多项式除以多项式

1、多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式一般用竖式进行演算(1)把被除式、除式按某个字母作降嘉排列，并把所缺的项用零补齐.(2)用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项.(3)用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面(同类项对齐)，消去相等项，把不相等的项结合起来.(4)把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止.被除式 =除式X商式+余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如

2、下：例 1 计算(x2 9x 20) (x 4)规范解法(x2 9x 20) (x 4) x 5.解法步骤说明：2(1)先把被除式x9x 20与除式x 4分别按字母的降嘉排列好.222(2)将被除式x9x 20的第一项x除以除式x 4的第一项x,得x x x,这波商的第一项.(3)以商的第一项x与除式x 4相乘，得x2 4x,写在x2 9x 20的下面.(4)从x2 9x 20减去x2 4x ,得差5x 20,写在下面，就是被除式去掉 x2 4x后的一部分.(5)再用5x 20的第一项5x除以除式的第一项x ,得5x x 5,这是商的第二项，写在第一项 x的后 面，写成代数和的形式.(6)以商

3、式的第二项 5与除式x 4相乘，得5x 20,写在上述的差5x 20的下面.(7)相减得差0,表示恰好能除尽.(8)写出运算结果，(x2 9x 20) (x 4) x 5.例 2 计算(6x5 9x4 7x2 20x 3) (2x2 x 5).规范解法(6x5 9x4 7x2 20x 3) (2x2 x 5)3x3 3x2 6x 1 余 9x 2.注遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；余式的次数应低于除式的次数.另外，以上两例还可用分离系数法求解.如例 2.(6x5 9x4 7x2 20x 3) (2x2 x 5)323x 3x 6x 1余 9x 2.8.什么是综合除法？由前面的问题4我们

4、知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊.如：计算（2x3 3x 4） （x 3）.因为除法只对系数进行，和 x无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）.还可以再简化.方框中的数 2、6、21和余式首项系数重复，可以不写.再注意到，因除式的首项系数是1,所以余式的首项系数 6、21与商式的系数重复，也可以省略.如果再把代数和中的“十”号省略，除式的首项系数也 省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4）,再将算式（4）中的除数一3换成它的相反数3,减法就化为 了加法，于是得到算式（5）.其中最下面一行

5、前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数.多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1.例1用综合除法求x4 3x3 3x2 3x 12除以x 1的商式和余式.规范解法;商式 x3 2x2 x 2,余式=10.例2用综合除法证明2x5 15x3 10x2 9能被x 3整除.规范证法这里x 3 x （ 3）,所以综合除法中的除数应是 3.（注意被除式按降嘉排列，缺项补 0.）因余数是0,所以2x5 15x3 10x2 9能被x 3整除.当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法.例3求2x3 x 7除以2x 1的商式和余数.1规范解法把2

6、x 1除以2,化为x 一，用综合除法.223.2倍，应当除以2才是所求的商但是，商式 2x x 一,这是因为除式除以2,被除式没变，商式扩大了2式；余数没有变.-2 133一商式 x x ,余数7 一.2 44为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下.3 1233用2x3 x 7除以x 一,得商式2x2 x 一,余数为 7一,即2734._ 31c 232x x 3 x 2x x 222x 1 x2 lx 旦73.24432 133即2x x 3除以2x 1的商式 x 一 x ，余数仍为 7.244综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具

7、。综合除法和余数定理 在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。、综合除法一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式 f(x)除以除式g(x),(g(x) 0)得商式 q(x)及余式r(x)时,就有下列等式：f(x) g(x) q(x) r(x)。其中r(x)的次数小于g(x)的次数，或者r(x) 0。当r(x) 0时，就是f(x)能被g(x)整除。下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算一一综合除法。例1、用综合除法求2x4 14x 4 7x3除以x 2所得的商和余式。270144 2解:4612482362-8余式商的各项的系数(2x4

8、 14x 4 7x3) (x 2)的商是 2x3 3x2 6x 2,余式是 8。上述综合除法的步骤是：(1)把被除式按降嘉排好，缺项补零。(2)把除式的第二项-2变成2,写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。(3)把被除式的第一项的系数 2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。(4)用2乘商的第一项的系数 2,得4,写在被除式的第二项的系数 -7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。(5)用2乘商的第二项的系数-3,得-6 ,写在被除式的第三项的系数 0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数 -6 o(6)用2乘商的第三项的系数-6,得-12 ,写在被除式的第四项的系数 14的下面，同1

9、4相加，得到商的第三项系数 2。(7)用2乘商的常数项2,得4,写在被除式的常数项 4的下面，同4相加，得到余式8。前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形。如果除式是一次式，但一次项系数不是1,能不能利用综合除法计算呢？例2、求(3x310x223x 16) (3x 2)的商式q和余式r。2解：把除式缩小3倍，那么商流扩大 3倍，但余式不变。因此先用 x 一去除被除式，再把所得的商缩小 3倍3即可。 2 Q=x 4x 5,R=6o下面我们将综合除法做进一步的推广，使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综合除法来求商和余例3、用综合除法求(3x4 7x3 1 1x210x 4) (

10、x2 3x 2)的商Q和余式R。解:3711966104 32432323212Q=3x2x 5, R=3x 2。二、余数定理余数定理又称裴蜀定理。它是法国数学家裴蜀(17301783)发现的。余数定理在研究多项式、讨论方程方面有着重要的作用。余数定理：多项式f(x)除以x a所得的余数等于f (a)。略证：设 f (x) Q(x) (x a) R将x=a代入得f(a) Ro例4、确定m的值使多项式f (x) x5 3x4 8x3 1 1x m能够被x-1整除。解：依题意f(x)含有因式x-1，故f(1) 0。 1 3 + 8 + 11 + m = 0 o 可得 m = - 17。求一个关于x

11、的二次多项式，它的二次项系数为1,它被x-3除余1,且它被x-1除和被x-2除所得的余数相同解：设 f(x) x2ax b. f(x)被 x 3 除余 1, . . f (3) 9 3a b 1f(x)被x 1除和x 2除所得的余数相同，：f (1) ”2)即1 a b 4 2ab由得a 3 ,代入得b 1f(x) x2 3x 1 0注：本例也可用待定系数法来解。同学们不妨试一试。即：x2 ax b(x1)(x m)R(x 2)(xn) R(x3)(x p) 1由(x 1)(x m)R(x 2)(xn)R,可得 m 2,n1再由(x 2)(x 1) R (x 3)(x p) 1 ,解得 p 0

12、。f(x) x2 3x 1o练习：1、综合除法分别求下面各式的商式和余式。(1) (3x4 4x35x2 6x7)(x2)；(2) (x5 6x49x3 14x8)(x4)；32(3) (x (a bc)x(ab bcca)xabc) (xa)；(4) (9x45x2y2 8y48xy3 18x3y) (3x 2y)；(6) (x6 x512x37x) (x3 3x2 5x 2)2、一个关于x的二次多项式f (x),它被x-1除余2,被x-3除余28,它可以被x+1整除，求f (x) o3、一个整系数四次多项式f (x),有四个不同的整数 1, 2, 3, 4，可使f( 1) 1, f ( 2

13、) 1,f( 3) 1, f ( 4) 1,求证：任何整数都不能使f( )1 0综合除法：当除式g(x)=x a时，我们介绍综合除法去求商式、余式。【范例】：设f(x)=2x4+x2 5x, g(x)= x 2,求f(x)除以g(x)的商式、余式。解：2x4+x2 5x=(2x 3 +4x 2 +9x+23)(x 2)+46综合除法的原理：设 f (x)= a3x3+a2x2+a1x+a。，g(x)= x b,若存在商式 q(x)= c2x2+c1x+c。，余式 r(x)2d。0150由除法的定义：(a3x3+a2x2+a1x+a0)=( C2x2+cx+c0)( x b)+ da3c2c2a

14、3()48184624923 , 46a2QbgCia2c2b商式，绘式经比较系数可得：2aGbCoCoaGbf (x)a3a2a1aoaocob ddaocobb()c2bGbcob上面的关系可写成以下的形式：a3a2c2 baGb,aoCob当f(x)除以g(x)=ax+b时，我们也可利用综合除法求余式r(x)、商式q(x)。由除法的定义：f(x)=(ax+b) q(x)+ r(x)=( x+) aqqx)x) r(x)诙先利用综昏1除法求出 cx)除以(x+)的闻式q/(x)=aqrxx) 与余式r(x),而所要求的商式 q(x)=,余式r(x)不变。余式定理、因式定理除法原理：f(x)

15、=g(x)q(x)+r(x) , degr(x)<degg(x)或 r(x)=0余式定理：多项式f(x)除以x a的余式等於f(a)。有关f(a)的求值我们可以利用 综合除法得到。余式定理推广：多项式f(x)除以ax+b的余式等於f()f(a)的双重意义：(1)多项函数f(x)在x=a的函数值。(2)多项式f(x)除以x a的余式。范例：二次式ax2+bx 4以x+1除之，得余式3,以x 1除之，得余式1,若以x 2除之，所得的余式为。解：f(x)= ax2+bx 4, f(-1)=3且f(1)=1由此解得a与b,再求f(2)=18即为所得。范例：试求 11 5 4 11 4 72 1

16、1 3 56 11 2+15 11+7 之值为。解：f(x)=x 5-4x 4 -72x 3-56x 2 +15x+7利用综合除法求f(11)=51 范例：设二多项式f(x),g(x) 以2x2 3x2除之，余式分别为3x+2, 4x+7,则f(x)+g(x)以2x+1除之，其余式为何?Ans:解：f(x)=(2x 2 3x 2) >p(x)+(3x+2)g(x)=(2x 2 3x 2) >q(x)+(-4x+7)f(x)+g(x)=(2x2 3x 2)(p(x)+q(x)+(-x+9)=(2x+1)(x-2)(p(x)+q(x)+(-x+9)F(x)=f(x)+g(x),F(1)

17、=-(-)+9=22范例：f (x)=2x4+3x3+5x2 6,求 2x 1 除 f(x 3)的余式。解：可令g(x)=f(x 3),再利用余式定理。Ans：范例：求多项式(x 2 +3x+2) 3被x 2 +2x+3除之余式为何？解：x 2 +3x+2=(x 2 +2x+3)+(x-1)(x 2 +3x+2) 3 =(x 2+2x+3)+(x-1)3=(x 2 +2x+3) 3+3(x 2 +2x+3) 2 (x-1)+3(x 2 +2x+3)(x-1) 2 +(x-1) 3求多项式(x 2 +3x+2) 3被x 2 +2x+3除之余式=求多项式(x-1) 3被x2 +2x+3除之余式=1

18、0x+14范例：试求下列各小题：(1)求多项式 f(x)=x7 50x5+8x4 5x3 19x2+41x+6 除以(x 1)( x 7)之余式。 设多项式f(x)不低於2次，以x 1除之余2,以x+2除之余1,则以(x 1)( x+2) 除f(x)的余式为何？(3)设多项式f (x)不低於3次，以x 1除之余3,以x+1除之余1,以x 2除之余2,则求以(x 1)( x+1)( x 2)除f(x)的余式。解：(1)f(x)=x7 50x5+8x4 5x3 19x2+41x+6 除以(x 1)( x 7)也就是 f ( x)= x7 50x5+8x4 5x3 19x2+41x+6 除以 x 2

19、 -8x+7我们可得余式11x-29(2)f(x)=(x-1)(x+2)Q(x)+ax+b由f(1)=2及f(-2)=-1 我们可以解得a=1,b=1我们可得余式x+1f(x)=(x-1)(x+1)(x-2)Q(x)+ax2 +bx+c由 f(1)=3 , f(-1)=1 及 f(2)=-2 我们可以解得 a=-2,b=1,c=4我们可得余式2x2+x+4Ans： (1)11 x 29(2) x+1(3) 2x2+x+4范例：多项式f(x)以x2-3x 4, 2x2 3x+1除之余式各为4x 1, 2x+7,试求f(x)以2x 2 9x+4除之余式为何？解：f(x)=(x 2 -3x 4) &

20、gt;p(x)+4x 1=(x-4)(x+1) xp(x)+4x 1f(x)=(2x2f(4)=15 且 f( )=8 2f(x)=(2x 2 9x+4) xS(x)+ax+b=(x-4)(2x-1)>S(x)+ax+b利用 f(4)=15=4a+b 及 f(1)=8= a+b22我们可解得a=2, b=7,故f(x)以2x2 9x+4除之余式为2x+7范例：多项式f(x)以x(x 1)除之，余式为x+3,以x(x+1)除之余式为3x+3,则f(x)除以x(x 2 1)之余式为何？解：f(x)=x(x 1) >p(x)+( x+3)f(x)=x(x+1) >q(x)+( 3x

21、+3)f(x)=x(x 2 1) >S(x)+ax 2 +bx+c我们有 f(0)=3 , f(1)=2 , f(-1)=6 分别代入 f(x)=x(x 2 1) >S(x)+ax 2 +bx+c。可以解得a=4,b=-2,c=3 ,故f(x)除以x(x 2 1)之余式为4x2 2x+3。范例：多项式f(x)除以x 3得余式16,除以x+4得余式19,则f(x)除以(x 3)(x+4)所得的余式为？Ans： 5x+1范例：多项式f(x)以x2 3x+2除之余式为3,以x2 4x+3除之得余式为3x,则以x2 5x+6除之余式为?Ans： 6x 9范例：以 x 2+2x+3 除 f(

22、x)余 x+12,以(x+1) 2 除 f(x)余 5x+4,则以(x+1)(x 2+2x+3)除 f(x)的余式为？Ans： 6x2 11x 6范例：用(x1)2除x1°+2所得的余式为何？Ans： 10x 7(直接除观察系数规则即可得)范例：以(x+1) 2除x50+1之余式为。Ans：50x 48(直接除观察系数规则即可得)因式定理：设f(x)为一多项式，则x为f(x)的因式f( )=0。证明：因为 f(x)=( x )Q(x)推广：axb为f(x)的因式f()=0范例：因式定理的应用：试问下列何者为 f(x)=4x5+8x4+7x3 22x2 2x+5 的因式？(a)x 1(

23、b)x+2(c)2x 1(d)x 2设f(x)=x4 2x3+4x2+ax+3之一因式为 x 3,求a之值。范例：设f(x)=4x4 11x3+14x2 10x+3,则下列何者为 f ( x)之因式？(A) x+1(B)4 x+3(C)4 x 3(D)3 x 2(E) x 1Ans : (C)(E)范例： 若 f(x)=x3 5x2+mx+n 有因式 x2+x 6,则 m+n= ?Ans: 24范例：a,b,c 为整数,0<a<b,若 x c 为 x(x a)( x c) 17 的因式，则(a,b,c)=?Ans： (2,18,1)一次因式检验定理：设 f(x)=2x+3 , g(

24、x)=5x 2 x+7, h(x)=f(x)g(x)=10x 3+13x2+11x+21, 10x3 是 2x >5x 2来的，21是3>7来的，因此观察一次式 2x+3|h(x),而2|10 , 3|21 ,这个结果 对於一般整系数的多项式也是成立，我们将它写成下面的定理：定理：设f(x)=a n xn+a n 1x n 1+a 1 x+a0为一个整系数n次多项式，若整系数一次式ax b是f(x)的因式，且a,b互质，则 a|a n且b|a 0。注意：一次因式检验定理的逆叙述不成立。例如：f(x)=3x 3 +5x 2 +4x 2, f( ) 0。由此定理，可知若一次式cx d中

25、c不为an的因数或d不为a 0的因数的话，则cx d必不为f(x)的因式。故只有满足 a|a n且b|a 0的一次式ax b才有可能成为f(x)的因式，因此我们只要从满 足a|a n且b|a 0这些ax b去找一次因式就可以了。范例：求整系数f(x)=3x 3+5x 2+4x 2的整系数一次因式。根据一次因式检验定理，假设ax b为f(x)的一次因式，则a|3且b|2。我们将所有可能的 ax b 组合 x+1,x 1,x+2,x 2,3x+1,3x 1,3x+2,3x 2,再利用综合除法检验看看那一个是f(x)的因式3x 1是f(x)的因式。范例：求f(x)=2x4+5x3 x2+5x 3的一

26、次因式。Ans： 2x 1 与 x+3范例：找出f ( x)=6 x4 7x3+6x2 1的所有整系数一次式。Ans： 2x 1、3x+1定理：设f(x)为整系数多项式，a,b为不同的整数，证明：(a b)|f(a) f(b)。范例：历史学家为了推敲大数学家欧几里得的出生年份，发现在西元前 336年时，流传了一则有趣的故事：那一年 的某一天，欧几里得造了一个整系数的多项式，并兴高采烈的跟旁人说我现在的年龄刚好是这个多项式的一个根。旁人为了想知道欧几里得的年龄，於是将7及一个比7大的整数代入欧几里得的多项式，结果得到77及85的值。这时候欧几里得笑着说： 我的年龄有你代的数那麽小吗？你能根据这些

27、史料推测出欧几里得出生的年份吗？提示：设欧几里得提及的多项式为f(x),而欧几里得有a岁，且f (7)=77 , f(b)=85,且b>7,由例题13可得b 7|f(b) f(7) b 7|8 ,且 7 a|f(7) f(a)=77, b a| f(b) f(a)=85,再根据这些条件，去求得 a的值，a=14,所以欧 几里得出生的年份是西元前350年。最高公因式、最低公倍式定义：设f(x),g(x) 为二多项式，若存在多项式h(x)使得f(x)=g(x) h(x),则称f(x)为g(x)的因式或g(x)为f(x)的倍式。符号：f(x)|g(x)。范例：因为 x 3 1=(x 1)(x

28、2 +x+1),所以 x 1 与 x2 +x+1 均为 x 3 +1 的因式，x3+1 为 x 1 与 x2 +x+1的倍式。.一 一,一311111氾例：因为一xx _=_(x1)(x 2) = (x )(x 1),所以 x+1 , x+2,442 422 21111231x , 一 x 1都是一x x 的因式。 222442注意：由上面两个例子可知，若 f(x)|g(x),则c f(x)|g(x)(c0)。因此就一般而言，只要求出整系数的因式或倍式即可。(2)性质：若设 d(x)|f(x), d(x)|g(x),则 d(x)|m(x)f(x)+n(x) g(x)。公因式与公倍式：若多项式d

29、(x)同时为多项式f(x),g(x) 的因式，则称d(x)为f(x),g(x)的公因式。注意：d(x)=c(c 0)为任何两个多项式的公因式。设d(x)为f(x),g(x) 的公因式，则k d(x)(k0)亦为f(x),g(x) 的公因式，因此我们通常只取一个代表就行了。如果多项式f(x),g(x)除了常数以外，没有其它的公因式，就称它们互质。设f(x),g(x)都是非零多项式，如果m(x)同时是f(x),g(x)的倍式，那麽就称m(x)为f(x),g(x)的公倍式。设m(x)为f(x),g(x)的公倍式，则k m(x)亦为f(x),g(x)的公倍式，因此我们通常只取一个代表就行了。的公因式，g(x),h(x)范例：设 f(x)=4x 2 1,g(x)=4x 2+4x+1,h(x)=2x 2 7x+3。求 f(x),g(x)的公因式。因为 f(x)=(2x+1)(2x1), g(x)=(2x+1)2 , h