数字信号处理第二章

1、第二章离散时间信号与离散时间系统1第二章主要内容p 数学预备知识p 取样和内插p 离散时间信号序列p 离散时间系统p 离散时间信号的傅氏变换pp 离散系统函数、零极点、稳定性2序列的表示方法（1）p 序列：离散时间信号只在离散时间点上给出函数值。一般离散时间的间隔是均匀的，以T表示。用x(nT)表示此离散时间信号在nT点上的值，n为整数。p 表示方法:ììüïïï指针表示法:如 íL0.9, 0.8, 0.3, 0.1Lýï­n=0ïïîx(n) =þ&#

2、239;íL x(-1) x(0) x(1) x(1) x(2)Lïï波形表示: 线段的长短表示各序列值的大小ïïî函数表示:表示为函数x(n)，适用于有规则的3序列的表示方法（2）pì2n , n ³ 0x(n) = í0, n < 0试写出其序列形式并画出波形。îìüx(n) = ïï序列形式：íL,0,0, 1 ,2,4,8,Lý­n=0îïïþx(n)42LL112O4序列

3、的三种形式x(n)单边序列：n ³ 0；LnOx(n)双边序列：- ¥ £ n £ ¥LLnOx(n)有限长序列：n1 £ n £ n2n1n2On5常用的典型序列取样（冲激）序列阶跃序列ppp 矩形序列p 实指数序列p 正弦序列6取样（冲激）序列（1）d(n)10n1O(dn -1)¹(n - j) = ì0 n,jjp 时移性1í, =î1 nnO1(n - j)pc(n), cp 抽样(f性 ) n( d )n= ( f 0d )n()注意：(t)用面积（强度）表示，（t0，幅度

4、为）；(n)在n=0取有限值（不是面积）。7d( n )= ì0, n ¹ 01í , n =î取样（冲激）序列（2）p 例：确定(0)、(3)和(-2) 的值。(0)=1(3)=0 (-2)=0取样（冲激）序列的生成：中利用函数zeros(1,N) 产生一个由N 个零pp在组成的列向量，它可用来产生有限区间上的(n)。p >> delta = 1,zeros(1,N)8取样（冲激)序列（3）p¥åxm =-¥( n)md)=-(x(n)(n) mf1.52- 1o3n14ìï. í

5、5üïý,- 31 f, (1n=)(+ 1) +.5dn( ) -d 3(),-,03= d0,0,n-1 n2­=0ïïïîïþ9阶跃序列（1）u (n)n ³n <n)= 1ì01u (íLî00n123- 1Ou(n)= dn( + d+ d( - n +2 d )1n- )- k)-(+n L(u)n(3)¥=åd(nk =0d)u=(n) -(u -(nn1)10(n)u(n)，。阶跃序列（2）阶跃序列的产生：pp 在

6、中利用函数ones(1,N) 产生一个由 N 个 1 组成的列向量,它可用来产生有限区间上的 u(n)。p >> u = zeros(1,N),ones(1,M)11矩形序列1)RN(n)R0nN -1p 矩形序列的产生：p 在中利用函数ones(1,N) 产生一个由N 个 1组成的列向量,它可用来产生有限区间上的rect(n)。p >> Rn = zeros(1,N),ones(1,M),zeros(1,P)121 ì (0£n£N-N( )n=íî0 (n<0 or n³N)u= (n) -u ( n

7、 - ) N三种序列的关系¥ u(n) = åd (n - k ) (n) = u(n) - u(n - 1) RN (n) = U (n) - U (n - N )13k =0实指数序列（1）anu(n)- 1 < a < 00 < a < 11- 1O3n1241- 1O3n1an u(n)24anu(n)a < -1a > 111- 1O3n124- 1O3n12414anu(n)ìa>1发散ïa<1收敛ïíï a>0序列为正值ïîa<0正

8、、负摆动x(n) = anu(n)实指数序列（2）p 实指数序列的产生：中，用数组运算符 “.” 来实现一个实指数序p。p 例:>> n =0:50;>> x = (0.9).n;15正弦序列（1）t = nTsf (t) = Asin W0tN -1n01234= W 0w= WT00sfs，0数字域角频率，W 0模拟域角频率，：度0p2反映序列值依次周期性重复的速率。：弧度/秒16x(n) = Asin(W0nTs )=A sin(wn 0)正弦序列（2）p>> n = 0:0.1:10;>>x = 3*cos(0.1*pi*n + pi/3

9、)+2*sin(0.5*pi*n);>> plot(n,x);17讨论一般正弦序列的周期性（1）x ( n ) = A sin(w 0 n + f )x(n + N) = Asinw0 (n + N) +f = Asin(w0n +f +w0N)18讨论一般正弦序列的周期性（2）é2 öùæw (n + N )÷ = sin(w n + 2) = sin(w n)= sin wçèn +sinêú0000w0 øûë 正弦序列是周期的 有理数é2 

10、46;ùæ()÷ú= sin(w0n + m × 2)= sin(w0n)wsin wn + mçn +=sinNê00è0 øûë19举例:20如 s i n ( 1n )，w=1 ，2=8 p404w0该 序 列 不 是 周 期 序 列如 sin ( 4p n )， w= 4p ， 2p= 5 ，505w20该 序 列 是 周 期 为 5 的 周 期 序 列如 s in ( p n )， w= p ，2 p= 8 = N404w0该 序 列 是 周 期 为 8 的 周 期 序 列讨

11、论一般正弦序列的周期性（4）21讨论一般正弦序列的周期性（5）x(n)3 459 10n126 781122一个周期22讨论一般正弦序列的周期性（6）所以为非周期的序列23讨论一般正弦序列的周期性（7）p 讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样得到，则抽样时间间隔T和连续正弦信号的周期T0之间应是什么关系才能使所得到的抽 样序列仍然是周期序列？设连续正弦信号：x(t) = Asin W t + f= 2 pWT 0f 00= 1 /f 0=2/ W0抽样序列：x(n) = x(t)= Asin(W0nT + f) = Asin(w0n + f)Tw= W T = 2p f T = 2p000T0

12、24讨论一般正弦序列的周期性（8）令：T0N=N，k为互为素数的正整数Tk即: NT = kT0N个抽样间隔应等于k个连续正弦信号周期例:3´ 2p n )x (n ) = sin(143w´ 2 p=014 2 p1 4NT 0=w3kT025小结（1）p 离散信号sin(0 n) 与连续信号sin( 0t )的关系与区别æ2p öx (t ) = sin (2f0t ) = sin (0t )ç 0÷=Tèø0离散点nT上的正弦函数值： x(nT ) = sin (0 nT )xn( ) = sin (w0 n

13、)ì0弧度/ 秒度连续连续连续域的正弦频率离散域的频率区别:íî0对应于p 抽样时间间隔T与连续正弦信号周期T0间的关系：2 pT 0111=2 p=2 p=2 p f 0 TW 0 TwTf 0 T026小结（2）p 注意p 周期性27序列的基本运算（1）p 相加：p 相乘：z(n) = x(n) + y(n)z(n) = x(n) × y(n)p 乘系数： z(n) = ax(n)p 移位：z(n) = x(n - m)右移位左移位z(n) = x(n + m)x(n)x(n - 1)x(0)x(0)x(1)x(- 1)x(- 1)x(1)x(3)x

14、 323- 1- 1o3no124n1x(2)x(2)28序列的基本运算（2）p 倒置（翻褶）：z(n) = x(-n)p 差分：前向差分：Dx(n) = x(n + 1) - x(n)后向差分：Ñx(n) = x(n) - x(n - 1)p 累加：z(n) = å x(k )nk =-¥¥p 序列的能量：E = åx(n) 2n=-¥æön()()()p 重排（压缩、扩展）：x n ® x an , 或 x n ® xç÷è a ø29序列的基本运算（

15、3）x(n)654321O356n124x2n6xæ n öç÷ è 2 ø65432142O356nO356789 1012n12412430序列的基本运算（4）p 序列的卷积和(离散线性卷积)：m的范围由x(n)，h(n)范围共同决定。离散卷积过程：序列倒置移位相乘取和pp 图解法p 排序法p 利用性质31式法直接用卷积表达式计算（1）由离散卷积的定义得32式法直接用卷积表达式计算（2）（1）n<0：此时 u(n-k)=0，0k9。在此情况下，x(n) 和 h(n) 的非零值互相不覆盖，因而输出为：y(n)=033式法直接用

16、卷积表达式计算（3）（2）0n<9:则 u(n-k)=1，0kn。在此情况下，x(n) 和 h(n) 的非零值部分互相覆盖，因而输出为：nn-1k- k( å0n(å0(0n(0.y (9n)=).9). . )99 )=k = 0k = 01 (- 0-(9n +1) )1n(0. 19()- 0=-11 0=-n +1£0<(0.9)n9.9)34式法直接用卷积表达式计算（4）则 u(n-k)=1，0k9。在此情况下，x(n) 和 h(n) 完全互相覆盖，因而输出为：（3） n9:-910n - 9 (- 091.)=- k( å0k =

17、 0nn(0.y ( 9n)=).9)(1 -0( 0 .9 )10.-91(0)=-10.9)1(0.9)35式法直接用卷积表达式计算（5）36式法直接用卷积表达式计算（6）37式法直接用卷积表达式计算（7）p 思考:当x(n)的非零区间为N1,N2，h(n)的非零区间为M1,M2时，求解系统的输出y(n)又如何分段？p 结论：N，h(n)M，x(n)则其卷积和的长度L为：L=N+M-138图形法3940本节小结p 基本序列，序列的基本运算。重点：线性卷积运算p 周期性序列，序列的周期性判定。4142 习题（2）43 习题（3）44第二章主要内容p 数学预备知识p 取样和内插p 离散时间信号

18、序列p 离散时间系统p 离散时间信号的傅氏变换pp 离散系统函数、零极点、稳定性45离散时间系统px(n)y(n)的一种运算，以 T· 表示。x(n)y(n)y(n) = Tx(n)p 按照离散时间系统的性能，可以将系统分为线性、非线性、移变、移不变、稳定、非稳定、因果、非因果等类型。我们所关心与讨论的主要是“ 线性移不变的因果”离散时间系统。46T·线性系统（1）。p则此系统为线性系统。（其中a,b,c为常数）零输入产生零输出x1aTx1aÅÅyyTxxTbb22一个离散系统是否是线性的，可根据定义进行47线性系统（2） y(n) = x(n) + 0

19、.5x(n - 1)一p如下的两个输入信号加到系统的输入端上：求出两个信号共同产生的前 20 个输出，并画图当系统是线性时，多个输入的情况较易处理：一，p输出加起来得到总的输出信号；p 第二种方法是先把所有的输入加起来，然后求取系统对这个和信号的响应;p 两者计算结果相同，但第二种可以节约计算量48x ( n ) = 2 u ( n ) ;x ( n ) = sin( n)u ( n )127线性系统（3） y(n) = x(n) + 0.5x(n - 1)49线性系统（5）221100-1-10510x1(n)150510x2(n)155432100510y(n)1550非移变系统（1）(

20、n)( n)x( n-T0 )nxTy( n -0 n)x系统是否是时不变系统，可根据定义来进行。51移位n0T移位 n0非移变系统（2）不管输入信号作用时间先后如何，输出信号响应 的形状均相同，仅是出现的时间不同52线性非移变系统LSI（1）p 线性非移变系统：(LSI，Linear Shift Invariant)(LTI，Linear time invariant)，既满足叠加原理，又具有时不变特性的系统。例 1：证明 y(n)=3x(n)+4不是线性系统，是时不变系统。y1 (n) = T x1 (n) = 3x1 (n) + 4y2 (n) = T x2 (n) = 3x2 (n)

21、+ 4ay1 (n) + by2 (n) = 3ax1 (n) + 3bx2 (n) + 4(a + b)Tax1 (n) + bx2 (n) = 3ax1 (n) + bx2 (n) + 4QTax1 (n) + bx2 (n) ¹ ay1 (n) + by2 (n)所以非线性53线性非移变系统LSI（2）T x(n - m) = 3x(n - m) + 4y(n - m) = 3x(n - m) + 4两者相等，所以是时不变系统。54线性非移变系统LSI（3）令：x1(n) = d (n)y1(0) =1则：y1 (1) = ay1 (0) + x1 (1) = ay1 (2)

22、= ay1 (1) + x1 (2) = a2.y1 (n) = ay1 (n - 1) + x1 (n) = any (n) = anu(n)155线性非移变系统LSI（4）令：x2 (n) = d (n -1)y2 (0) = 1则：y2 (1) = ay2 (0) + x2 (1) = a +1y (2)=ay(1)+x (2)=a2 +a22.2+ an -1y2 (n) = ay2 (n - 1) + x2 (n) = annn-1y2 (n) = a u(n) + au(n -1)56线性非移变系统LSI（5）（2）线性关系x (n) = d (n) ® y (n) =

23、an u(n)11x (n) = d (n - 1) ® y(n) = a n u(n) + a n-1u(n - 1)22令：x3 (n) = x1 (n) + x2 (n) = d (n) + d (n -1)则： y3 (1) = ay 3 (0) + x3 (1) = a + 1y3 (0) = 1y3 (2) = ay3 (1) + x3 (2) = a+ a2.y (n) = ay (n - 1) + x (n) = an+ an -1333nn-1y3 (n) = a u(n) + au(n -1)y (n) + y (n) =2anu(n) + an-1u(n -1)

24、12y( n ) ¹y 1 ( n ) +不是线性系统y( n )3257系统的稳定性和因果性（1）p 因果性x(n)p 定义：输出变化发生在输入变化之前（现n在值、过去值）。pastfuturep 当n=n1时的y(n)仅取决y (n)x(n)，n n1取决于 x(n) 的将来值。nn158注意：因果性不是实际系统的根本性限制。对于非实时系统，没有必须 有因果系统的要求。如图像处理系统。系统的稳定性和因果性（2）（1） 是（2） 否，n时刻的值要由n+2时刻决定（3） 否，n>0时满足，n<0时不满足定义（4） 否，例如n=3时，需要n=9的输入，不满足定义59系统的稳

25、定性和因果性（3）p 稳定性。pp 系统不稳定：找出一个特例即可。60LSI系统的稳定性和因果性（4）p 因果性：输入变化不领先于输出变化（现在的输出只取决于此刻和此刻以前时刻的输入）LSI系统为因果系统的充分必要条件是:- 冲激响应为因果的pLSI系统为稳定系统的充分必要条件是:-p 结论：因果稳定LSI系统的响应是因果的且绝对可和。冲激一般的实时系统都是因果系统，稳定性是基本要求。61ì h ( n ) =h ( n ) u ( n )ïí¥ïîå ¥h ( n )<¥n = -LSI系统的稳定

26、性和因果性（5）p 我们侧重于：稳定因果的系统同时满足稳定LSI 系统62h(n) = 0,n < 0¥åh ( k )<¥k = - ¥因果LSI系统的稳定性和因果性（6）是因果系统n < 0u(n) = 0有界稳定 n > 0h(n) = anu(n)ì1< 1a¥¥ï1 - aåh(n) = å a u(n) = ín1 - an+1ï an=-¥n=-¥> 1发散不稳定ïî1 - a63LSI

27、p 对LSI系统输出的分析方法：p 根据输入输出关系直接求解；p 将输入信号分解成基信号(如：冲激序列、指数信号）的和，则系统输出就为各基信号对应输出的和。p LSI系统的取样响应：p 当输入信号是冲激序列 (n) 时的输出信号h(n)，)n = T d (n )h(x (n )y (n )d ( n )h (n )64T · h (n )LSIy(n)x(n)y(n) = x(n) * h(n)65p 结论： 一个LSI系统可以用冲激响应h(n)来表征，h(n)的卷积和。LSIh(n)LSI系统的输出（3）离散信号的线性卷积-LSI系统对输入信号x(n)的响应p 假设线性时不变系统而得：66x(n) = L x(0)d (n) + x(1)d (n -1) + x(2)d (n - 2) +L¥= å x(k ) (n - k )k