全等三角形知识点梳理

1、第十二章全等三角形杨1 .全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.对 应边相等。2 .全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.对 应角相等。证明三角形全等基本思路：一找第三边1555)C1J 已知两边找夹角L我是否有豆角(HL)找这ifi的另一个邻角已如一边和它的翎;任)：已知一边一急已知一边和它的对1我这个角的另一H8二我这边的对角(AAS)找一ft r - -)己如角是直角.视一选是1_)(3):已知两角-找两角的夹边MS9找央地外的任意也(7)三角形全等的判定三边分别相等的两个三角形全等，简写成边边边或SSS1 .如图，AB= AD, C及 C

2、D 求证：(1) AABe AAD(5 (2) / B= / D.证明：(1)连接AG在ABC与AD5,.ABC ADC(SSS)(2)ABAAD(C./ B= / D.2 .已知交四边形 ABC, AB=CD,AD=BC,求证AD 1.如图，将两个一大、一小 严月腰直看三角夕脩接(A, B, D三点共线，AB= CB EB= DR / ABC= / EB&67/连接AE CD,试确定AE与CD的关系，并证明你的结论.解：结论：AE= CD, AE! CD.证明：延长 AE交CD于F,在4ABE与4CBD中， .AB/CBD6AS,，AE= CD, / EA氏 / DCB /DC酷 /CD品

3、90 ,./ EA计 /CD品 90 ,，/AFD= 90 ,AE! CD.2.在、ABCffi CDE中,CA=CB,CD=CE，ACB4DCE=90 , AE与BD交与点F(1)求证： AC9 ABCD(2)求证：AE BD.41,利用SAS证明全等，AC=BCDC=ECBCDh ACE2,全等得到角相等/ CAEN DCB/ CAB吆 EAB吆 ABC=90/ DC/ EAB吆 ABC=90三角形全等的判定（3）两角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全 等，简称角边角或ASAAAS两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简称角角边或 求证：三角形一边的两端点到这边的中线或中线

4、延长线的距离相等.如图，AD为4ABC的中线，且 CFAD于点F, BE!AD,交AD的延长线于点 E, 求证：BE= CF.B证法1：. AD为4ABC的中线，BD= CD： BE1AR CFAD, ，/BED= /CF氏 90 .在ABED与ACFD中.BE* CFDAAS ,BE= CF.证法 2: S aabd= AD. BE, Saacd= AD, CF,相等）且Saabd= Saacc(等底同高的两个三角形面积.AD- B口AD- CF,BE= CF.三角形全等的判定（4）斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，简称“斜边、直角 边”或“ HL.如图，E, F分别为线段A

5、C上的两点，且 DEL AC于点E, BF AC于点F,若 BD交AC于点M.求证：B隹DM ME= MF.证明：V AE= CF,AE+ EF= CF+ EF，AF= CE.在 RtABF与 RtCDE中 RtAABFRtACDEHL）,BF= DE/.DEL AG BF AC, 丁./ DE时 / BF阵 90 . 在 4BFM 与DEM. BF晔 DEMAAS, . B隹 DM ME= MF.角的平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.文字命题的证明方法：a.明确命题中的已知和求证；b.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；c.经过分析，找出由已知推出

6、要证的结论的途径，写出证明过程.方法总结：(1)角平分线的性质是证明线段相等的另一途径.(2)在已知角平分线的条件下，也可想到翻折构造全等的方法.角平分线的 性质是证线段相等的常用方法之一，角平分线的性质与判定通常是交叉使用， 作角的平分线或过角的平分线上一点作角两边的垂线段是常用的辅助线.1 .在 ABC中，AD是 ABC的角平分线，E, F分别是AB, AC上一点，并且 有/ED斗/EA已180 .试判断DE和DF的大小关系并说明理由.解：结论：DE= DF.证明：过点D作DGL AB于点G/DHL AC于点C, AD是4ABC的角平分线，DG= DH./DGAf /DHAf 90 , .

7、/ GDH- / BAC= 180 , /ED斗 /EA已 180 ,./ GD比 / EDF 丁./GDH- /ED用 /EDF- / EDH / GD丘 / FDH.在DGE DHF 中， .DGS DHFASA,/ BDEh CDFBE=CF利用全等证明垂直DE= DF2.如图，在 ABC中，D是BC边上一点，连接 AD, 过点B作BE1AD于点E,过点C作CF1AD交AD的 延长线于点F,且BE = CF.求证：AD是4ABC的中线.利用AAS证明全等/ BDE4 F到另外的两个角度和是 90 ,得到第三个角是90 ,进一步证明线的垂直关系1.将两块全等的直角三角形如图 1摆放，其中/

8、 DCE=ACB90 ZD=ZA.2. (1)求证:ABLDE;3. (2)将图中的ADC彘点C顺时针旋转45得到图2,交于点N,DE,BC交于M.求 证:CM=CND+/ E=90 转化为/ A+/ E=904.5.第一问中延 长AB交DE 于F,已经 知道全等， 知道垂直， 就可以将/得到/AFE=90进而证明了垂直此类题目中必有垂直，利用垂直角度和是90 ,再根据全等转换一个角，达第二问中，利用ASAffi明相等旋转角度是 450 / MCD = DCA=45 / A=/ DCD=CA 得到 CMDeA CNA(ASA)从而证明CM=CN2.如图，已知等腰 RtOABCj口等腰 RtAC

9、DE,AC=BC,CD=CE,MNU为 AE,BD的中点判断CMf CN的位置关系和数量关系：(2)若4CD峻C旋转任意角度，其他条件不变，则(1)的结论是否仍成立试证明，几何证明中常见的“添辅助线”方法一.连结：构造全等三角形或等腰三角形1:如图,AB=AD,BC=DCt证:/ B=/ D.1 .连结AC构造全等三角形2 .连结BD构造两个等腰三角形2:如图,AB=AE,BC=ED/ B=/ E,AM1 CD,求证：点 M是 CD的中占 .连结AG AD构造全等三角形3:如图,AB=AC,BD=CD,MN分别是BD CD的中点，求证：/ AM&/ANC连结AD构造全等三角形二.角平分线上点向

10、两边作垂线段：构造直角三角形，得到距离相等1:如图，ABC , /C=90o,BC=10,BD=6,ADF分/ BAC求点D到AB的距离.过点D作DEL AB构造全等的直角三角形且距离相等2:如图，ABC , / C=90o,AC=BC,Ay/ BAC求证:AB=AC+DC过点D作DE!AB构造了全等的直角三角形且距离相等3:如图，梯形中，ZA=Z D=90o,BE CE均是角平分线，求 证:BC=AB+CD.垂直平分线 上点向两端连线段构造直角三角形，得过点E作EFLBC构造全等的直角三角形且距离相等到斜边相等 ABC中,ABAG /A的平分线与BC的垂直平分线DM交于D,过D作DH AB于

11、E,彳DF=1 AC于F。求证：BE=CF连接DB,DCS直平分线上点向两端连线段四.倍长中线：中线延长一倍构造直角三角形，得到斜边相等AD是ABC勺中线，求证延长AD到点E,使DE=AD连2CE.如图，在 ABC中，D为BC的中点.(1)求证：AB+ AC2AD若AB= 5, AO 3,求AD的取值范围.五.截长补短1 .已知在 ABC中，/C=2Z B,/1=/2 求证:AB=AC+CD在AB上取点E使得AE=AC连接DE在AC的延长线上取点F使得CF=CD连接DF2 .如图所示，已知 AD/ BG /1=/ 2, /3=/ 4,直线 DC经过点E父AD于点D, 交BC于点C求证：AD+BC=AB在AB上取点F使彳# AF=AD连接EF3 .如图，在四边形 ABCW, A况AR /BA氏120 , / B= / AD槌90 .E , F分另 是BG CD上的点，且/ EA已60