全等三角形难题集锦

1、1 .如图，已知等边 ABG P在AC延长线上一点，以PA为边作等边 APE,EC延长线交BP于M,连接AM,求证：(1) BP=CE (2)试证明：EM-PM=AM.Word资料2、点C为线段AB上一点， ACM, 4CBN都是等边三角形，线段 AN,M皿于点E, BM,CN交于点F。求证:(1) AN=MB.(2)将 ACMg点C按逆时针方向旋转一定角度，如图所示，其他条件不变，(1)中的结论是否依然成立？ (3) AN与BM相交所夹锐角是否发生变化。5 .已知，如图所示，在 4ABC和4ADE中，AB = AC , AD =AE , /BAC=/DAE ,且点B, A, D在一条直线上，

2、连接 BE, CD, M, N分别为BE, CD的中点.(1)求证： BE =CD ; AM =AN ；(2)在图的基础上，将 4ADE绕点A按顺时针方向旋转180 ,其他条件不变，得到图所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立图图ABC和正三角形CDE AD与BE交于点6 .如图，C为线段AE上一动点(不与点 A, E重合)，在AE同侧分别作正三角形O, AD与BC交于点P, BE与CD交于点Q,连结PQ以下五个结论: AD=BE; PQ / AE; AP=BQ;DE=DR Z AOB=60 CP=CQ CPM等边三角形.共有2对全等三角形CO平分/ AOPCO平分/ BCD恒成

3、立的结论有(把你认为正确的序号都填上).10.已知：如图，ZXABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG / BC ,交AC于点G ,在GD的延长线上取点 E ,使 DE =DB ,连接 AE, CD .(1)求证：AGEzXDAC；(2)过点E作EF / DC ,交BC于点F，请你连接AF ,并判断4AEF是怎样 的三角形，试证明你的结论.11、如图1,以 ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形 与 AEG面积之间的关系，并说明理由.ABDE和正方形 ACFG ,连结EG，试判断zABC（图1）（把你认为正确的序号都填上）9如图，C为线段AE上一动点（不与点A, E重合），在AE同侧分别作

4、正三角形 ABC正三角形 CDE AD与BE交于点O,AD与BC交于点巳BE与CD交于点Q,连结PQ以下五个结论: AD=BE; PQ / AE; AP=BQ DE=DR /AOB=60 .恒成立的结论有如图所示，已知 ABC和4BDE都是等边三角形， 且A、B D三点共线.下列结论：AE=CDBF=BGHB平分/ AHD/ AHC=60 ,4 BFG是等边三角形； FG/ AD.其中正确的有（）A. 3个B . 4个C. 5个D. 6个1、在 ABC 中，AB=BC=2, /ABC =120°,将 ABC绕 a (0° <a <90 )得 ABCi, AB 交

5、 AC 于点 E, A1cl分别两点.如图1,观察并猜想，在旋转过程中，线段EA,与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论;2 .如图所示， ABC是等腰直角三角形，/ ACB= 90° , AD是BC边上的中线，过 C作AD的垂线，交AB于点E,交AD 于点F,求证：/ ADC= / BDE3 .如图1,四边形ABC虚正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点 E在AB边上滑动（点E不与点A, B重合），另一条直角边与/ CBM 的平分线BF相交于点F.如图141,当点E在AB边的中点位置时： 通过测量DE, EF的长度，猜想 DE与EF满足的数量关系是

6、 ; 连接点E与AD边的中点N猜想NE与BF满足的数量关系是 ;请证明你的上述两猜想. 如图142,当点E在AB边上的任意位置时，请你在 AD边上找到一点 N, 使得NE=BF进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明A E B M图 14 一 1E B M国 14-2已知 RtzXABC 中，AC=BC, /C=90: D 为 AB边的中点，NEDF=90°,NEDF绕D点旋转，它的两边分别交 AC、CB （或它们的延长线）于 E、F.1当/EDF绕D点旋转到DE_LAC于E时（如图1）,易证S.DEF +SACEF =-SAABC.2当/EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在

7、图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立,请给予证明;若不成立，SA DEF、Szxcef、Saabc又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明1 .已知AC/BD, / CAB和/ DBA的平分线 EA EB与CD相交于点 E.求证：AB=AC+BD.2 .等边 ABC D为ABCZ卜一点，/ BDC=12 0 , BD=DC / MDN=6 0射线DlW 直线AB相交于点 M,射线DN与直线AC相交于点N,Word资料N在边AB> AC上，且 DM=D时，直接写出 BM NG MN间的数量关系.N在边AR AC上，且DW DN时，猜想中的结论还成立吗？若成立，请证明.N在边

8、AR CA的延长线上时，请画出图形，并写出 BM NG MN之间的数量关系.3 .如图1, BD是等腰RtMBC的角平分线，/ BAC = 901(1)求证 BGAaAD(2)如图2, AF ± BD于F, CE，BD交延长线于E,求证：BD=2C图21、已知，如图1,在四边形 ABC中, BC>AB, AD=DC BD平分/ ABC 求证：/ BAB/BCD180 。2、如图，四边形 ABCD, AC平分/ BA口 CH AB于E, AD+AB=2AE则/ B与/ ADCS补.为什么?3、如图 4,在 ABC中，BD=CD / ABD之 ACD,求证 AD平分/ BAC.4

9、.如图，在 ABC中/ ABC,/ ACB的外角平分线交 P.求证:AP是/ BAC的角平分线Word资料图十一5、如图在四边形 并证明你的猜想,ABCM, AC平分/ BAD / ADO Z ABG= 180度，CH AD于E,猜想 AR AE、AB之间的数量关系,6、如图，已知在 ABC中，/ B=60° , ABC勺角平分线 AD,CE相交于点 O,求证：OE=ODWord资料DBE=CF7.如图所示，已知在 AEC中，/ E=90° , AD平分/ EAG DFL AC,垂足为F, DB=DC求证:8、如图，OP是/ MON勺平分线，请你利用t图形画一对以OP所在直

10、线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图，在 ABC43, / AC配直角，/ B=60° , AD CE分别是/ BAC / BCA勺平分线，AD CE相交于点F。 请你判断并写出 FE与FD之间的数量关系；(2)如图，在 ABC中，如果/ ACB不是直角，而 成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。(1)中的其它条件不变，请问，你在 (1)中所得结论是否仍然9.已知：如图， BF，AC于点F, CH AB于点E,且BD=CD求证：(1) BD珞 CDF (2) 点D在/ A的平分线上D10、如图在 ABC中，AB>AC, / 1=

11、/2, P为AD上任意一点，求证11、(2007 年成都)已知：如图， ABC43, / AB(=45° , CDLAB于 D, BE平分/ ABC 且 BE!AC于 E,与 CDf交于点F, H是BC边的中点，连结 DH与BE相交于点 G(!)求证：BF=AQ(2)求证：CE=1BF;2 CE与BC的大小关系如何？试证明你的结论。12、（2009年赤峰市）如图，在四边形ABCD,AB=BC BF是/ABC的平分线，AF/ DQ连接AGCF,求证：CA是/DCF的平分线。1、数学课上，张老师出示了问题：如图 1,四边形ABCO正方形，点E是边BC的中点./AEF = 90，且EF交正

12、方形外角/DCG的平分线 CF于点F,求证：AE=EF.经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB的中点 M连接ME则AM=EC易证 AAME AECF ,所 以 AE =EF .在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点 E是边BC上（除B, C外）的任意一点”，其它条 件不变，那么结论" AE=EF'仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理I（2）小华提出：如图3,点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论"AE=EF'仍然成立.你 认为

13、小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由.图3G/C=40° , AP平分 / BAC& BC于 P, BOW / ABCJc ACT Q,求证：AB+BP=BQ+AQ4.问题背景，如下命题: 如图1,在正三角形 ABC中,N为BC边上任一点，CM为正三角形外角/ ACK的平分线，若/ ANM=60，则AN=NM如图2,在正方形 ABCM ,N为BC边上任一点，CM为正方形外角/ DCJ平分线，若/ ANM=90,则AN=NM 如图3,在正五边形 ABCD中,N为BC边上任一点,CM为正五边形外角/ DCK勺平分线，若/ ANM=108,则AN=NM任

14、务要求： 请你证明以上三个命题；请你继续完成下面的探索： 如图4,在正n （ n左）边形ABCDEF中,N为BC边上任一点，CM为正n边形外角/ DCK的平分线，问当/ ANMU?于 多少度时，结论AN=N械立（不要求证明）. 如图5,在梯形ABCD43,AD / BC,AB=BC=CD,俄/ BC延长线上一点，CM为/ DCN的平分线，若/ ANM= ABC请问AN=NM是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由5 . （1）如图，已知在正方形 ABCD43, M是AB的中点，E是AB延长线上一点， MNL DM且交/ CBE的平分线于 N.试判 定线段MD MN的大小关系；（2）

15、若将上述条件中的“ M是AB的中点”改为“ M是AB上或AB延长线上任意一点”，其余条件不变.试问（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.P已BD, PF± AC, E、F为垂足.求6 .如图，在 ABC中，/ A=90° , D是AC上的一点，BD=DC P是BC上的任一点,证：PE+PF=AB1.如图，已知 ABC 中，AB=AC=6cm Z B=Z C, BC=4cm ,岚 D 为 AB 的中点.(1)如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点 Q在线段CA上由点C向点A运动.若点Q的运动速度与点 P的运动速度相等，经过

16、 1秒后， BPD与4CQ提否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点 P的运动速度不相等，当点 Q的运动速度为多少时，能够使 BPM4CQ也等？(2)若点Q以中的运动速度从点 C出发，点P以原来的运动速度从点 B同时出发，都逆时针沿 ABC三边运动，则经过 后，点P与点Q第一次在 ABC的边上相遇？(在横线上直接写出答案，不必书写解题过程)2 .已知：在 ABC中，/ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD,以AD为一边且在AD的左侧作等腰直角 ADE 解答下列各题：如果 AB=AC / BAC=90 .（i）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图甲，线段 BD, CE之间的位置关系

17、为（ii ）当点D在线段BC的延长 线上时，如图乙，i）中的结论是否还成立？为什么？3 . （2012?内江）已知 ABC为等边三角形，点 D为直线BC上的一动点（点 D不与B C重合），以AD为边作菱形 ADEF （A、D E、F按逆时针排列），使/ DAF=60 ,连接CF.（1）如图1,当点D在边BC上时，求证： BD=CFAC=CF+CD（2）如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+C谖否成立？若不成立，请写出AG CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AG CF、CD之间存在的数

18、量关系.M E图1图2图31.在4ABC中，AD±BC, BEXAC, D、E为垂足，AD与 BE交与点 H, BD=AD求证：BH=ACBE! AD2. （08河北中考第24题）如图14-1,在4ABC中，BC边在直线l上，AQ BC,且AC = BC. EFP的 边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP. （1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并 写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将4EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP 交AC于点Q,连结AP, BQ猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3） 将4EFP沿

19、直线l向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP, BQ你 认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明 理由.图 14-23. （2006年辽宁沈阳25题）.如图1,在正方形ABCDK 点E、F分别为边BG CD的中点，AF、DE相 交于点G,则可得2论：AF=DEAF，DE.（不需要证明）（1）如图2,若点E、F不是正方形ABCD勺边BG CD的中点，但满足CE=DF则上面的结论、是 否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”）(2)如图3,若点E、F分别在正方形ABCD勺边CB的延长线和DC的延长线上，且C

20、E=DF止匕时上面 的结论、是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由 第25题4.如图 1 , A、E、F、C在同一条直线上,AE=CF过E、 F分另1J作 DEL AC,BF±AC,若AB=CD试说明B叶分EF;若将 DEC勺边EC沿AC方向移动变为图2时，其余条件不变，BD是否还平分EF,请说明理由。5.如图， ABC43,/ AC990°,AO BCAE是BC边上的中线，过C作CFAE垂足为F,过B作BD±BC交CF的延长线于D.Word资料6.E、求证：（1） AEE= CD(2)若 AC= 12 cm,求 BD的长.如图，两个全等的含

21、30°、60°角的三角板 ADE和三角板 ABC放置在一起，/ DEAhACB=90 , / DAE4 ABC=30 ,7.已知BE, CF是4ABC的高，且BP=AC CQ=AB试确定AP与AQ的数量关系和位置关系A、C三点在一条直线上，连接 BR取BD中点M连接ME MC试判断 EMM形状，并说明理由.8.在 RtABC中，AC= BG / ACB= 90°, D是 AC的中点，DGLAC交 AB于点 G.（1）如图1, E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF连结EF与CF ,过点F作FH，FC,交直线AB于点H.求证：DG=DC判断FH与FC

22、的数量关系并加以证明.（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点 F在射线DG上，（1）中的其他条件不变，借助图 2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在（1）中得出的结论是否发生改变.（本小题直接写出结论，不必证明）Word资料30、如图，AD/BC, AD=BC AE±AD, AF±AB,且 AE=AD AF=AB 求证：AC=EF1.直线CD经过WBCA的顶点C, CA=CBE、F分别是直线 CD上两点，且 NBEC CFA .(1)若直线C陈过/BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图 1,若dBCA=90，,Na =9。&quo

23、t;则 EF|BE-AF (填“或“=”号)；,并给予证如图2,若0c </BCA<180,，若使中的结论仍然成立，则Za与/BCA应满足的关系是 (2)如图3,若直线CD经过/BCA的外部，/a=NBCA,请探究ER与BE AF三条线段的数量关系, 明.图1图2图32.已知：如图，四边形 ABCD,AC平分/BAD CELAB 于 E,且 ZB+ZD=180) 求证:AE=AD+BED为顶点作一个60。角，角的两边EFD3 .操作：如图， ABC是正三角形， BDB顶角/ BDC= 120°的等腰三角形，以分别交AB AC边于M N两点，连接 MN探究：线段BM MIN

24、 NC之间的关系，并加以证明.4 .如图，已知 E是正方形 ABCD勺边CD的中点，点 F在BC上，且/ DAE至FAE 求证：AF=AD-CF5 .如图所示，已知 ABC中，AB=AC D是CB延长线上一点，/ ADB=60 , E是AD上一点，且 DE=DB求证：AC=BE+BC6、在 ABC中，BD=DC ED± DF.求证：BE+ CF> EF.Word资料已知，如图，三角形 ABC是等腰直角三角形，/ ACB=90 , F是AB的中点，直线l经过点C,分别过点A、B作l的垂 线，即 AD± CE, B已 CE(1)如图1,当CE位于点F的右侧时，求证： AD

25、隼 CEB(2)如图2,当CE位于点F的左侧时，求证：ED=BE-AD(3)如图3,当CE在 ABC的外部时，试猜想 ED AR BE之间的数量关系，并证明你的猜想.考点：全等三角形的判定与性质.专题：证明题；探究型.分析： (1)利用同角的余角相等得出/CADh BCE，进而根据 AAS证明 ADe CEB(2)根据AAS证明AAD% CEB后，得其对应边相等，进而得到ED=BE-AD(3)根据 AAS证明 AD隼 CEBB,得 DC=BE AD=CE 又有 ED=CE+DC进而得至U ED=AD+BE 解答：(1)证明：: AD ICE, BE!CE, / ADCh CEB=90 ./ A

26、CD它 ECB=90 , / CAD+Z ACD=90 , / CADh BCE (同角的余角相等).在 ADC CEB 中/ ADCh CEB / CADW BCE AC=BC ,. .AD隼 CEB (AAS .(2)证明：AD! CE BEX CE, / ADCh CEB=90 . / ACD它 ECB=90 , / CAD+Z ACD=90 , / CADh BCE (同角的余角相等).在 ADCf CEB 中/ ADCh CEB / CADW BCE AC=BC ,. .AD隼 CEB (AAS . DC=BE AD=CE又 ED=CD-CEED=BE-AD(3) ED=AD+BE证

27、明：- AD± CE, BEX CE, / ADCh CEB=90 . / ACD它 ECB=90 , / CAD+Z ACD=90 , / CADh BCE (同角的余角相等).在 ADCf CEB 中/ ADCh CEB / CADW BCE AC=BC ,. .AD隼 CEB (AAS .DC=BE AD=CE又 ED=CE+DCED=AD+B评点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；利用全等三角形的对应边相等进行等量交换，证明线段之 间的数量关系，这是一种很重要的方法，注意掌握3.如图1、图2、图3, AOtB COD匀是等腰直角三角形，/ AOB= Z COD= 90o,

28、(1)在图1中，AC与BD相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。(2)若 CO噬点。顺时针旋转一定角度后，到达图 2的位置，请问 AC与BD还相等吗，还具有那种位置关系吗？为什么?(3)若 CO璘点。顺时针旋转一定角度后，到达图3的位置，请问 AC与BD还相等吗？还具有上问中的位置关系吗？为什么?考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.分析：(1)根据等腰三角形的两腰相等进行解答.(2)证明 DO由ACO/A根据全等三角形的对应边相等进行说明.解答：解：(1)相等.在图1中， AOB COD匀是等腰直角三角形，/ AOB=Z COD=90 ,OA=OB OC=OD 0A-0C

29、=0B-OD, . AC=BD（2）相等.在图 2 中，0D=OC / DOBW COA OB=OA . DO里 COA，BD=AC点评：本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质以及旋转问题，在旋转的过程中要注意哪些量是不 变的，找出图形中的对应边与对应角.4. （2008河南）.（9分）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图，已知在 ABC中，AB=ACP是ABS部任意一点，将 AP绕A顺时针旋转至 AQ使/ QAF/BAC连接BQ CP则BQ=CP"小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了AB军AACF?从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形A

30、BC：外，原题中的条彳不变，发现“BQ=CP仍然成立，请你就图给出证明.图图考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.专题：证明题；探究型.分析：此题的两个小题思路是一致的；已知/ QAP=/ BAC那么这两个等角同日减去同一个角（2题是加上同一个角），来证得/ QAB=/ PAC而根据旋转的性质知：AP=AQ且已知 AB=AC即可由SAS证得 AB* ACR进而得出 BQ=CP勺结论.解答：证明：（1） ;/ QAPW BAC.Z QAP-Z BAP=/ BAC-/ BAP,即 / QABh CAP在 BQ用口 CPA中，AQ=AP / QABh CAP AB=AC ,.BQ&

31、 CPA （SAS ；BQ=CP（2） BQ=CP5然成立，理由如下：/ QAPh BAC / QAP它 PAB=/ BAC-+Z PAB,即 / QABh PAC在 QAB PAC 中，AQ=AP / QABh PAC AB=AC ,.QA望 PAC （SAS ,BQ=CP点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质；选择并利用三角形全等是正确解答 本题的关键.5. (2009山西太原)将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开， 得到图中的两张三角形胶片 4ABC和4DEF .且 ABC ADEF 。将这两张三角形胶片的顶点 B与顶点E重合，把 DEF绕点B顺时针方向旋转，这

32、时 AC与 DF相交于点O .图图当4DEF旋转至如图位置，点 B(E) , C, D在同一直线上时， ZAFD与/DCA的数量关系是 当4DEF继续旋转至如图位置时，(1)中的结论还成立吗？ AO与DO存在怎样的数量关系？请说明理由.困点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质.专题：探究型.分析：（1）根据外角的性质，得/ AFD4 D+/ ABC /DCA=/A+/ABG 从而彳#出/ AFD4DCA（2）成立.由 ABe DEF7,可证明/ ABF土 DEC 则 ABH DEC 从而证出/ AFD叱 DCA（3） BOLAD.由ABe DEF,可证得点 B在AD的垂直平分线上，进而证得点

33、O在AD的垂直平分线上，则直线 BO是AD的垂直平分线，即 BOL AD.解答：解：（1） Z AFD=/ DCA（或相等）.（2） / AFD1 DCA（或成立），理由如下：方法一：由 AB集 DEF7,彳A AB=DE BC=EF（或 BF=EC , / ABC4 DER / BAC=Z EDF. /ABC-/ FBC=Z DEF-/ CBR / ABF土 DEC在 ABFA DEC中,AB=DE / ABF4 DEC BF=EC AB阵 DEC / BA EDC / BAC-Z BAF=Z EDF-/ EDC / FAC玄 CDF / AOD= FAC叱 AFD叱 CDF吆 DCA /

34、AFD4 DCA方法二：连接AD同方法一 ABF DECAF=DC由 AB黄 DEF 彳导 FD=CA在 AFg DCA AF=DC FD=CA AD=DA AFg DCA / AFD=/ DCA(3)如图，BOL AD.方法一：由 AB黄 DEF点B与点E重合,得 / BACh BDR BA=BD点B在AD的垂直平分线上，Word资料且 / BADh BDA/ OAD= BAD-/ BAG / ODAh BDA-/ BDF/ OAD= ODAOA=OD点O在AD的垂直平分线上.，直线BO是AD的垂直平分线，BOL AD.方法二：延长 BO交AD于点G同方法一，OA=OD在 AB丽 DBO43

35、, AB=DB BO=BO OA=OD AB8 DBO / ABOW DBO在 AB的 DBG, AB=DB / ABGW DBG BG=BG. .AB8 DBG / AGBW DGB=90 .BOLAD.点评：本题考查了三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，是基础知识要熟练掌握.例1正方形ABC计，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF求/ EAF的度数.考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质.分析：延长EB使得BG=DF易证 AB竽A ADF(SAS可得AF=AG进而求证 AEG AAEF可得/ EAGh EAF,再求出/ EAGV EAF=90即可解题.解答

36、：解：延长 EB使得BG=DF 在 ABG ADF 中，由 AB=AD /ABG支 ADF=90 BG=DF ,可得 AB® ADF ( SAS), / DAF=/ BAG AF=AG又 EF=DF+BE=EB+BG=E(AE=AE： AEG AAEF (SSS), / EAG4 EAFZ DAF+/ EAF吆 BAE=90 / EAGM EAF=90 , / EAF=45 .答：/EAF的角度为45°.点评：本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等 的性质，本题中求证/ EAGh EAF是解题的关键.例2 D为等腰(1)(

37、2)RtMBC斜边AB的中点，DML DN,DM,D曲别交BC,CA于点E,F。 当ZMDN绕点D转动时，求证DE=DF 若AB=2,求四边形DECF勺面积。考点：旋转的性质;全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.专题:N根据三角形的面积公式易求计算题.分析：（1）连CD,根据A 贝U / BCD=45 °,/判定易得 DC昭AADF,即可得到等腰直角三角形的性质得到CD平分/ ACB CD±AB, /A=45° , CD=DACDA=90 ,由/DML DM!/ EDF=90 ,根据等角的余角相等得到/ CDEh ADF根据全等三角形的 结论；（2）由 DC隼

38、 ADF,贝U SADCE=S ADF,于是四边形 DECF的面积=SAACR由而AB=2可得CD=DA=1 得SAACR从而得到四边形 DECF勺面积.解答：解：（1）连CD如图，,D为等腰RtABC斜边AB的中点， CD 平分/ACB CDL AB, / A=45° , CD=DAWord资料 / BCD=45 , / CDA=90 ,:/ DMILDN, / EDF=9。， / CDE4 ADF(图2)(图3)在 DC臣口 ADF中，/ DCE=/ DAF DC=DA/ CDEh ADFDC昭 A ADF3,DE=DF(2) . DC隼 A ADF, SA DCE=SADF,:

39、四边形DECF勺面积=$ ACD而 AB=2,CD=DA= 1：四边形DECF的面积=$ ACD=1 2 CD?DA=1 2 .点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等,对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质.1、已知四边形 ABCD 中，AB_LAD, BC _L CD , AB = BC , / ABC =120，, /MBN=60, /MBN 绕 B 点旋转,它的两边分别交 AD, DC （或它们的延长线）于 E, F .当/MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1）,易证AE+CF = EF .当

40、/ MBN绕B点旋转到AE C CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE, CF , EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.解:图10-2成立，图不成立*证明图10-2.如图延长DC至点心 feJK=AK>连接EK,则胡f/ZlBCK,- BE = BK, =、T 乙F8E = 60r，乙钻C = 12(T - /FgC + 4郎=6T图 10-4ZFBC + 乙KBC = 6(T > ZKBF = ZFBE = 6(T，玄8尹Sfl跳尸， KF = EF， KC-CFEF，即月E + CF =郎.图10 3不成立，A

41、E, CF,匹的关系是乂*.2、（西城09年一模）已知：PA=企,PB=4,以AB为一边作正方形 ABCD使P、D两点落在直线 AB的 两侧.（1）如图，当/APB=45时，求AB及PD的长；Word资料P当/ AP曜化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应/ APB的大小.3、在等边AABC的两边AB AC所在直线上分别有两点 Mk n, D为L ABC外一点，且/MDN =60：/BDC =120：bd=dc.探究：当MN分别在直线NCmn间的数量关系及AAMN的周长Q与等边AABC的周长L的关系.(I )如图1 ,当点AR AC上移动时，BMN边AR AC上，且DM=DNt, BM

42、NC MN之间的数量关系是止匕时二L(II )如图2,点N边AR AC上，且当DMDN时，猜想(I)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明;(III )如图3,当M N分别在边AR CA的延长线上时,若 AN=X ,贝U Q=(用X、L表示).Word资料(3 分).考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质.分析:(1)由DM=DN/MDN=60 ,可证得 MDN1等边三角形，又由 ABC是等边三角形，CD=BD易证得RtABDIWRtACDhN然后由直角三角形的性质，即可求得BM NG MN间的数量关系 BM+NC=MN此时QL =2 3 ;(2)在CN的延长线上截取 CM1=B

43、M连接DM1可证 DB眸 DCM1即可得DM=DM 1易证得/ CDNW MDN=60 ,则可证得 MDNAM1DN 然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；(3)首先在 CN上截取 CM1=BM连接DM1可证4 DB阵 DCM1即可得 DM=DM 1然后证得/ CDNW MDN=60 ,易证得 MDNPM1DN则 可彳| NC-BM=MN解答：解：(1)如图1, BM NG MN间的数量关系 BM+NC=MN此时 Q L =2 3.(2 分).理由：DM=DN / MDN=60 , .MDNg等边三角形， .ABC是等边三角形，/ A=60° ,BD=CD / BDC=120

44、, / BDC4 DCB=30 , / MBD= NCD=90 ,dm=dn bd=cd RtABDIW RtACDN / BDM= CDN=30 , BM=CN DM=2BM DN=2CNMN=2BM=2CN=BM+CNam=an .AMN©等边三角形， ab=am+b M .AM AB=2: 3, .Q L =2 3 ; 2)猜想：结论仍然成立.证明：在CN的延长线上截取 CM1=BM连接DM1 （4分）:/ MBD= M1CD=90 , BD=CD： DBMP ADCM1：DM=DM 1 / MBDM M1CD M1C=BM:/ MDN=60 , / BDC=120 ,/ M1

45、DN= MDN=60 ,： MD降 AM1DNMN=M1N=M1C+NC=BM+NC AMN勺周长为：AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=A B+AC .Q L =2 3 ;（3）证明：在 CN上截取 CM1=BM连接DM1 （4分）可证 DB晔 DCM1：DM=DM1（5 分）可证/ CDN=/ MDN=60 ,： MD降 AM1DN：MN=M1N （7 分）.：NC-BM=M N （8分）.点评：此题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识.此题综合性 很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法.例8. （2005年马尾）用

46、两个全等的等边三角形 AB和4AC聊成菱形ABCDffi一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点 合，两边分别与AB, ACt合.将三 绕点儆逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与 的两边BQ CDf交于点E,丽，（如 131）,通过观察或测量 BE CF 度，你能得出什么结论？并证明你 论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC CM延长线相交于点E,用寸（如图132）,你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.考点：菱形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；旋转的性质.分析：（1）利用全等三角形的判定得出 ABE AC唧可得出

47、答案；（2）根据已知可以得出/ BAE4 CAR进而求出 AB瞌 AC即可；（3）利用四边形AECF勺面积S=S AEC+塾ACF=SAEC+至ABE=S ABCjt出即可.解答：解：（1）得出结论是：BE=CF证明：. / BAC=/ EAF=60° , / BAC-Z EAC=/ EAF-Z EAC即：/ BAECAF,X / AB=AC /ABE=/ACF=60 ,/ BAE=Z CAF AB=AC / ABE=/ ACF.ABE ACF （ASA, .BE=CF（2）还成立，证明：. / BAC=/ EAF=60° , / BAC+/ EAC=/ EAF+Z EAC

48、 即 / BAE=Z CAFy.- AB=A(C /ABE=/ ACF=60 , 即 / BAE=Z CAF AB=AC / ABE=/ ACF.ABE ACF (ASA, .BE=CF（3）证明：. AB9 ACRSAABE=S ACF,，四边形 AECF勺面积 S=SA AEC+SX ACF=S AEC+SX ABE=S ABQ而 SMBC=1 2 S 菱形 ABCD.S=1 2 S菱形ABCD点评：此题主要考查了全等三角形的判定以及四边形面积，熟练利用全等三角形判定求出是 解题关键.解：（1） BE=CF证明：在 ABE 4ACF 中，./BAE+/ EA（=Z CAF+Z EA（=60

49、 , / BA=/CAF ABAC / B=/ACF=60 ,AB降 ACF（ASA .BE=CF（2） BE=CF5然成立.根据三角形全等的判定公理，同样可以证明AB即AACF旋转型以CG为一边向正方形 ABCD7卜作正1、如图，正方形 ABCD勺边长为1, G为CD边上一动点（点 G与C、D不重合）， 方形GCEF连接DE交BG的延长线于 Ho求证：BCe ADCE BH XDE考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质.专题：动点型.分析：（1）根据正方形的边的性质和直角可通过 SAS判定 BC84DCE从而利用全等的性质得到/ BGCh DEC（2）连接BD,解题

50、关键是利用垂直平分线的性质得出BD=BE从而找到BD= 2, CE=BE-BC= 2-1 ,根据全等三角形的性质求解即可.解答：解：（1）证明：二四边形 ABCD GCEFfB是正方形，BC=DC / BCGh DCE=90 , GC=EC.BC® DCE （3 分） ./ BGCW DEC （4 分）（2）连接BD如果BH垂直平分 DE,则有BD=BE （6分） BC=CD=1BD= 2 （8 分）CE=BE-BC= 2 -1 （9 分）CG=CE= 2 -1即当CG= 2 -1时，BH垂直平分DE. （10分）点评：此题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和线段的垂直平 分线的

51、性质等几何知识.线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.特殊图形的特殊性质要熟练掌握.2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B, C, E在同一条直线上,连ZDC（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC! BE.考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形Word资料分析：（1）此题根据 ABC与4AE尚为等腰直角三角形，容易得到全等条件证明AB昌 ACD（2）根据（1）的结论和已知条件可以证明DC，BE.解答：证明：（1）ABC与4AE尚为等腰直角三角形，AB=AC AE=AD /

52、BA" EAD=90 . / BAC廿 CAEN EAD+Z CAE即 / BAE=/ CAD在 ABE与 ACD中，AB=AC/ BAE=/ CAD AE=AD： AB9 MCD（2） . ABEACQ / ACD4 ABE=45.又,：/ ACB=45 , / BCD4 ACB廿 ACD=90. .DC，BE点评：此题是一个实际应用问题，利用全等三角形的性质与判定来解决实际问题，关键是理解题意，得到所需要的已知条件.OCD3、（1）如图7,点O是线段AD的中点，分别以 AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形 OA*口等边三角形 连ZAC和BD,相交于点 E,连结BC.求/ A

53、EB的大小；(2)如图8,AOAB固定不动，保持 A OCD勺形状和大小不变，将 AOC璘着点O旋转（A OAB和A OCM能重叠）,求/ AEB的大小.4、如图，AE± AB, ADL AC, AB=AE Z B=Z E, 求证：(1) BD=CE (2) BD± CE,证明：（1） AE± AB, AD± AC / BAE土 CAD=BAD4CAE 而 AB=AE / B=Z E, .ABD AEC BD=CE（2）由 ABD AEC知/ B=Z E.而/AGBh EGF / EFGN EAB=90 ,. BD± CE.如图，点O是线段AD的中点，分别以 AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形 OA街口等边三角形 OCD连接AC和 BD,相交于点E,连接BC.求/AEB的大小.