(完整word版)三角形全等之手拉手模型、倍长中线、截长补短法、旋转、寻找三角形全等方法归纳总结(可

1、-、手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成,并且顶角的 顶点为公共顶点结论：(1) AABD AAEC (2) Z a +ZB0C=180°例1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形A48O与ABCE ,连结AE与CD,证明(1) ABE = ADBC(2)AE = DCA石与.C之间的夹角为60°(4) SAGB = &DFB(5)EGB = CFB8平分(7)GFH AC4G, CE,二者相交于点H变式精练1：如图两个等边三角形M3.与A8CE,连结AE与CO, 证实1 AABE = ADBC(2) AE=DC(3) AE与.C之间

2、的夹角为60°(4) AE与DC的交点设为H ,BH平分ZAHC变式精练2 :如图两个等边三角形乂8.与BCE ,连结AE 与CD ,证实(1) AABE = SDBC(2) AE = DC(3) AE与0c之间的夹角为60°(4) AE与.C的交点设为平分NAC例2 ：如图,两个正方形ABCD与OEFG ,连结问：(1) AAOGnACO石是否成立？(2) AG是否与CE相等？(3) AG与CE之间的夹角为多少度?(4) “.是否平分NAHE?例3 ：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG ,连结4G, CE,二者相交于点H问：(1) A4OG三ACO石是否成立？(2) A

3、G是否与CE相等？(3) AG与CE之间的夹角为多少度？(4)".是否平分NAHE?例4：两个等腰三角形A48.与MCE,其中AB = BD,CB = EB、ZABD = ZCBE =连结AE与CD ,问：1 AA8E=AD8C是否成立？（2） AE是否与CO相等？?（3） AE与CO之间的夹角为多少度？（4） HB是否平分NAbC?/ / 一一 * H乙-14B二、倍长与中点有关的线段倍长中线类b考点说明：但凡出现中线或类似中线的线段,都可以考虑倍长中线,倍长中线的目的是可以 旋转等长度的线段,从而到达将条件进行转化的目的.【例1】 己知： M8C中,AM是中线.求证：AM <

4、;2 AB + AC.2【练1】在A3C中,AB = 5. AC = 9,那么8C边上的中线AO的长的取值范围是什么？【练2】如下图,在的A3边上取两点E、E,使AE = BF,连接CE、CF ,求证: ACBC>ECFC.【例2】如图,在中,A.是8c边上的中线,E是AO上一点,延长BE交AC 于 F , AF = EF ,求证：ACBE .【练1】如图,在MBC中,A.是8c边上的中线,E是A.上一点,且BE = 4C, 延长8E交AC于尸,求证：AF = EF【练2】如图,在AA8C中,AO交BC于点.,点E是8.中点,七/ AO交CA的延长 线于点E,交AB于点G,假设BG =

5、CF,求证：A.为AA8C的角平分线.【练3】如下图,己知以8.中,AO平分N8AC, E、F分别在8.、AD ±. DE=CD EF=AC.求证：EF / AB【例3】AM为AA8C的中线,ZAMB ,44MC的平分线分别交A8于七、交AC于F .求证：BE+CF>EF .【练1】在RtAABC中,尸是斜边A3的中点,D、E分别在边CA、C3上,满足 NDFE = 90.假设AO = 3, BE = 4,那么线段OE的长度为.【练2】在A48C中,点.为8c的中点,点M、N分别为A8、4c上的点,且MD .(1)假设乙4=90.,以线段8M、MN、CN为边能否构成一个三角形？

6、假设能,该三 角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？(2)如果 BW2 + CN2 = DM2 + DN2 ,求证 (ab2+ac2).【例4】如下图,在AA8C中,A8 = AC,延长A8到.,使E为AB的中点, 连接CE、CD t求证CO = 2EC.【练1】MBC中,48 = AC, 8.为A3的延长线,且8D = /W, CE为AA8C的A8 边上的中线.求证：CD = 2CE全等之截长补短：人数八年级上册课本中,在全等三角形局部介绍了角的平分线的性 质,这一性质在许多问题里都有着广泛的应用,而“截长补短法又是解决这一类问题的一 种特殊方1 .如下图,AA8C中,NC = 900,

7、N8 = 45°, AD 平分N3AC交 BC 于ADo 求证：AB=AC+CDcX如下图,在中,ZB = 60° , AA8C的角平分线AD、CE相交于点O.求证:AE+CD=ACu2 .如下图,己知N1 = N2, P为BN上一点,且尸OJ.8C于D, AB+BC=2BD,求证:N3AP+NBCP=180°.3 .如下图,在 RM4BC 中,AB=AC, NA4c = 90°, ZABD = NCBD, CE垂直于 BD的延长线于Eo求证：BD=2CEq5如下图,在AA8C中,N48C = 90°, AD为N84C的平分线,ZC =30 &

8、#176;, 8 石,4.于 E 点,求证：AC-AB=2BEo6 .如下图,43CD,aABC,NBCO的平分线恰好交于AD上一点 E,求证：BC=AB+CDo7 .如图,E是NAO8的平分线上一点,EC LOA, 足为 C、Do 求证：(1 )OC=OD； (2) DF=CF"三、截长补短问题1:垂直平分线性质定理是问题2 :角平分线性质定理足问题3 :等腰三角形的两个底角.的称：如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边也,一称.问题4 :见到线段的 考虑截长补短,构造全等或等腰转移、转移.然后和 垂新组合解决问胤三角形全等之截长补短一一、单项选择题共4道,每道25分1.如图

9、,BM平分NABC.?为BM上一点.PDXBC于点D, BD=AB*CD.求证：ZBAP+Z5CP=1SO- .在3P和£»尸中Z1 = Z2SP= SP：4RP泣MBP (SAS)/. CD=ED: PD'BC :.PE=PC请你仔细观察卜列序号所代表的内容： .9r平分乙48c,"Nl=/2:；Ni=N2：NA=NBEP：AP=PE：BD = AB + CD ,N3 = ZPCD '：BD = AB+CD ：.SD = BS+SD VZ5P+Z3 = 180° 、, mED=AB + CD.,即=超 + 的：,；&现+/3 =

10、 18.°：,Z3 = ZPCDVZBP+Z3 = 180°/4JP+/HCP 二8b 以上空缺处依次所填最恰当的是()A.©®5.卷C.(gx?) D.(SX)2.如图.5M平分NABC.点P为BX上一点.PD1BC于点D.BD=AB+DC, 求证：ZBAP*Z5CP=1SO,.AD C补短法证实,如图,尸平分/Be在ZXbE尸 fflABDP 中. B8f=8BZ1 = Z26F=R产:ZEPggDP (SAS)在ZEA和&QC中'PE = FD"EA = NFDCABCD工 APE心APDC (SAS)"C=4

11、蕉VZ5JP-ZJ£=1SOC/.Z5JP-Z£CP=1805请你仔细观察卜列序号所代表的内容：延长BA.过点P作PH±BA于点E：延长5A到E,使AE=DC.连接PE：'：BD = BA+CD '：BD = SA+CE>延长BA到E,使DC=AE：即=班+ &2= B£： ©- -BD = BE：.PE = PD, APE A = APDB ：.PE = PD9 APE A = PDBFT) BCFDIRC：.ZFDB = 90°：.ZPDC=9CQ,/E以=90./.ZPZ5 = ZFZC = 90o

12、,“a4=90.l； .乙 FEA = 4FDC：以上空块处依次所填最恰当的是A.®5.C. ；5, D.】匕力3.如图.在五边形 ABCDE 中.AB=AE. AD 平分NCDE ZBAE=2ZCAD.求证：BC*DH=CD.VJDZCZ>£AZ1-Z2在AMO和瓜1£.中AD = ADN1=N2DF=DEjFD丝乙心 <SAS)在ZU8C和AWFC中 ABAFZ<5 = Z5 ACAC：4BE&AFC (SAS) .ac=cr：.BC-DE=CF-DF =CD请你仔细观察卜列序号所代表的内容：在CD上截取CF=CB.连接AF:在DC上

13、截取DF=DE.连接AF:在 DC 上截取 DF=DH： ®AE=AF：AF=AE. Z4=Z3：N4=N3：9：AB = AE：.AB = A：.AB = AF:NBAE = 2ACAD '.'ACAD =Z3+Z6,Z4 ='：ACAD =Z3+Z6 即 N4+N5 = Z3+Z6,/5 = /6:N5 = N6.以上空缺处依次所以最恰当的是('AB=AE：.AB=AF'ZSAS= 2 AC AD.,.ZC£)=Z3+Z6 即 N4+/5 = N3+/8N5 = /6)A.(D®® 5.(豳& D.4.

14、如图.在五边形 ABODE 中,AB=AE. ZBAE=2ZCAD. ZABC+ZAEDzlSO",求证：BC+DE=CD.在ZUBC利中AB-ABZX8C-ZI:AAB33A吓(SAS) 二/A/3-F 在C4D1O"40 中乙AD-AD:&,皿32 <SAS)i?5你仔细观察卜处序号所代表的内容:延长DE到F,使EF=5C.连接AF：延长DE到F,使BC=EF：.ZBC+乙4助=180.Zl+Z£)=180°延长DE到F.连接AF:乙4BC=N1.NBAE=2/CADJ.ACAD =Z2 + Z4 'ZCAD = N2 十 N4

15、= Z3+Z4= Z3+Z4*/ &BC = Z1 即 NC43 = ZFAD：.ACAD = FAD® : ：©：.CD = DF:DF 二口 E+EF'：2? = BC"丽=DSBC：.CD = DF'：DF = DE+EF= DEBC3. BC DE = CD: "C DE = CD:、以上空缺处依次所以最恰当的 足A. 45°C. 90°84,那么NP3P,的度数是四、三角形全等旋转与截长补短专题问题一：题中出现什么的时候,我们应该想到旋转？构造旋转的条件问题二：旋转都有哪些模型？例1如图,P是正/XA

16、BC内的一点,假设将PBC绕点8旋转到2'B. 60°D. 120°例2如图,正方形BAFE与正方形ACGD共点于A,连接3.、CF, 求证：8O=CF并求出NO.的度数.例3如图,正方形A8CO中,ZFAD=ZFAE 0求证：BE+DF =AEo1 .题干中出现对图形的旋转一现成的全等2 .图形中隐藏着旋转位置关系的全等形一找到并利用3 .题干中没提到旋转,图形中也没有旋转关系存在通过作辅助线构造旋转！例4：如图：正方形A8CQ中,NMAN=45° , NMAN的两边分别交CB、.于点M、M 求证：BM+DN=MN°例5如图,正方形A8CD中,

17、NE4F=45.,连接对角线B.交AE于M,交AF于N, W OM+BA公=MN例6如图,OAB和OC.是等边三角形,连结AC和5.,相交于点E,4C和8.交于 点F,连结8C.求NAE8的大小.例7如下图：/XABC 中,NAC8=90.,AC=BC, P 是ABC 内的一点,且 AP=3,.尸=2, BP=1,求N3PC的度数.本课总结问题一：题中出现什么的时候,我们应该想到旋转？构造旋转的条件1 .图中有相等的边等腰三角形、等边三角形、正方形、正多边形2 .这些相等的边中存在共端点.3 .如果旋转将一条边和另一条边重合,会出现特殊的角：大角夹半角、手拉手、 被分割的特殊角.问题二：旋转都

18、有哪些模型？构造旋转辅助线模型：1 .大角夹半角2 .手拉手寻找旋转3 .被分割的特殊角测试题如图,P是正A48C内的一点,且8P是NABC的角平分线,假设将APBC绕点P旋转到AFBA ,那么NPB产的度数是A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°BC中,AB=AC, 8C为最大边,点.、E分别在3cAe上,BD=CE,F为8A延长线 上一点,BF=CD,那么以下正确的选项是A. DF=DEB. DC=DFC. EC=EAD.不确定3 .如图,四边形ABC.中,/ABC=30.,NAOC=60.,AD=DC,那么以下正确的选项是A. BD-B

19、2+BC2 B. BDYABTBC2 C. BD2>AB2+BC2 D,不确定4 .ABC中,/ACB = 90° , CO,4B于.,AE为角平分线交CO于F,那么图中的直 角三角形有A. 7个B6个C. 5个D. 4个5 .如图,D4LA8, EALAC, AD=AB9 AE=AC.那么以下正确的选项是A. AABDC. 4BMFW4CMSB.D. AOC/A48E针6如图,P为正方形ABCD 的对角线AC上的一点不与AC 重合,PE_L8C与点EPFLCD与 点F,假设四边形PECF绕点C逆时 旋转,连结BE、OF,那么以下一定正确的选项是A. BP=DPB. BE?+E

20、C2=BC C. BP=DFD. BE=DF1.如图,等腰直角AO3与等腰直角ZVIEC共点于A,连结BE、CD,那么以下一定正确的是A. BE=DCB. AD/CEC. BELCEB. 60°D. BE=CE8.如图,等边三角形于A,连接BE、CE ,C. 90° D. 120°ABE与等边三角形共点那么NEOB的度数为A. 45°9.如图,在四边形A8C.中,AB = AD9 NB = ND = 90., E、P分别是边8C、CD ± 的点,且NE4尸=1/区4.0那么以下一定正确的选项是2A. EF = BE+FDB. EF>BE

21、+ FDC. EF<BE + FDD. EF2 = BE2 + FD210.在正方形ABC.中,BE=3, EF=5,.尸=4,那么/04七+/.£为A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°DB五、寻找全等三角形的几种方法利用全等三角形的性质可以证实分别属于两个三角形中的线段或角相等.在证实线段或角相等时,解题的 关键往往是根据条件找到两个可能全等的三角形,再证实这两个三角形全等,最后得出结论.下面介绍寻找 全等三角形的几种方法,供同学们参考.一、利用公共角例 1 如图 1, AB = ACfAE = AE 求证：NB =ZC.

22、分析：要证实N8=NC,只需证实BOEgZiCOE或aAB尸而由图形可知NA是公共角,又由已 知条件AB = AC,AE= AF,所以ABFgAACE,于是问题获证.二、利用对顶角题目中的隐含条件例2如图2, B、E、F、D在同一直线上,AB = CD, BE =DF, AE = CF,连接AC交BD于点O.求证：AO = CO.分析：要证实AO= CO,只需证实AOE乌ZkCOF或AOBgCOO即可.根据现有条件都无法直接证 明.而由己知条件AB =CD, BE = DFfAE = CF可直接证实那么有/AEB=NCFD, 进而有NAE.=NC/.再利用对顶角相等,即可证实.三、利用公共边题

23、目中的隐含条件例 3 如图 3, AB = CD, AC = BD.求证：ZB =ZC.分析：设AC与BD交于点、.,此时N3与NC分别在AOB和OOC中,而用现有的条件是不可 能直接证实这两个三角形全等的,需添加辅助线来构造另一对全等三角形.此时可以连接AD.那么AD 是4ABD和OCA的公共边,这样可以证实ABOgAOCA.四、利用相等线段中的公共局部例4如图4, E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点,AF = CE.求证：BE/DF.分析：要证实只需证实NBEC = ZDFA,此时可以转换为证实NAE8 =NCFD,进而证实AEBg CFD.五、利用等角中的公共局部例 5 如图 5,NE = 30° , AB = A.,AC = AE, ZBAE=ZDAC.求NC 的度数.分析：NE= 30° ,要求NC,可考虑证实ABCgZAOE由NA4E=ND4C,结合图形可知NB4c = NZME,于是问题获解.六、利用互余或互补角的性质考点：同角或等角的余角相等例 6 如图 6,NZ)CE= 90° , ZDAC= 90° , BEA.AC T 8,且 DC = EC,能否找出与 ABAD 相等的线段,并说明理由.分析：由于AC= A8+8C,可以猜测AC= A8+AO,或BE=A