔.他先试着每隔 2孔跳一步，结果只能跳到 B孔.他又试着每隔 4孔跳一步，也只能跳到

47、B孔.最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到 A孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？【解析】设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A孔编号为1 ,然后沿逆时针方向顺次编号为2, 3, 4,，B孔的编号就是圆圈上的孔数.我们先看每隔2孔跳一步时，小明跳在哪些孔上 ？很容易看出应在1, 4, 7, 10,上，也就是说，小明跳到的孔上的编号是 3的倍数加1 .按题意，小明最后跳到 B孔，因此总孔数是 3的倍数加1 .同样道理，每隔4孔跳一步最后跳到 B孔，就意味着总孔数是 5的倍数加1 ;而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔，就意味着总孔数是 7的倍数.如果将孔数减1,那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的

48、倍数.这个15的倍数加上1就等于孔数，设孔数为 a,则a 15m 1（ m为非零自然数）而且 a能被7整除.注意15被7 除余1,所以15 6被7除余6, 15的6倍加1正好被7整除.我们还可以看出，15的其他（小于的7）倍数加1都不能被7整除，而15 7 105已经大于100 . 7以上的倍数都不必考虑，因此,总孔数只能是15 6 1 91.【巩固】( 1997年全国小学数学奥林匹克试题)将12345678910111213.依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以 9的余数是 .【解析】 本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和.19共有9个数字，1099

49、共有90个两位数，共有数字：90 2 180 (个)，100999共900个三位数，共有数字：900 3 2700 (个)，所以数连续写，不会写到999，从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，(1997 9 180) 3 602.2 ,即有602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十位.从100开始的第602个三位数是701 ,第603个三位数是9,其中2未写出来.因为连续 9个自然数之和能被 9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是：702 9 78 (组)，依次排列后，它仍然能被 9整除，但702中2未写出来，所以余数为9-2 7 .【例17】设2

50、n 1是质数，证明：12, 22,，n2被2n 1除所得的余数各不相同.【解析】假设有两个数a、b, (1 b a n),它们的平方a2, b2被2n 1除余数相同.那么，由 同余定理得 a2 b2 0(mod(2n 1),即(a b)(a b) 0(mod(2 n 1),由于 2n 1 是质数，所以 a b 0(mod(2n 1)或 a b 0(mod(2n 1),由于 a b , a b 均小于 2n 1 且大于 0,可知，a b 与2n 1互质，a b也与2n 1互质，即a b, a b都不能被2n 1整除，产生矛盾，所以假设 不成立，原题得证.【巩固】试求不大于100,且使3n 7n

51、4能被11整除的所有自然数 n的和.【解析】 通过逐次计算，可以求出 3n被11除的余数，依次为：31为3, 32为9, 33为5, 34为4, 35为1,，因而3n被11除的余数5个构成一个周期：3, 9, 5, 4, 1 , 3, 9, 5, 4, 1 ,；类似地， 可以求出7n被11除的余数10个构成一个周期：7, 5, 2, 3, 10 , 4, 6, 9, 8, 1 ,； 于是3n 7n 4被11除的余数也是10个构成一个周期：3, 7, 0, 0, 4, 0, 8, 7, 5, 6,; 这就表明，每一个周期中，只有第3、4、6个这三个数满足题意，即 n 3,4,6,13,14,16

52、,.,93,94,96 时 3n 7n 4 能被 11 整除，所以，所有满足条件的自然数 n的和为:3 4 6 13 14 16 . 93 94 96 13 43 . 283 1480.【巩固】若a为自然数，证明10(a2005 a1949).【解析】10 2 5 ,由于a"与a1949的奇偶性相同，所以2 (a2005 a1949).a2005 a1949 a1949 (a56 1),如果a能被5整除，那么5 a1949 (a56 1)；如果a不能被5整除，那么a 被5除的余数为1、2、3或者4, a4被5除的余数为14、24、34、44被5除的余数，即为1、 16、81、256被

53、5除的余数，而这四个数除以 5均余1 ,所以不管a为多少，a4被5除的余数 为1,而a56 (a4)14,即14个a4相乘，所以a56除以5均余1 ,则a56 1能被5整除，有 5a1949 (a56 1) .所以 5(a2005 a1949).由于2与5互质，所以10 (a2005 a1949).【例18设n为正整数，k 2004n, k被7除余数为2, k被11除余数为3,求n的最小值.【解析】2004被7除余数为2,被11除余数也为2,所以2n被7除余数为2,被11除余数为3.由于21 2被7除余2,而23 8被7除余1 ,所以n除以3的余数为1 ;由于28 256被11除余3, 210

54、 1024被11除余1 ,所以n除以10的余数为8.可见n 2是3和10的公倍数，最小为 3,10 30,所以n的最小值为28.【巩固】有三个连续自然数，其中最小的能被 15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，请写 出一组这样的三个连续自然数.【解析】设三个连续自然数中最小的一个为n,则其余两个自然数分别为n 1, n 2.依题意可知：15|n, 17| n 1 , 19| n 2 ,根据整除的性质对这三个算式进行变换：15|n15|2n15|2n1517| n 117 | 2n 217|2n1515,17,19| 2n 1519| n 219 | 2n 419|2n15从上面可以发

55、现 2n 15应为15、17、19的公倍数.由于15,17,19 4845 ,所以 2n 15 4845 2k 1 （因为 2n 15是奇数），可得 n 4845k 2415. 当 k 1时 n 2430, n 1 2431, n 2 2432,所以其中的一组自然数为 2430、2431、2432 .【例19】（2008年西城实验考题）从1, 2, 3,n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差 为13,则n的最大值为多少？【解析】 被13除的同余序列当中，如余 1的同余序列，1、14、27、40、53、66,其中只要取到两 个相邻的，这两个数的差为13;如果没有两个相邻的数，则没有两个数的差为13 ,不同的同余序列当中不可能有两个数的差为13,对于任意一条长度为x的序列，都最多能取 x t个数，使得取出的数中没有两个数的差为13,即从第1个数起隔1个取1个.基于以上，n个数分成13个序列，每条序列的长度为口或2 1,两个长度差为1的序列，1313要使取出的数中没有两个数的差为13,能够被取得的数的个数之差也不会超过1,所以为使57个数中任意两个数的差都不等于13,则这57个数被分配在13条序列中，在每条序