(整理)函数的单调性与极值.

1、函数的单调性与极值函数y = f(x)单调性的考察,可用当xi <X2时,比拟f (%)与f(X2)的大小来进行判定的.但判定f(xi)与f (X2)的大小并非是一件容易的事情.所以希望找到一种简单的判定方法.我们知道,如果函数y = f (x)在某区间上单调增加,其图形是一条沿x轴正向上升的曲线,曲线上各点处的切线斜率为非负,即yf= f '(x)之0 ；假设单调减少,其图形是一条沿 x轴正向下降的曲线,曲线上各点处的切线斜率为非正,即y'= f'(x)w0,如图3-2.可见,函数的单调性与导数的符号有着密切的联系.那么反之成立吗？定理1设函数f (x)在区间(

2、a,b)内可导.(1)如果在(a,b)内f'(x)>0,那么f(x)在(a,b)内单调增加；(2)如果在(a,b)内f (x) < 0 ,那么f (x)在(a,b)内单调减少.证实(1)在(a,b)内任取两点x1, x2,且x1< x2,根据拉格郎日中值定理,存在一点 -(x1M上<x2 ),使f (x2) - f(xi) = f '(0(x2 x)(1)由于在区间(a,b)内有f (x)>0,那么(1)式中的f K)>0,而x2x1A0,因此由(1)式知f(x2)> f(x1), 这就是说f(x)在(a,b)内单调增加.同理可证实结论

3、(2)成立.有些可导函数在某区间内的个别点处导数等于零,但函数在该区间内仍是单调增加(或单调减少).如函数y=x3的导数y'=3x2,在x=0时,y'=0,但它在区间(一0°,+8)内是单调增加.例1判定函数y =e- -3x -1的单调性.解 由于函数的定义域为 (-«,+=c),其导数为 y'='-3 ,所以在整个定义域内都有y'<0,故函数y =e« -3x -1在定义域内单调减少.有时,函数在其整个定义域上不具有单调性,但在其各个局部区间上却具有单调性,如图3-3所示.函数f (x)在区间a,xj x2 ,b上

4、单调增加,而在区间与冰2上单调减少,且从图 3-3上容易看到, 精品文档y精品文档可导函数f(x)在单调增加、减少的分界点处的导数为零,即 f (xi) uf(X2)-0.使导数等于零的点(即方程f,(x) =0的实根),叫做函数f(x)的驻点.因此要确定可导函数 f(x)的单调区间,首先要求出驻点,然后用这些驻点将其定义域分成假设干个区间,再在每个区间上判定函数的单调性.1 31 2-例2讨论函数f(x) = x +- x 2x的单调性32解 由于 f '(x) = x2 +x -2 =(x +2)(x -1),令 f '(x) = 0 ,得驻点 x1 = 2, x2 =1

5、.这两点将f(x)的定义域(,y)分成三个局部：(_oo,_2),(-2,1),(1,1),下面用列表的形式来进行讨论,(表中表示单调增加,“ /表示单调减少)x(-°0,-2)-2(-2,1)1(1尸)f'(x)+0-0+f(x)/1 335-16根据上面的讨论可得：函数 f (x)在区间(笛,2)和(1,+*)内单调增加,在区间(-2,1)内单调减少另外,还需注意函数的不定义点,或是连续而不可导点也可能是单调区间的分界点例3确定函数y=3：x2的单调区间解函数的定义域为(-叱收),而y又函数没有驻点.但当x>0时,有y'>0,函数在区间当x <0

6、时,有y'<0 ,函数在区间(二、函数的极值定义3.1设函数f (x)在N(x03)有定义,且对此邻域内任一点x (x =x°)均有f(x) < f(x0),那么称f (x0)是函数f (x)的一个极大值；如果对此邻域内任一点 x (x0 x°)均有f(x) Af(x0),那么称f(x0)是函数f(x)的一个极小值.函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点x0称为极值点.图3-5精品文档从图3-5可知,关于函数的极值,应注意以下几点：(1) 函数的极大值和极小值是局部概念,即如果f(x0)是f(x)的极值,只是对极值点 X0 的左右近旁一

7、个小范围来讲的.(2) 函数在一个区间上可能会有几个极大值和几个 极小值,且其中的极大值未必比极小值要大.如图3-5 ,极大值f(X1)就比极小值f (X5 )还要小.(3) 函数的极值只能在区间内部取到.求极值的关键是找出极值点,从图3-5中看到,对可导函数来讲,在取得极值处,曲线的切线是水平的,即在极 值点处函数的导数为零.但反之不成立.如f '(x3) = 0.定理2 (极值存在的必要条件)设函数f (x)在点x0处导数存在,且在 x0处取得极值,那么函数 f(x)在x0处的导数f (x.)= 0 ,即x0是函数f (x)的驻点.注意,定理3.5仅是极值存在的必要条件,而非充分条

8、件.如函数y = x3 ,在x = 0处有y' xw = 0 ,但y x= 0不是极值.该定理说明可导函数的极值点必是驻点,而驻点却未必是极值点对于一个连续函数,它的极值点还可能是使导数不存在的点.如f (x) =| x |,显然,f '(0)不存在.但x = 0且是它的一个极小值点,在 f(x)=|x|图形上,(0,0)称为曲线的尖点.因此,连续函数有可能取得极值的点是驻点与尖点.但问题是这些点满足什么条件才能为极值点,观察图 3-5,得下面判定函数极值的一个充分条件.定理3 (极值存在第一充分条件)设函数f (x)在点x0连续,在N(x0,6)内可导(x0可除外),当x由小

9、增大经过x0时,如果：(4) f (x)的符号由正变负,那么 f (x)在点x0处取得极大值；(5) f (x)的符号由负变正,那么 f(x)在点x0处取得极小值；(6) f (x)的符号不变,那么f(x)在点x0处取不到极值.证实(1)由条件,f (x)在点x0左近旁单调增加,在点 x0右近旁单调减少,即当 x<x°时,有f (x)< f(x0),当xx0时,有f(x)<f(x°),因此f (x)在点x0处取到极大值.同理可证实结论(2)、(3).此外还可利用二阶导数来判定极值.定理4 (极值存在的第二充分条件)设函数 f (x)在N (x0,台)内有二

10、阶导数f "(x)存在且连续,又f'(x0) = 0, 如果(1) f (x0) <0 ,那么f (x)在x0处取得极大值；(2) f (x0) A0,那么f(x)在x0处取得极小值.(证实从略)2K例4求函数f(x)=(x 4)3的极值.4x解由于f (x) = ° °(x#±2),令 (x.)=0,得驻点 x = 0,所以函数有驻点 x = 0,尖点x = ±233 x2 -4列表考察f'(x)的符号x(q4)-2(20)0(0, 2)2(2*)f'(x)一不存在+0一不存在+f(x)极小值0/极大值V16极小

11、值0/故当x = 0时,函数f(x)有极大值3"6 , 当* = ±2时,函数f (x)有极小值0.例5求函数f (x) = J3x+2sinx在区间0,2扪内的及值解 由于 f (x) = 0+2cosx, f "(x) =_2sin x.f-令 f (x0) =0 ,得驻点 x1 = , x2 = 一而 f = -1 < 0 ,所以 f () = " 3 +1 为极大值；66666.77 二 7.3r：f ()=1>0,所以f()=-1为极小值.666例6求函数f (x) =(x2 1)3+1的极值.解 函数 f (x)的定义域为(-=o

12、,+=c) f'(x) = 6x(x2-1)3 由 f'(x0)= 0 ,得驻点x1=-1,x2= 0,x3= 1.列表：x(-°91)-1(T0)0(0,1)1(1尸)f (x)一0一0+0+f(x)极小值0/故函数f(x)在x = 0处有极小值f (0) = 0 ,而x1 = -1, x3 = 1不是极值点.三、函数的最值问题在实际生活中,常会遇到：在一定条件下,怎样使“产量最高、“用料最省、“本钱最低、“耗时最少等问题这一类问题在数学上可归结为函数的最大值、最小值由于在闭区间a,b上连续的函数f (x) 一定存在最大彳1和最小值.由于函数的最值可在区间内部取到,

13、也可在区f(x)在区间a,b上的最值,可间的端点上取到,如果是在区间内部取到,那么这个最值一定是函数的极值,因此求 求出一切可能的极值点(驻点及尖点)和端点处的函数值,进行比拟,其中最大者就是函数的最大值,最小者就是函 数的最小值.例7求函数y =x4 -4x2 +6在区间-3,3上的最大值和最小值.令y ' = 0,得驻点x1-2, x2 = 0,x3 =-2因此yy xw=6,而 yx旦=51.解 由于y' = 4x3 _8x经比拟,得函数的最大值为y =51 ,最小值为y = 2.如果函数f (x)在一个开区间内连续且有惟一的极值点x0 ,那么当f (x0)为极大值时,f

14、(x0)就是f(x)在该区间上的最大值；当f(x0)为极小值时,f(x0)就是f (x)在开区间上的最小值(见图 3-7).例 8 求函数 f (x) = (x2 -1)3 +1.解 由例6可知,x=0是函数f(x)极小值点,且在整个定义域中极值点是惟一的,故函数的极小值就是函数的最小值,为 f(0)=0,不存在最大值.下面讨论求最值的应用题 .在实际问题中,往往可以根据实际情况断定函数f (x)在其定义区间内确有最值存在,而当可导函数f (x)在这定义区间内又只有惟一的驻点x0 ,那么可断定f (x)在点x0处取到了相应的最值 、.3 . 例9有一块长为a,宽为3a的长方形铁片,将它的四角各

15、剪去一个大小相同的小正方形,四边折起,做成一8个无盖的长方盒,问截去的小正方形白边长为多少时,其容积最大解如图3-8 ,设小正方形的边长为 x,那么其容积为331 123 2_3V(x) =x(a-2x)( a2x) = 4x -ax + a x,(0<x< a)84816o 113 o13V (x) =12x ax -a =12(x a)(x - -a) 28128,131得驻点 Xi =a, X2 =-a 舍,所以xi =a是惟一的驻点,又该实际问题的最值一 12812 1定存在,故当小正万形的边长为x1 = a时,长方体的容积最大.12例10 设铁路边上离工厂 C最近的点A距

16、工厂20km,铁路边上B城距A点200km ,现要在铁路线 ab上选定点D修筑一条公路,铁路与公路每吨千米的货运费之比为3: 5,问D选在何处时,才能使产品从工厂的每吨货物的总运费最省？图 3-9C运到B城解 设D点选在距离A处X千米,又设铁路与公路的每吨千米货运费分别为3k,5k k为常数那么产品从C处运到B城的每吨总运费为y =5k CD 3k BD图3-9由于,yx-5k-3k 二,400 x2k(5x -3.400 x2)400 x2= 5k、400 x2 3k (200 - x) (0 < x < 200)令 y' = 0,即 5x=3j400 + x2 ,得 x=15.将y x冬= 680k,与闭区间0,200端点处的函数值比拟,由于 y=700k , y x*00 =5J40400kA 1000k ,因此,当D点选在距离A点15km处,这时每吨货物的总运费最省习题1、求以下函数的单调区间：x-342(1) y =xe ；(2) y=2x -6x 18x7；(3) y=xln(x