数列知识点总结

1、数列知识点总结1.等差数列的定义与性质定义：an斗一an =d (d 为常数)，an=ai+(n1)d等差中项：x, A, y成等差数列仁2A = x + ya1an n n n -1刖n项和Sn =一LL = na1d22性质：小是等差数列(1)若 m+n = p + q,则 am+an =ap+aq；数列 UL Qn/仍为等差数列,Sn, S2n-Sn, &n-S2n仍为等差数 列，公差为n2d ；(3)若三个成等差数列，可设为a-d, a, a + d(4)若an, bn是等差数列，且前n项和分别为Sn, Tn,则同 =bm T2m(5) Qn)为等差数列之Sn=an2+bn(a, b为

2、常数，是关于n的常数项为0的二次函 数)。Sn的最值可求二次函数Sn =an2+bn的最值；或者求出Ln中的正、负分界项， (即：当a1 0, d 0 ,解不等式组!an4 可得Sn达到最大值时的n值；当 an 1 三 0a 0 ,由!an0可得Sn达到最小值时的n化) an1 -0(6)项数为偶数2n的等差数列4有S2n =n(a1 a2n)=n(a2 a2n/)=n(an . an 力，an 1 为中间两项)S偶 一 S奇=nd ,= n-.S偶an I(7)项数为奇数2nT的等差数列GJ 有专业word可编辑S” =(2n1)an(an为中间项),Swnn 12 .等比数列的定义与性质定

3、义：an=q（q为常数，q#。）,ann 1an = aiq等比中项：X、G、y成等比数列=G2=xy ,或6=土质前n项和:Snnai (q =1)=ai 1 - qni -q(q = i)性质：%是等比数列(i)若 m+n=p+q,贝 U am an =ap aqSn, S2n -Sn, S2n仍为等比数列，公比为qn.3 .求数列通项公式的常用方法由 Sn 求 an。(an-Sna,n2Si,n =i一得：2U =2 ,2=*,，an,i4(n = i)2nd (n - 2)例 i:数列an, c i iin 22时-ai + a2 + +an =2n +55 222i iiai +-i

4、2-a2 + +!an=2n+5,求an2222n解 n=i 时，1al =2灯+5, .ai =i42练习数列an满足Sn +3a=4,求an注意到an+ =Sn+-Sn ,代入上式整理得包凶=4 ,又S = 4 , ； S 是等比数列，Sn. c，3 4 n 至2故 Sn=4。n22 时，an=SnSn二=34 故 an =4,n = i由递推公式求an累加法（an书-an = f（n）形式）（n2）,求an例 2：数列an 中，a1=1, an=3n+annan -an J - 3n _2解：n 之2时 anJL a一3an - al2n 1=33+33(3nJ -1)a2 - a1 =

5、 31 nan -(3 -1)2（2）累乘法（a土 =f（n）形式）例3:数列an中，a, =3,皿求an解:a2 a3an 1a1a2an 42ananal1 p=一 又 a1n=3,- -an（3）构造新数列（构造的新数列必为等比数列或等差数列取倒构造（an 1勺等于关于an的分式表达）例 4： a1 =1, an 1 二2an求an1解：由已知得：一an21 . 1= I an 12an2anan 1an1，、，.Y工为等差数列an，工=1 ,a1、，1公差为1 ,2111 =1+(n1)一 = (n+1 )an.an同除构造例 5: a1 =1, an4=3an +3n，求an。a11

6、解：对上式两边同除以3n书，得3n 1an 13n3则a为等差数列 3n,ann 1=n，3 o例6:a1 =1,an卡2an 3 3,求 an。对上式两边同除以2n* ,得an -12nbn暇，则有bn 1 - bn气尸I2)(2)2,累加法可得bn -b1 =1-(-)nJ一 (2)1二33 1不)3 1 n bn =4(2)5an3 1、n二，即/=二(二)824 25一,an85 2n 二例 7: a1= 1,an an+2anan=0,求 an解：对上式两边同除以anan，得an为等差数列11, =1 , 公差为 2, =1+2(n-1) = 2n-1,ananan2n -1取对构造

7、（涉及an的平方）例 8: a1 =3,an韦=3a2,求an.解：对上式两边取对数，得lg an书=lg 3a由对数运算性质得lg an 1 =2lgan lg 3两边同时加lg3,整理得 lgan 书+lg3 = 2(lgan +lg3),即 lg3an 书=2lgan，则lg3an)为公比为2的等比数列，由此推知an通项公式。等比型（常用待定系数）例 9: a1 =1, an4 =3an+2,求an。解：待定系数法设上式可化为如下形式：an4+k=3(an +k),整理可知 2k =2,则k=1 , .原式可化为工书+1 =3(an+1),则 以+仆为公比=3的等比数 列，由此推知an通

8、项公式。例 10: a1 =2,an+ =4an -3n +1 ,求 an。解：待定系数法设上式可化为如下形式：an41 + k(n+1)+b = 4(an + kn + b),整一 .！3k = 3理可知3，得k = -1,b=0 , 原式可化为an书-(n + 1) = 4(an - n),则3b -k =1降-n )为公比=4的等比数列，由此推知an通项公式。提公因式例 11 : a1 =1, an由an +1 =2an,求an。解： 上式变形为 an+an -an =an -1 ,等号左边提公因式得an(an书-1 )= an -1 ,an书-1=二,两边取倒数得an 1an T an

9、 1 - 1 an - 1r1an - 1为公差为1的等差数列，由此推知an通项公式。例 12: a1 =2=3,2an+ = 3an an（n 之 2）,求 an0解：上式变形为2an 1 - 2an = an - an J,2 an 1 - an 1= an - an J令 bn =an 由- an ,bn VbnJ ，2幻场首项6 =1,公比为，勺等比数列,由累加法可求得an通项公式4 .求数列前n项和的常用方法分组求和（分组后用公式）111例13:求和1+2+3中，1n-。2nX,1c1c11=123n F248211(1)_ n(n 1) 2，2n，- - C C、，111=(1 2

10、 - 3，：；+n)(2481 n(n 1)一一 2n 2（2）裂项相消（把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.）常用：-=1-; =1(1n(n 1) n n 1 n(n 2)2 n（3）错位相减（通项可表示为等差乘等比的形式）例 14: Sn =1+2x+3x2+4x3 +nxn求Sn解：Sn =1+2x+3x2+4x3 + +nxnJLx- Sn =x +2x2 +3x3 +4x4 +十(n 1 )xn+nxn一(1 -x )Sn =1 +x + x2 +xnJL -nxn1 -xnx#1 时，Sn =21-xn nxtn n 1x = 1 时，Sn =1+2+3 +

11、 +n =f2练习求数列I勺前n项和&。（答案：&=2-耍）248（4）倒序相加（前后项之和为定值。把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.)Sn=a1 + a2+an+anLL 上，Sn =an +an J +a2 +aj 相加 2a =(a1)+-5 .求数列绝对值的前n项和（根据项的正负，分类讨论）例15:已知数列On)的通项an =11 -2n , bn =an,求I）的前n项和Tn。解： 设 数 列 Gn 的 前 n 项 和 为 Snai =9,公差 d = -2, Sn =9n +n(-1) (-2) = 10n - n222n W5时，Tn =a + a2 + an =a1 +a2 +an = Sn